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Dominio di una funzione – Esercizi 4

Dominio di una funzione

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In questo articolo presentiamo 5 esercizi sulla determinazione dell’insieme di definizione (o “dominio”) di una funzione definita da un’espressione. Gli esercizi sono completamente risolti, al fine di consentire una comprensione completa dell’argomento nei suoi dettagli. Segnaliamo anche la precedente raccolta Dominio di una funzione – Esercizi 3 e la successiva Dominio di una funzione – Esercizi 5 per ulteriore materiale sull’argomento.

Ricordiamo che, oltre all’esauriente lista presente alla fine dell’articolo, è possibile consultare il seguente materiale teorico di riferimento:

Buona lettura!

 

Esercizio 16 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Sia la funzione f: \mathcal{D} \subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R} tale che

\[f(x)=\dfrac{\ln (x+7)}{\sqrt{x-5}}\]

dove \mathcal{D} è il dominio naturale della funzione. Si determini \mathcal{D}.

 

Svolgimento.

Il dominio naturale di f è dato da tutti i numeri reali che rendono l’argomento del logaritmo maggiore di zero e anche quello della radice di indice pari maggiore di zero (non maggiore o uguale essendo a denominatore), pertanto possiamo impostare il seguente sistema

(1) \begin{equation*} \begin{cases} x+7>0\\ x-5>0 \end{cases} \quad \Leftrightarrow \quad \begin{cases} x>-7\\ x>5. \end{cases} \end{equation*}

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Pertanto il dominio naturale di f è

\[\boxcolorato{analisi}{\mathcal{D} = \left\{ x \in \mathbb{R} \, \vert \, x> 5 \right\}.}\]

 

Esercizio 17 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Sia la funzione f: \mathcal{D} \subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R} tale che

\[f(x)=\dfrac{5x+4}{x^3+4x^2-2x-8}\]

dove \mathcal{D} è il dominio naturale della funzione. Si determini \mathcal{D}.

 

Svolgimento.

Il dominio naturale di f è dato da tutti i numeri reali che rendono il denominatore non nullo. Dunque

\[\begin{aligned} x^3+4x^2-2x-8\ne0 &\quad \Leftrightarrow \quad x^2\left(x+4\right)-2\left(x+4\right)\neq 0\quad \Leftrightarrow\\ &\quad \Leftrightarrow \quad \left(x+4\right)\left(x^2-2\right) \ne 0 \quad \Leftrightarrow \quad\\ & \quad \Leftrightarrow \quad \left(x+4\right)\left(x+\sqrt{2}\right)\left(x-\sqrt{2}\right) \ne 0 \\%\quad \Leftrightarrow \quad \\ %&\quad \Leftrightarrow \quad x\in\left(-\infty,-4\right)\cup\left(-4,-\sqrt{2}\right)\cup\left(-\sqrt{2},\sqrt{2}\right)\cup\left(\sqrt{2},+\infty\right). \end{aligned}\]

Pertanto il dominio naturale di f è

\[\boxcolorato{analisi}{\mathcal{D} = \left\{ x \in \mathbb{R} \, \vert \, x \neq -4, \, x \neq \pm \sqrt{2}\right\}. }\]

 

Esercizio 18 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Sia la funzione f: \mathcal{D} \subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R} tale che

\[f(x)=\sqrt{x+4}+\sqrt{x^2-1}\]

dove \mathcal{D} è il dominio naturale della funzione. Si determini \mathcal{D}.

 

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