Questo articolo consente di scaricare il file di teoria dedicato alla disuguaglianza di Bernoulli. Il contenuto presenta tre dimostrazioni diverse, progettate per evidenziare le numerose applicazioni di questa importante disuguaglianza. La risorsa è particolarmente indicata per studenti di corsi introduttivi di Matematica, offrendo un approccio rigoroso, chiaro ed efficace.

Le disuguaglianze rappresentano un aspetto cruciale dell’Analisi Matematica. In molti contesti, stimare una quantità si rivela più pratico e utile rispetto al calcolo esatto del suo valore. Le stime, infatti, risultano spesso più semplici da manipolare e analizzare.

La disuguaglianza di Bernoulli fornisce una stima inferiore per utilizzando l’espressione lineare . Sebbene ogni disuguaglianza comporti una certa perdita di precisione, questa rappresentazione semplificata è sufficiente per molte applicazioni pratiche. La disuguaglianza trova impiego nelle dimostrazioni relative alla continuità della funzione esponenziale e all’esistenza dei logaritmi (Funzioni continue – Teoria), così come nella definizione e nelle proprietà del numero di Nepero.

L’articolo analizza la disuguaglianza considerando sia il caso in cui è un numero naturale sia quello in cui è un numero reale positivo. Le dimostrazioni incluse sono descritte come segue:

1. Una dimostrazione basata sul principio di induzione, applicabile quando è un numero naturale.
2. Una dimostrazione che utilizza la teoria delle funzioni convesse, valida per , anche quando non è intero.
3. Una dimostrazione che sfrutta la continuità della funzione esponenziale, la densità dei numeri razionali nei numeri reali e la disuguaglianza tra media aritmetica e geometrica, applicabile quando è un numero reale positivo.