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Algebra delle matrici 2 – calcolo del determinante

Operazioni e proprietà

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Questa raccolta propone 11 esercizi svolti sul calcolo del determinante di una matrice quadrata. Gli esercizi sono completamente risolti, così da permettere al lettore di confrontare i risultati ottenuti autonomamente con quelli da noi proposti e sono selezionati in modo da fornire la più completa gamma di casistiche sul calcolo del determinante. Segnaliamo inoltre la raccolta Algebra delle matrici 4 – regola di Sarrus per il calcolo del determinante mediante la regola di Sarrus, oltre alle dispense Algebra delle matrici 1 – somma e prodotto righe per colonne e Algebra delle matrici 3 – calcolo del rango per ulteriori esercizi su temi collegati al calcolo del determinante.

 

Introduzione

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In questa dispensa vengono proposti esercizi misti sul calcolo del determinante di una matrice. I testi degli esercizi sono tratti dal sito didattico del professore Antonio Cigliola Le soluzioni sono a cura di Chiara Bellotti , mentre la revisione è a cura di Jacopo Garofali, Nicola Fusco e Matteo Talluri.


 

Testi degli esercizi sul calcolo del determinante

Esercizio 1 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Calcolare il determinante delle seguenti matrici:

\[A=\left(\begin{array}{ll} 1 & 2 \\ 1 & 1 \end{array}\right), \quad B=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 1 \\ 2 & 1 & 2 \end{array}\right), \quad C=\left(\begin{array}{ccc} 2 & -1 & 1 \\ a & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 2 \end{array}\right), \quad D=\left(\begin{array}{cccc} 1 & -1 & 1 & 2 \\ 2 & 1 & 1 & 0 \\ -1 & 1 & 0 & -2 \\ 2 & 1 & 2 & 0 \end{array}\right)\]

Calcolo determinante di A.

Utilizzando la seguente formula generale per il calcolo del determinante di matrici quadrate 2\times 2:

\[\det \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} =ad-bc ;\]

si ottiene che

\[\det(A)=\det \left(\begin{array}{ll} 1 & 2 \\ 1 & 1 \end{array}\right) =1\cdot 1-2\cdot 1=1-2=-1.\]

Calcolo determinante di B.

Utilizzando lo sviluppo di Laplace rispetto alla prima riga si ottiene che:

\begin{align*} \det(B)&=\det \left(\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 1 \\ 2 & 1 & 2 \end{array}\right)=\\\\ &=1\cdot \det \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} -1\cdot\det \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 2 \end{pmatrix}+0\cdot\det \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}=\\\\&-1\cdot 2-1\cdot 1-(1\cdot 2-2\cdot 1)+0=\\&=-2-1-0=\\&=-3. \end{align*}

Calcolo determinante di C.

Utilizzando lo sviluppo di Laplace rispetto alla terza riga si ottiene che:

\begin{align*} \det(C)&=\det \left(\begin{array}{ccc} 2 & -1 & 1 \\ a & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 2 \end{array}\right)=\\\\&=1\cdot \det \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} -0\cdot\det \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ a & 0 \end{pmatrix}+2\cdot \det\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ a & 1 \end{pmatrix}=\\\\&-1\cdot 0-1\cdot 1-0+2\cdot (2\cdot 1-a\cdot(-1))=\\&=-1+2\cdot(2+a)=\\&=-1+4+2a=\\&=3+2a. \end{align*}

Calcolo determinante di D.

Calcoliamo il determinante utilizzando lo sviluppo di Laplace rispetto alla quarta colonna:

\begin{align*} \det(D)&=\det\left(\begin{array}{cccc} 1 & -1 & 1 & 2 \\ 2 & 1 & 1 & 0 \\ -1 & 1 & 0 & -2 \\ 2 & 1 & 2 & 0 \end{array}\right)=\\\\&=-2\cdot\det\begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ -1 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 2 \end{pmatrix} +0\cdot\det\begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ -1 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 2 \end{pmatrix}+\\\\&+2\cdot\det\begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 2 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 2 \end{pmatrix}+0\cdot\det\begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 2 & 1 & 1 \\ -1 & 1 & 0 \end{pmatrix}=\\\\&=-2\cdot\det\begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ -1 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 2 \end{pmatrix}+2\cdot\det\begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 2 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 2 \end{pmatrix}. \end{align*}

A questo punto calcoliamo separatamente i determinanti delle due matrici 3\times 3 che abbiamo ottenuto.

Usando lo sviluppo di Laplace rispetto alla terza colonna si ottiene che

\begin{align*} \det \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ -1 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 2 \end{pmatrix}&=1\cdot\det\begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}-0\cdot\det\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}+2\cdot\det \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}=\\&=-1-2-0+2\cdot (2- (-1))=\\&=-3+2\cdot 3=\\&=3. \end{align*}

Usando invece lo sviluppo di Laplace rispetto alla prima riga si ottiene che

\begin{align*} \det\begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 2 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 2 \end{pmatrix}&=1\cdot \det\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}-(-1)\cdot\det\begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}+1\cdot\det \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}=\\&=2-1+4-2+2-2=\\&=3. \end{align*}

Andando a sostituire i valori ottenuti per i determinanti delle matrici 3\times 3 nel calcolo di \det(D) si ottiene che:

\[\det (D)=-2\cdot\det\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ -1 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 2 \end{pmatrix}+2\cdot\det\begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 2 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 2 \end{pmatrix}=-2\cdot 3+2\cdot(3)=0.\]


 
 

Esercizio 2 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Calcolare il determinante delle seguenti matrici:

\[\begin{array}{ccc} A=\left(\begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 2 & -1 \end{array}\right) & B=\left(\begin{array}{ll} 3 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right) & C=\left(\begin{array}{ll} 1 & 1 \\ 2 & 3 \end{array}\right) \\ & &\\ D=\left(\begin{array}{ccc} 1 & -4 & 2 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & -5 \end{array}\right) & E=\left(\begin{array}{ccc} -2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{array}\right) & F=\left(\begin{array}{ccc} 1 & -1 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \\ 2 & 0 & 7 \end{array}\right) \end{array}\]

Premessa.

Vediamo separatamente il calcolo del determinante di ognuna delle sei matrici. Cominciamo con le prime tre. Essendo matrici quadrate 2\times 2, basta applicare la seguente formula generale per il calcolo del determinante di matrici quadrate 2\times 2:

(1) \begin{equation*} \det \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} =ad-bc. \end{equation*}

Calcolo determinante di A.

Applicando (1) abbiamo:

\[\det(A)=\det \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & -1 \end{pmatrix} =1\cdot (-1)-2\cdot 2=-1-4=-5.\]

Calcolo determinante di B.

Applicando (1) abbiamo:

\[\det(B)=\det \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} =3-0=3.\]

Calcolo determinante di C.

Applicando (1) abbiamo:

\[\det(C)=\det \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}= 3-2=1.\]


Passiamo ora al calcolo del determinante di D, E, F.
 

Calcolo determinante di D.

Applicando lo sviluppo di Laplace rispetto alla prima colonna si ottiene che

\begin{align*} \det(D)&=\det\left(\begin{array}{ccc} 1 & -4 & 2 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & -5 \end{array}\right)=\\\\&=1\cdot \det\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & -5 \end{pmatrix} -0\cdot\det\begin{pmatrix} -4 & 2 \\ 0 & -5 \end{pmatrix}+0\cdot\det\begin{pmatrix} -4 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}=\\\\&=2\cdot (-5)-0\cdot 1=\\&=-10. \end{align*}

Il determinante della matrice D si poteva calcolare più velocemente osservando che D è una matrice triangolare superiore. Infatti, per una generica matrice triangolare (superiore o inferiore) il corrispondente determinante è il prodotto degli elementi sulla diagonale. Nel caso della matrice D si ha che

\[\det (D)=1\cdot 2\cdot (-5)=-10.\]

Calcolo determinante di E.

Osserviamo che la matrice

\[E=\left(\begin{array}{ccc} -2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{array}\right)\]

è una matrice diagonale.

In generale, il determinante di una matrice diagonale è il prodotto degli elementi che stanno sulla diagonale, quindi in questo caso

\[\det (E)=(-2)\cdot 1\cdot 3=-6.\]

Calcolo determinante di F.

Applicando lo sviluppo di Laplace rispetto alla seconda colonna si ottiene che:

\begin{align*} \det(F)&=\det\left(\begin{array}{ccc} 1 & -1 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \\ 2 & 0 & 7 \end{array}\right)=\\\\&=-(-1)\cdot\det\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 7 \end{pmatrix}+1\cdot\det\begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 7 \end{pmatrix}-0\cdot\det\begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}=\\\\&=1\cdot 7-2\cdot 2+1\cdot 7-2\cdot 3-0=\\&=7-4+7-6=\\&=4. \end{align*}


 
 

Esercizio 3 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Calcolare il determinante delle seguenti matrici:

\[A=\left(\begin{array}{lll} 0 & 0 & a \\ 0 & b & 0 \\ c & 0 & 0 \end{array}\right) \quad B=\left(\begin{array}{lll} a & 0 & 0 \\ 0 & b & 0 \\ 0 & 0 & c \end{array}\right) \quad C=\left(\begin{array}{llll} a & b & 0 & 0 \\ c & d & 0 & 0 \\ 0 & 0 & a & b \\ 0 & 0 & c & d \end{array}\right)\]

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