Algebra delle Matrici 4 (regola di Sarrus)

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Introduzione

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In questa dispensa vengono proposti esercizi misti sul calcolo del calcolo del determinante di una matrice mediante la regola di Sarrus. I testi degli esercizi sono tratti dal sito didattico del professore Antonio Cigliola. Le soluzioni sono a cura di Chiara Bellotti , mentre la revisione è a cura di Jacopo Garofali e Matteo Talluri.


 

Richiami teorici

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La regola di Sarrus è un metodo per calcolare il determinante di una matrice quadrata 3\times 3 che generalizza il calcolo del determinante di una matrice 2\times 2. Questo metodo non si estende al caso di matrici di ordine maggiore.

Innanzitutto, prima di enunciare la regola di Sarrus, richiamiamo la formula dello sviluppo (per riga) secondo Laplace per il calcolo del determinante di una matrice quadrata n\times n: per un qualunque i=1, \dots, n, si ha

    \[\operatorname{det} M=\sum_{j=1}^{n}(-1)^{i+j} m_{i j} \operatorname{det} M_{i j},\]

dove:

  1. m_{ij} è l’elemento di posto (i,j) della matrice M;
  2. <M_{i j} è la sottomatrice (n-1)\times( n-1) che si ottiene da M cancellando la i-esima riga e la j-esima colonna;
  3. il valore (-1)^{i+j}\operatorname{det}\left(M_{i j}\right) è il complemento algebrico (o cofattore) dell’elemento m_{ij}.

La regola di Sarrus è un caso particolare della formula per il calcolo del determinante riportata sopra, più precisamente riguarda le matrici quadrate 3\times 3.

Prendiamo quindi A una matrice quadrata 3\times 3:

    \[A=\left(\begin{array}{lll} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array}\right).\]

Applicando lo sviluppo di Laplace si ottiene che:

    \[\operatorname{det}(A)=a_{11} a_{22} a_{33}+a_{12} a_{23} a_{31}+a_{13} a_{21} a_{32}-a_{31} a_{22} a_{13}-a_{32} a_{23} a_{11}-a_{33} a_{21} a_{12}.\]

In questa forma, si osserva che \operatorname{det}(A) può essere espresso attraverso somme e differenze dei prodotti dei termini sulle 6 diagonali della matrice che si ottengono ripetendo a destra della matrice le sue prime due colonne

    \[\left(\begin{array}{lll} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array}\Bigg\vert \begin{array}{ll} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \end{array}\right).\]

Più precisamente, osserviamo che i prodotti dei termini sulle 3 “diagonali” che partono dall’alto a sinistra (diagonali principali) sono rispettivamente

    \[$a_{11} \, a_{22}\, a_{33},\; a_{12} \,a_{23}\, a_{31}$ e $a_{13} \,a_{21} \,a_{32}$,\]

mentre i prodotti dei termini sulle 3 “diagonali” che partono dal basso a sinistra (diagonali secondarie) sono

    \[$a_{31}\, a_{22} \,a_{13}, \;a_{32} \,a_{23} \,a_{11}$ e $a_{33} \,a_{21}\, a_{12}$.\]

Il determinante della matrice è pari alla differenza tra la somma dei primi tre e quella degli ultimi tre:

    \[\det(A)=a_{11} a_{22} a_{33}+a_{12} a_{23} a_{31}+a_{13} a_{21} a_{32}-a_{31} a_{22} a_{13}-a_{32} a_{23} a_{11}-a_{33} a_{21} a_{12}.\]

   

Figura 1: rappresentazione grafica della regola di Sarrus.

   


Testi degli esercizi

Esercizio 1  (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar) Usando la regola di Sarrus, calcolare il determinante della matrice

    \[A=\left(\begin{array}{ccc} 			1 & 0 & 2 \\ 			-1 & 3 & 0 \\ 			4 & -2 & 1 			\end{array}\right).\]

Calcolo determinante con Sarrus.

Essendo A una matrice quadrata 3\times 3, è possibile applicare la regola di Sarrus per il calcolo del suo determinante:

    \begin{align*} \det(A)&=\det\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 2 \\ -1 & 3 & 0 \\ 4 & -2 & 1 \end{array}\right). \end{align*}

Seguendo il metodo secondo Sarrus, ripetiamo a destra della matrice A le sue prime due colonne, ottenendo

    \[\left(\begin{array}{lll} 1 & 0 & 2 \\ -1 & 3 & 0 \\ 4 & -2 & 1 \end{array} \Bigg\vert \begin{array}{ll} \ 1 & \ 0 \\ -1 & \ 3 \\ \ 4 & -2 \end{array}\right).\]

Ma allora, applicando la regola di Sarrus si ottiene che:

    \begin{align*} \det(A)&=1 \cdot 3 \cdot 1+0 \cdot 0 \cdot 4+2 \cdot(-1) \cdot(-2)-4\cdot 3\cdot 2-1\cdot 0\cdot (-2)-0\cdot (-1)\cdot 1=\\&=3+4-24=-17. \end{align*}


 
 

Esercizio 2  (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar) Usando la regola di Sarrus, calcolare il determinante della matrice

    \[B=\left(\begin{array}{ccc} 			2 & 1 & 0 \\ 			-2 & 0 & -4 \\ 			0 & 3 & -2 			\end{array}\right).\]

Calcolo determinante con Sarrus.

Analogamente all’esercizio precedente, essendo B una matrice quadrata 3\times 3, calcoliamo il suo determinante mediante la regola di Sarrus.

Seguendo quanto fatto prima, innanzitutto scriviamo la matrice

    \[\left(\begin{array}{ccc} 2 & 1 & 0 \\ -2 & 0 & -4 \\ 0 & 3 & -2 \end{array} \Bigg\vert \begin{array}{ll} \ 2 & \ 1 \\ -2 & \ 0 \\ \ 0 & -3 \end{array}\right).\]

Applichiamo la regola di Sarrus ottenendo

    \begin{align*} \det(B)&=2\cdot 0\cdot (-2)+1\cdot (-4)\cdot 0+0\cdot (-2)\cdot (-3)-0\cdot 0\cdot 0-2\cdot (-4)\cdot 3-1\cdot (-2)\cdot (-2)=\\&=24-4=20. \end{align*}


 
 

Esercizio 3  (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar) Usando la regola di Sarrus, calcolare il determinante della matrice

    \[C=\left(\begin{array}{ccc} 			4 & 1 & 2 \\ 			0 & 1 & 3 \\ 			-1 & 0 & 5 			\end{array}\right).\]

Calcolo determinante con Sarrus.

Ancora una volta, essendo C una matrice quadrata 3\times 3, calcoliamo il suo determinante mediante la regola di Sarrus.

Analogamente ai due esercizi precedenti, innanzitutto consideriamo la matrice

    \[\left(\begin{array}{ccc} 4 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 3 \\ -1 & 0 & 5 \end{array}\Bigg\vert \begin{array}{ll} \ 4 &  1 \\ \ 0 &  1 \\ -1 & 0 \end{array}\right) .\]

La regola di Sarrus ci dice che

    \[\det(C)=4\cdot 1\cdot 5+1\cdot 3\cdot (-1)+2\cdot 0\cdot 0-2\cdot 1\cdot (-1)-4\cdot 3\cdot 0-1\cdot 0\cdot 5=20-3+2=19.\]