Algebra delle matrici 2 – calcolo del determinante

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Questa raccolta propone 11 esercizi svolti sul calcolo del determinante di una matrice quadrata. Gli esercizi sono completamente risolti, così da permettere al lettore di confrontare i risultati ottenuti autonomamente con quelli da noi proposti e sono selezionati in modo da fornire la più completa gamma di casistiche sul calcolo del determinante. Segnaliamo inoltre la raccolta Algebra delle matrici 4 – regola di Sarrus per il calcolo del determinante mediante la regola di Sarrus, oltre alle dispense Algebra delle matrici 1 – somma e prodotto righe per colonne e Algebra delle matrici 3 – calcolo del rango per ulteriori esercizi su temi collegati al calcolo del determinante.

Introduzione

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In questa dispensa vengono proposti esercizi misti sul calcolo del determinante di una matrice. I testi degli esercizi sono tratti dal sito didattico del professore Antonio Cigliola Le soluzioni sono a cura di Chiara Bellotti , mentre la revisione è a cura di Jacopo Garofali, Nicola Fusco e Matteo Talluri.

Testi degli esercizi sul calcolo del determinante

Esercizio 1 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$

. Calcolare il determinante delle seguenti matrici:

$A=\left(\begin{array}{ll} 1 & 2 \\ 1 & 1 \end{array}\right), \quad B=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 1 \\ 2 & 1 & 2 \end{array}\right), \quad C=\left(\begin{array}{ccc} 2 & -1 & 1 \\ a & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 2 \end{array}\right), \quad D=\left(\begin{array}{cccc} 1 & -1 & 1 & 2 \\ 2 & 1 & 1 & 0 \\ -1 & 1 & 0 & -2 \\ 2 & 1 & 2 & 0 \end{array}\right)$

Calcolo determinante di A.

Utilizzando la seguente formula generale per il calcolo del determinante di matrici quadrate $2\times 2$

$\det \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} =ad-bc ;$

si ottiene che

$\det(A)=\det \left(\begin{array}{ll} 1 & 2 \\ 1 & 1 \end{array}\right) =1\cdot 1-2\cdot 1=1-2=-1.$

Calcolo determinante di B.

Utilizzando lo sviluppo di Laplace rispetto alla prima riga si ottiene che:

$\begin{align*} \det(B)&=\det \left(\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 1 \\ 2 & 1 & 2 \end{array}\right)=\\\\ &=1\cdot \det \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} -1\cdot\det \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 2 \end{pmatrix}+0\cdot\det \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}=\\\\&-1\cdot 2-1\cdot 1-(1\cdot 2-2\cdot 1)+0=\\&=-2-1-0=\\&=-3. \end{align*}$

Calcolo determinante di C.

Utilizzando lo sviluppo di Laplace rispetto alla terza riga si ottiene che:

$\begin{align*} \det(C)&=\det \left(\begin{array}{ccc} 2 & -1 & 1 \\ a & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 2 \end{array}\right)=\\\\&=1\cdot \det \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} -0\cdot\det \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ a & 0 \end{pmatrix}+2\cdot \det\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ a & 1 \end{pmatrix}=\\\\&-1\cdot 0-1\cdot 1-0+2\cdot (2\cdot 1-a\cdot(-1))=\\&=-1+2\cdot(2+a)=\\&=-1+4+2a=\\&=3+2a. \end{align*}$

Calcolo determinante di D.

Calcoliamo il determinante utilizzando lo sviluppo di Laplace rispetto alla quarta colonna:

$\begin{align*} \det(D)&=\det\left(\begin{array}{cccc} 1 & -1 & 1 & 2 \\ 2 & 1 & 1 & 0 \\ -1 & 1 & 0 & -2 \\ 2 & 1 & 2 & 0 \end{array}\right)=\\\\&=-2\cdot\det\begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ -1 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 2 \end{pmatrix} +0\cdot\det\begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ -1 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 2 \end{pmatrix}+\\\\&+2\cdot\det\begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 2 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 2 \end{pmatrix}+0\cdot\det\begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 2 & 1 & 1 \\ -1 & 1 & 0 \end{pmatrix}=\\\\&=-2\cdot\det\begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ -1 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 2 \end{pmatrix}+2\cdot\det\begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 2 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 2 \end{pmatrix}. \end{align*}$

A questo punto calcoliamo separatamente i determinanti delle due matrici $3\times 3$ che abbiamo ottenuto.

Usando lo sviluppo di Laplace rispetto alla terza colonna si ottiene che

$\begin{align*} \det \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ -1 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 2 \end{pmatrix}&=1\cdot\det\begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}-0\cdot\det\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}+2\cdot\det \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}=\\&=-1-2-0+2\cdot (2- (-1))=\\&=-3+2\cdot 3=\\&=3. \end{align*}$

Usando invece lo sviluppo di Laplace rispetto alla prima riga si ottiene che

$\begin{align*} \det\begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 2 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 2 \end{pmatrix}&=1\cdot \det\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}-(-1)\cdot\det\begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}+1\cdot\det \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}=\\&=2-1+4-2+2-2=\\&=3. \end{align*}$

Andando a sostituire i valori ottenuti per i determinanti delle matrici $3\times 3$ nel calcolo di $\det(D)$ si ottiene che:

$\det (D)=-2\cdot\det\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ -1 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 2 \end{pmatrix}+2\cdot\det\begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 2 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 2 \end{pmatrix}=-2\cdot 3+2\cdot(3)=0.$

Esercizio 2 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$

. Calcolare il determinante delle seguenti matrici:

$\begin{array}{ccc} A=\left(\begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 2 & -1 \end{array}\right) & B=\left(\begin{array}{ll} 3 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right) & C=\left(\begin{array}{ll} 1 & 1 \\ 2 & 3 \end{array}\right) \\ & &\\ D=\left(\begin{array}{ccc} 1 & -4 & 2 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & -5 \end{array}\right) & E=\left(\begin{array}{ccc} -2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{array}\right) & F=\left(\begin{array}{ccc} 1 & -1 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \\ 2 & 0 & 7 \end{array}\right) \end{array}$

Premessa.

Vediamo separatamente il calcolo del determinante di ognuna delle sei matrici. Cominciamo con le prime tre. Essendo matrici quadrate $2\times 2$

, basta applicare la seguente formula generale per il calcolo del determinante di matrici quadrate $2\times 2$

(1) $\begin{equation*} \det \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} =ad-bc. \end{equation*}$

Calcolo determinante di A.

Applicando (1) abbiamo:

$\det(A)=\det \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & -1 \end{pmatrix} =1\cdot (-1)-2\cdot 2=-1-4=-5.$

Calcolo determinante di B.

Applicando (1) abbiamo:

$\det(B)=\det \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} =3-0=3.$

Calcolo determinante di C.

Applicando (1) abbiamo:

$\det(C)=\det \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}= 3-2=1.$

Passiamo ora al calcolo del determinante di $D$

, $E$

, $F$

Calcolo determinante di D.

Applicando lo sviluppo di Laplace rispetto alla prima colonna si ottiene che

$\begin{align*} \det(D)&=\det\left(\begin{array}{ccc} 1 & -4 & 2 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & -5 \end{array}\right)=\\\\&=1\cdot \det\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & -5 \end{pmatrix} -0\cdot\det\begin{pmatrix} -4 & 2 \\ 0 & -5 \end{pmatrix}+0\cdot\det\begin{pmatrix} -4 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}=\\\\&=2\cdot (-5)-0\cdot 1=\\&=-10. \end{align*}$

Il determinante della matrice $D$ si poteva calcolare più velocemente osservando che $D$ è una matrice triangolare superiore. Infatti, per una generica matrice triangolare (superiore o inferiore) il corrispondente determinante è il prodotto degli elementi sulla diagonale. Nel caso della matrice $D$ si ha che

$\det (D)=1\cdot 2\cdot (-5)=-10.$

Calcolo determinante di E.

Osserviamo che la matrice

$E=\left(\begin{array}{ccc} -2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{array}\right)$

è una matrice diagonale.

In generale, il determinante di una matrice diagonale è il prodotto degli elementi che stanno sulla diagonale, quindi in questo caso

$\det (E)=(-2)\cdot 1\cdot 3=-6.$

Calcolo determinante di F.

Applicando lo sviluppo di Laplace rispetto alla seconda colonna si ottiene che:

$\begin{align*} \det(F)&=\det\left(\begin{array}{ccc} 1 & -1 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \\ 2 & 0 & 7 \end{array}\right)=\\\\&=-(-1)\cdot\det\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 7 \end{pmatrix}+1\cdot\det\begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 7 \end{pmatrix}-0\cdot\det\begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}=\\\\&=1\cdot 7-2\cdot 2+1\cdot 7-2\cdot 3-0=\\&=7-4+7-6=\\&=4. \end{align*}$

Esercizio 3 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$

. Calcolare il determinante delle seguenti matrici:

$A=\left(\begin{array}{lll} 0 & 0 & a \\ 0 & b & 0 \\ c & 0 & 0 \end{array}\right) \quad B=\left(\begin{array}{lll} a & 0 & 0 \\ 0 & b & 0 \\ 0 & 0 & c \end{array}\right) \quad C=\left(\begin{array}{llll} a & b & 0 & 0 \\ c & d & 0 & 0 \\ 0 & 0 & a & b \\ 0 & 0 & c & d \end{array}\right)$

Calcolo determinante di A.

Applicando lo sviluppo di Laplace rispetto alla prima colonna di

$\left(\begin{array}{lll} 0 & 0 & a \\ 0 & b & 0 \\ c & 0 & 0 \end{array}\right)$

si ottiene che

$\det \left(\begin{array}{lll} 0 & 0 & a \\ 0 & b & 0 \\ c & 0 & 0 \end{array}\right)=c\cdot\det\begin{pmatrix} 0 & a \\ b & 0 \end{pmatrix} =-abc.$

Calcolo determinante di B.

La matrice

$\left(\begin{array}{lll} a & 0 & 0 \\ 0 & b & 0 \\ 0 & 0 & c \end{array}\right)$

è diagonale.

Siccome il determinante di una matrice diagonale è il prodotto degli elementi sulla diagonale, segue che

$\det\left(\begin{array}{lll} a & 0 & 0 \\ 0 & b & 0 \\ 0 & 0 & c \end{array}\right)=abc.$

Calcolo determinante di C.

La matrice

$\left(\begin{array}{llll} a & b & 0 & 0 \\ c & d & 0 & 0 \\ 0 & 0 & a & b \\ 0 & 0 & c & d \end{array}\right)$

può essere vista come la seguente matrice a blocchi

$C=\begin{pmatrix} A & 0 \\ 0 & B \end{pmatrix}$

dove

$A=B=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$

Ma allora, per le proprietà delle matrici a blocchi della forma di $C$ , si ha che

$\det (C)=\det(A)\det(B)=(ad-bc)\cdot(ad-bc)=(ad-bc)^{2};$

da cui

$\det \left(\begin{array}{llll} a & b & 0 & 0 \\ c & d & 0 & 0 \\ 0 & 0 & a & b \\ 0 & 0 & c & d \end{array}\right)=(ad-bc)^{2}.$

Esercizio 4 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$

. Data $A \in \mathcal{M}_{2}(\mathbb{R})$

, si dica se le seguenti affermazioni sono vere o false giustificando la risposta.

$A+A^{T}$ è una matrice simmetrica
Se $A$ ha determinante non nullo anche $A+A^{T}$ ha determinante non nullo
Se $\operatorname{det} A=1$ allora $\operatorname{det}(2 A)=2$
Se $\operatorname{det} A=1$ allora $\operatorname{det}(A B)=\operatorname{det}(B)$ , per ogni $B \in \mathcal{M}_{2}(\mathbb{R})$

Svolgimento punto 1.

La risposta a questa domanda è: vero.

Infatti

$(A+A^{T})^{T}=A^{T}+(A^{T})^{T}=A^{T}+A=A+A^{T}.$

Segue che la matrice $A+A^{T}$ è simmetrica in quanto coincide con la sua trasposta.

Svolgimento punto 2.

La risposta a questa domanda è: falso.

Per mostrare che l’affermazione è falsa, basta mostrare un controesempio.

A tal fine, prendiamo la matrice

$A= \left(\begin{array}{ll} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{array}\right).$

Applicando la formula generale per il calcolo del determinante di matrici quadrate $2\times 2$ :

$\det \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} =ad-bc,$

si ottiene che

$\det(A)=1\cdot 1-0\cdot 2=1,$

che non è nullo.

Consideriamo ora la matrice $A+A^{T}$ . Si ha

$A+A^{T}=\left(\begin{array}{ll} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{array}\right)+\left(\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll} 2 & 2 \\ 2 & 2 \end{array}\right)$

Tuttavia, osserviamo che

$\det (A+A^{T})=\det\left(\begin{array}{ll} 2 & 2 \\ 2 & 2 \end{array}\right)=0,$

cioè il determinante di $A+A^{T}$ è nullo anche se il determinante di $A$ non lo è.

Svolgimento punto 3.

La risposta a questa domanda è: falso.

Infatti sia

$A=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}.$

Si ha, sempre per la formula generale del determinante delle matrici $2\times 2$ , che

$\det(A) =ad-bc .$

Sia ora

$2A=\begin{pmatrix} 2a & 2b \\ 2c & 2d \end{pmatrix}.$

Usando sempre la stessa formula, si ottiene che

$\det(2A)=4ad-4bc=4(ad-bc).$

Quindi, se $\det(A)=1$ allora $\det(2A)=4$ e non è vero che $\det(2A)=2$ .

Più in generale, osserviamo che per una matrice $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ e per $\lambda \in \mathbb{R}$ vale la formula

$\det(\lambda A)=\lambda^n\det(A).$

Svolgimento punto 4.

La risposta a questa domanda è: vero.

Infatti, per il Teorema di Binet, si ha che per ogni $A,B\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})$ vale

$\det (AB)=\det (A)\det(B).$

In particolare, se $\det(A)=1$ allora

$\det(AB)=\det(A)\det(B)=\det(B).$

Esercizio 5 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$

. Sia $k$

un parametro reale e siano date le matrici:

$A=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 1 \\ k & 1 & 2 \\ 0 & 2 & 1 \end{array}\right) \quad B=\left(\begin{array}{ccc} k & k-1 & k \\ 0 & 2 k-2 & 0 \\ 1 & k-1 & 2-k \end{array}\right)$

Trovare:

$\det A$
$\det B$
per quali valori di $k$ essi sono simultaneamente non nulli

Svolgimento punto 1.

Consideriamo la matrice

$A=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 1 \\ k & 1 & 2 \\ 0 & 2 & 1 \end{array}\right).$

Applicando lo sviluppo di Laplace rispetto alla prima riga si ottiene che

$\begin{align*} \det(A)&=\det\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 1 \\ k & 1 & 2 \\ 0 & 2 & 1 \end{array}\right)=\\\\&=1\cdot\det\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} -0\cdot\det \begin{pmatrix} k & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}+1\cdot\det\begin{pmatrix} k & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}=\\\\&=1-4+2k=\\&=-3+2k. \end{align*}$

Svolgimento punto 2.

Prendiamo la matrice

$B=\left(\begin{array}{ccc} k & k-1 & k \\ 0 & 2 k-2 & 0 \\ 1 & k-1 & 2-k \end{array}\right).$

Applichiamo lo sviluppo di Laplace rispetto alla seconda riga ottenendo

$\begin{align*} \det(B)&=\det\left(\begin{array}{ccc} k & k-1 & k \\ 0 & 2 k-2 & 0 \\ 1 & k-1 & 2-k \end{array}\right)=\\\\&=-0\cdot\begin{pmatrix} k-1 & k \\ k-1 & 2-k \end{pmatrix}+(2k-2)\cdot \begin{pmatrix} k & k \\ 1 & 2-k \end{pmatrix}-0\cdot \begin{pmatrix} k & k-1 \\ 1 & k-1 \end{pmatrix}=\\\\&=(2k-2)\cdot (k\cdot(2-k)-k)=\\&=(2k-2)\cdot (2k-k^{2}-k)=\\&=2\cdot(k-1)\cdot(k-k^{2})=\\&=-2k(k-1)^{2}. \end{align*}$

Svolgimento punto 3.

Ci resta ora da mostrare per quali $k$

i determinanti di $A$

e $B$

sono contemporaneamente non nulli.

$\det(A)=-3+2k=0$ se e solo se $k=\frac{3}{2}$ ;

$\det(B)=-2k(k-1)^{2}=0$ se e solo se $k=0$ oppure $k=1$ .

A questo punto, possiamo concludere che $\det(A)$ e $\det(B)$ sono contemporaneamente non nulli se e solo se

$k\neq 0,\ 1,\ \frac{3}{2}.$

Esercizio 6 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$

. Calcolare il determinante della matrice

$\left(\begin{array}{ccccc} 0 & 1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & h & 0 & -2 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & h+1 & 1 \\ 0 & -2 & h+1 & 0 & 1 \\ 0 & -h & -h & 0 & 1 \end{array}\right)$

Svolgimento.

Applichiamo lo sviluppo di Laplace alla prima colonna della matrice

$A=\left(\begin{array}{ccccc} 0 & 1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & h & 0 & -2 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & h+1 & 1 \\ 0 & -2 & h+1 & 0 & 1 \\ 0 & -h & -h & 0 & 1 \end{array}\right),$

ottenendo che

$\begin{align*} \det(A)&=\det\left(\begin{array}{ccccc} 0 & 1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & h & 0 & -2 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & h+1 & 1 \\ 0 & -2 & h+1 & 0 & 1 \\ 0 & -h & -h & 0 & 1 \end{array}\right)=\\\\&=-1\cdot \det\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & h+1 & 1 \\ -2 & h+1 & 0 & 1 \\ -h & -h & 0 & 1 \end{pmatrix} +1\cdot \det\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 1 \\ h & 0 & -2 & 1 \\ -2 & h+1 & 0 & 1 \\ -h & -h & 0 & 1 \end{pmatrix}=\\\\&=-(-(h+1))\cdot\det\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ -2 & h+1 & 1 \\ -h & -h & 1 \end{pmatrix} -(-2)\cdot\det\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ -2 & h+1 & 1 \\ -h & -h & 1 \end{pmatrix}=\\\\&=(h+1)\cdot\det\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ -2 & h+1 & 1 \\ -h & -h & 1 \end{pmatrix}+2\cdot\det\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ -2 & h+1 & 1 \\ -h & -h & 1 \end{pmatrix}. \end{align*}$

A questo punto dobbiamo calcolare

$\det \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ -2 & h+1 & 1 \\ -h & -h & 1 \end{pmatrix}.$

Usiamo lo sviluppo di Laplace rispetto alla prima riga:

$\begin{align*} \det \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ -2 & h+1 & 1 \\ -h & -h & 1 \end{pmatrix}&=1\cdot\det\begin{pmatrix} h+1 & 1 \\ -h & 1 \end{pmatrix} -1\cdot\det\begin{pmatrix} -2 & 1 \\ -h & 1 \end{pmatrix}+1\cdot\det\begin{pmatrix} -2 & h+1 \\ -h & -h \end{pmatrix}=\\\\&=h+1-(-h)-(-2-(-h))+(2h-(h+1)\cdot(-h))=\\&=h+1+h-(-2+h)+2h+h(h+1)=\\&=2h+1+2-h+2h+h^{2}+h=\\&=h^{2}+4h+3=\\&=(h+1)(h+3). \end{align*}$

Inserendo il risultato appena trovato nel calcolo di $\det(A)$ si ha che

$\begin{align*} \det(A)&=(h+1)(h+1)(h+3)+2(h+1)(h+3)=\\&=(h+1)(h+3)(h+1+2)=\\&=(h+1)(h+3)^{2}.\end{align*}$

Esercizio 7 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$

. Per quali valori di $k$

le seguenti matrici hanno determinante nullo?

$A=\left(\begin{array}{lll} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ k & k & k \end{array}\right) \quad B=\left(\begin{array}{ccc} 2 & k & 0 \\ k & 2 & 0 \\ 1 & 0 & k \end{array}\right) \quad C=\left(\begin{array}{ccc} 1 & -k & 0 \\ 1 & 0 & -k \\ k & 0 & -k \end{array}\right) \quad D=\left(\begin{array}{ccc} k & 1 & 1 \\ 1 & k & 1 \\ 1 & 1 & k \end{array}\right)$

Svolgimento per A.

Consideriamo la matrice

$A=\left(\begin{array}{lll} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ k & k & k \end{array}\right).$

Osserviamo che se $k=0$ allora $\det(A)=0$ in quanto l’ultima riga è nulla.

Se invece $k\neq 0$ , si osserva che la seconda riga si ottiene sommando alla prima riga la terza moltiplicata per $\frac{3}{k}$ , ovvero, dette $r_{1},r_{2},r_{3}$ le righe di $A$ , si ha

$r_{2}=r_{1}+\frac{3}{k}r_{3}.$

Ma allora, siccome una riga si scrive come combinazione lineare delle altre, si ha $\det(A)=0$ in quanto in generale il determinante di una matrice avente una o più righe (o colonne) linearmente dipendenti è nullo.

Possiamo quindi concludere che $\det(A)=0$ per ogni $k$ .

Svolgimento per B.

Consideriamo la matrice

$B=\left(\begin{array}{lll} 2 & k & 0 \\ k & 2 & 0 \\ 1 & 0 & k \end{array}\right).$

Sviluppando secondo Laplace rispetto alla terza colonna si ottiene che

$\begin{align*} \det(B)&=\det \left(\begin{array}{lll} 2 & k & 0 \\ k & 2 & 0 \\ 1 & 0 & k \end{array}\right)=\\\\&=k\cdot\det\begin{pmatrix} 2 & k \\ k & 2 \end{pmatrix}=\\&=k\cdot (4-k^{2}). \end{align*}$

A questo punto, osserviamo che $\det (B)=0$ se e solo se $k(4-k^{2})=0$ , ovvero se e solo se $k=0,\pm2$ .

Svolgimento per C.

Consideriamo la matrice

$C=\left(\begin{array}{ccc} 1 & -k & 0 \\ 1 & 0 & -k \\ k & 0 & -k \end{array}\right)$

e sviluppiamo secondo Laplace rispetto alla seconda colonna.

Otteniamo

$\begin{align*} \det(C)&=\det \left(\begin{array}{ccc} 1 & -k & 0 \\ 1 & 0 & -k \\ k & 0 & -k \end{array}\right)=\\\\&=-(-k)\cdot\det \begin{pmatrix} 1 & -k \\ k & -k \end{pmatrix}=\\\\&=k\cdot (-k-(-k^{2}))=\\&=k\cdot (-k+k^{2})=\\&=k^{2}(-1+k). \end{align*}$

Ma allora $\det(C)=0$ se e solo se $k^{2}(-1+k)$ se e solo se $k=0,1$ .

Svolgimento per D.

Consideriamo la matrice

$D=\left(\begin{array}{lll} k & 1 & 1 \\ 1 & k & 1 \\ 1 & 1 & k \end{array}\right).$

Sviluppando secondo Laplace rispetto alla prima riga si ottiene che

$\begin{align*} \det(D)&=\det \left(\begin{array}{lll} k & 1 & 1 \\ 1 & k & 1 \\ 1 & 1 & k \end{array}\right)=\\\\&=k\cdot\det \begin{pmatrix} k & 1 \\ 1 & k \end{pmatrix}-1\cdot\det \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & k \end{pmatrix}+1\cdot \det\begin{pmatrix} 1 & k \\ 1 & 1 \end{pmatrix}=\\\\&=k\cdot (k^{2}-1)-(k-1)+(1-k)=\\&=k^{3}-k-k+1+1-k=\\&=k^{3}-3k+2. \end{align*}$

Ma allora $\det(D)=0$ se e solo se $k^{3}-3k+2=0$ . Per il teorema di fattorizzazione dei polinomi, le soluzioni $k$ intere sono da ricercarsi tra i $k=\pm2, \pm 1$ (dati dai divisori del termine noto, in quanto il polinomio è monico). Notiamo facilmente che $k=1$ è una soluzione, e dividendo per $k-1$ otteniamo il polinomio $k^2+k-2$ , che ha come soluzione $k=1,-2$ .

Quindi $\det (D)=0$ se e solo se $k=1,-2$ .

Esercizio 8 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$

. Calcolare tutti i determinanti delle sottomatrici di ordine 2 contenuti nelle matrici

$A=\left(\begin{array}{ccc} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & -1 \\ 3 & 1 & 1 \end{array}\right)$

$B=\left(\begin{array}{cc} -2 & 0 \\ 1 & 100 \\ 3 & 1 \\ 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{array}\right)$

Svolgimento per A.

Consideriamo la matrice

$\left(\begin{array}{ccc} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & -1 \\ 3 & 1 & 1 \end{array}\right).$

Calcoliamo ora i determinanti di tutti i minori $2\times 2$ mediante la formula generale per il calcolo del determinante delle matrici quadrate $2\times 2$ .

$\det \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}=4-1=3 ;$

$\det \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}=-2-1=-3 ;$

$\det \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 1 \end{pmatrix}=2-3=-1 ;$

$\det \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 1 \end{pmatrix}=1-6=-5 ;$

$\det \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 3 & 1 \end{pmatrix}=1-(-3)=4 ;$

$\det \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & -1 \end{pmatrix}=-1-2=-3 ;$

$\det \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}=1-1=0 ;$

$\det \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}=2-(-1)=3 .$

Svolgimento per B.

Consideriamo ora la matrice

$\left(\begin{array}{cc} -2 & 0 \\ 1 & 100 \\ 3 & 1 \\ 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{array}\right).$

Analogamente a prima, troviamo i determinanti di tutti i minori $2\times 2$ mediante la formula generale per il calcolo del determinante delle matrici quadrate $2\times 2$ .

$\det \begin{pmatrix} -2 & 0 \\ 1 & 100 \end{pmatrix}=-200;$

$\det \begin{pmatrix} -2 & 0 \\ 3 & 1 \end{pmatrix}=-2 ;$

$\det \begin{pmatrix} -2 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}=-2 ;$

$\det \begin{pmatrix} -2 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}=0 ;$

$\det \begin{pmatrix} 1 & 100 \\ 3 & 1 \end{pmatrix}=1-300=-299 ;$

$\det \begin{pmatrix} 1 & 100 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}=1 ;$

$\det \begin{pmatrix} 1 & 100 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}=0 ;$

$\det \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}=3 ;$

$\det \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}=0 ;$

$\det \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}=0 .$

Esercizio 9 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$

. Calcolare i seguenti determinanti:

$\quad i)\operatorname{det}\left(\begin{array}{cc} 1 & -3 \\ 2 & 2 \end{array}\right) \quad ii)\operatorname{det}\left(\begin{array}{cc} -1 & 2 \\ 2 & 0 \end{array}\right) \quad iii)\operatorname{det}\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 3 \\ 3 & 1 & -1 \\ 0 & 2 & 2 \end{array}\right) \quad iv)\operatorname{det}\left(\begin{array}{ccc} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & -1 \\ 3 & 1 & 1 \end{array}\right)$

$v)\operatorname{det}\left(\begin{array}{cccc} 1 & 1 & 3 & -5 \\ 2 & 2 & 5 & -2 \\ 4 & 4 & 6 & 3 \\ 8 & 8 & 10 & -1 \end{array}\right) \quad vi)\operatorname{det}\left(\begin{array}{ccc} 1 & a & a^{2} \\ 1 & b & b^{2} \\ 1 & 1 & 1 \end{array}\right) \quad vii)\operatorname{det}\left(\begin{array}{ccc} \sin \alpha & \cos \alpha & \cos \alpha \\ -\cos \alpha & \sin \alpha & \sin \alpha \\ \sin \alpha & -\cos \alpha & \sin \alpha \end{array}\right)$

Svolgimento punto i).

Consideriamo la matrice

$\left(\begin{array}{cc} 1 & -3 \\ 2 & 2 \end{array}\right).$

Applicando la formula generale per il calcolo del determinante di matrici quadrate $2\times 2$ si ottiene che

$\det \left(\begin{array}{cc} 1 & -3 \\ 2 & 2 \end{array}\right)=2-(-6)=8.$

Svolgimento punto ii).

Consideriamo la matrice

$\left(\begin{array}{cc} -1 & 2 \\ 2 & 0 \end{array}\right).$

Applicando la formula generale per il calcolo del determinante di matrici quadrate $2\times 2$ si ottiene che

$\det \left(\begin{array}{cc} -1 & 2 \\ 2 & 0 \end{array}\right)=0-4=-4.$

Svolgimento punto iii).

Consideriamo la matrice

$\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 3 \\ 3 & 1 & -1 \\ 0 & 2 & 2 \end{array}\right).$

Applicando lo sviluppo di Laplace rispetto alla prima riga si ottiene che

$\begin{align*} \det \left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 3 \\ 3 & 1 & -1 \\ 0 & 2 & 2 \end{array}\right)&=1\cdot\det\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 2 \end{pmatrix}-0\cdot\det\begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}+3\cdot\det\begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}=\\&=2-(-2)+3\cdot(6-0)=\\&=4+18=\\&=22. \end{align*}$

Svolgimento punto iv).

Consideriamo la matrice

$\begin{align*} \left(\begin{array}{ccc} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & -1 \\ 3 & 1 & 1 \end{array}\right). \end{align*}$

Sviluppando secondo Laplace rispetto alla prima riga si ottiene che

$\begin{align*} \det \left(\begin{array}{ccc} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & -1 \\ 3 & 1 & 1 \end{array}\right)&=2\cdot \det\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}-1\cdot\det\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 3 & 1 \end{pmatrix}+1\cdot\det\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 1 \end{pmatrix}=\\&=2\cdot (2-(-1))-(1-(-3))+1-6=\\&=6-4-5=\\&=-3 . \end{align*}$

Svolgimento punto v).

Consideriamo la matrice

$\left(\begin{array}{cccc} 1 & 1 & 3 & -5 \\ 2 & 2 & 5 & -2 \\ 4 & 4 & 6 & 3 \\ 8 & 8 & 10 & -1 \end{array}\right)$

Essendo la prima e la seconda colonna uguali, esse sono in particolare dipendenti. Quindi, siccome il determinante di una matrice avente due o più righe o colonne linearmente dipendenti è nullo, si ha che

$\det\left(\begin{array}{cccc} 1 & 1 & 3 & -5 \\ 2 & 2 & 5 & -2 \\ 4 & 4 & 6 & 3 \\ 8 & 8 & 10 & -1 \end{array}\right)=0$

Svolgimento punto vi).

Consideriamo la matrice

$\left(\begin{array}{lll} 1 & a & a^{2} \\ 1 & b & b^{2} \\ 1 & 1 & 1 \end{array}\right)$

Osserviamo che essa è una matrice di Vandermonde $3\times 3$ .

In generale, data la matrice di Vandermonde

$V=\left(\begin{array}{ccccc} 1 & \alpha_{1} & \alpha_{1}^{2} & \ldots & \alpha_{1}^{n-1} \\ 1 & \alpha_{2} & \alpha_{2}^{2} & \ldots & \alpha_{2}^{n-1} \\ 1 & \alpha_{3} & \alpha_{3}^{2} & \ldots & \alpha_{3}^{n-1} \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ 1 & \alpha_{n} & \alpha_{n}^{2} & \ldots & \alpha_{n}^{n-1} \end{array}\right)$

il determinante vale

$\det (V)=\prod_{1 \leqslant i<j \leqslant n}\left(\alpha_{j}-\alpha_{i}\right).$

Ma allora, nel nostro caso, abbiamo $\alpha_{1}=a$ , $\alpha_{2}=b$ e $\alpha_{3}=1$ , da cui

$\det \left(\begin{array}{lll} 1 & a & a^{2} \\ 1 & b & b^{2} \\ 1 & 1 & 1 \end{array}\right)=(b-a)(1-a)(1-b).$

Svolgimento punto vii).

Consideriamo la matrice

$\left(\begin{array}{ccc} \sin \alpha & \cos \alpha & \cos \alpha \\ -\cos \alpha & \sin \alpha & \sin \alpha \\ \sin \alpha & -\cos \alpha & \sin \alpha \end{array}\right).$

Sviluppando secondo Laplace rispetto alla prima riga si ottiene che

$\begin{align*} &\det \left(\begin{array}{ccc} \sin \alpha & \cos \alpha & \cos \alpha \\ -\cos \alpha & \sin \alpha & \sin \alpha \\ \sin \alpha & -\cos \alpha & \sin \alpha \end{array}\right)=\\\\&=\sin\alpha\cdot\det \begin{pmatrix} \sin\alpha & \sin\alpha \\ -\cos\alpha & \sin\alpha \end{pmatrix}-\cos\alpha\cdot\det\begin{pmatrix} -\cos\alpha & \sin\alpha \\ \sin\alpha & \sin\alpha \end{pmatrix}+\cos\alpha\cdot\det\begin{pmatrix} -\cos\alpha & \sin\alpha \\ \sin\alpha & -\cos\alpha \end{pmatrix} =\\\\&=\sin\alpha\cdot(\sin^{2}\alpha-(-\cos\alpha\sin\alpha))-\cos\alpha\cdot(-\cos\alpha\sin\alpha-\sin^{2}\alpha)+\cos\alpha\cdot(\cos^{2}\alpha-\sin^{2}\alpha)=\\&=\sin^{3}\alpha+\cos\alpha\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha\sin\alpha+\cos\alpha\sin^{2}\alpha+\cos^{3}\alpha-\cos\alpha\sin^{2}\alpha=\\&=\sin^{3}\alpha+\cos\alpha\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha\sin\alpha+\cos^{3}\alpha=\\&=\sin^{2}\alpha\cdot(\sin\alpha+\cos\alpha)+\cos^{2}\alpha\cdot(\cos\alpha+\sin\alpha)=\\&=\cos\alpha+\sin\alpha. \end{align*}$

Esercizio 10 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$

. Risolvere le seguenti equazioni e disequazioni nell’indeterminata $x$

$i)\operatorname{det}\left(\begin{array}{lll} x & 1 & 0 \\ 0 & x & 1 \\ 1 & 0 & x \end{array}\right)=0 \quad ii)\operatorname{det}\left(\begin{array}{lll} x & 1 & 1 \\ x & x & 1 \\ x & x & x \end{array}\right)=0 \quad iii)\operatorname{det}\left(\begin{array}{lll} x & x & 1 \\ 1 & x & x \\ x & 1 & x \end{array}\right) \geqslant 0 \quad iv)\operatorname{det}\left(\begin{array}{ccc} \sqrt{2} & 1 & 1 \\ x & x & 1 \\ x & \sqrt{2} & \sqrt{2} \end{array}\right)<0$

Svolgimento punto i).

Consideriamo l’equazione

$\operatorname{det}\left(\begin{array}{lll} x & 1 & 0 \\ 0 & x & 1 \\ 1 & 0 & x \end{array}\right)=0 .$

Cominciamo a calcolare il determinante usando lo sviluppo di Laplace rispetto alla prima riga:

$\begin{align*} \operatorname{det}\left(\begin{array}{lll} x & 1 & 0 \\ 0 & x & 1 \\ 1 & 0 & x \end{array}\right)&=x\cdot\det\begin{pmatrix} x & 1 \\ 0 & x \end{pmatrix}-1\cdot \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & x \end{pmatrix} +0\cdot \begin{pmatrix} 0 & x \\ 1 & 0 \end{pmatrix}=\\&=x\cdot (x^{2}-0\cdot 1)-(0\cdot x-1)+0=\\&=x^{3}+1. \end{align*}$

A questo punto

$x^{3}+1=0 \Longleftrightarrow x=-1.$

Svolgimento punto ii).

Consideriamo l’equazione

$\operatorname{det}\left(\begin{array}{lll} x & 1 & 1 \\ x & x & 1 \\ x & x & x \end{array}\right)=0.$

Sviluppando secondo Laplace rispetto alla prima riga si ottiene che:

$\begin{align*} \operatorname{det}\left(\begin{array}{lll} x & 1 & 1 \\ x & x & 1 \\ x & x & x \end{array}\right)&=x\cdot\begin{pmatrix} x & 1 \\ x & x \end{pmatrix}-1\cdot \begin{pmatrix} x & 1 \\ x & x \end{pmatrix}+1\cdot \begin{pmatrix} x & x \\ x & x \end{pmatrix}=\\&=x\cdot (x^{2}-x)-(x^{2}-x)+(x^{2}-x^{2})=\\&=x^{3}-x^{2}-x^{2}+x+x^{2}-x^{2}=\\&=x^{3}-2x^{2}+x=\\&=x\cdot(x^{2}-2x+1)=\\&=x\cdot (x-1)^{2}. \end{align*}$

Ma allora

$x\cdot (x-1)^{2} =0\Longleftrightarrow x=0,1.$

Svolgimento punto iii).

Consideriamo la disequazione

$\operatorname{det}\left(\begin{array}{lll} x & x & 1 \\ 1 & x & x \\ x & 1 & x \end{array}\right) \geq 0.$

Sviluppando secondo Laplace rispetto alla prima riga si ottiene che:

$\begin{align*} \operatorname{det}\left(\begin{array}{lll} x & x & 1 \\ 1 & x & x \\ x & 1 & x \end{array}\right)&=x\cdot\det \begin{pmatrix} x & x \\ 1 & x \end{pmatrix}-x\cdot\det\begin{pmatrix} 1 & x \\ x & x \end{pmatrix}+1\cdot\det \begin{pmatrix} 1 & x \\ x & 1 \end{pmatrix}=\\&=x\cdot (x^{2}-x)-x\cdot (x-x^{2})+1-x^{2}=\\&=x^{3}-x^{2}-x^{2}+x^{3}+1-x^{2}=\\&=2x^{3}-3x^{2}+1=\\&=(2x+1)\cdot (x-1)^{2}, \end{align*}$

dove nell’ultima uguaglianza si è notato, ad esempio, che $x=1$ è una soluzione e si è fattorizato il polinomio con Ruffini.

Ma allora

$(2x+1)\cdot (x-1)^{2}\geq 0 \Longleftrightarrow 2x+1\geq 0 \Longleftrightarrow x\geq - \frac{1}{2}.$

Svolgimento punto iv).

Consideriamo la disequazione

$\operatorname{det}\left(\begin{array}{ccc} \sqrt{2} & 1 & 1 \\ x & x & 1 \\ x & \sqrt{2} & \sqrt{2} \end{array}\right)<0.$

Sviluppiamo secondo Laplace rispetto alla prima riga:

$\begin{align*} \operatorname{det}\left(\begin{array}{ccc} \sqrt{2} & 1 & 1 \\ x & x & 1 \\ x & \sqrt{2} & \sqrt{2} \end{array}\right)&=\sqrt{2}\cdot\det \begin{pmatrix} x & 1 \\ \sqrt{2} & \sqrt{2} \end{pmatrix}-1\cdot\det\begin{pmatrix} x & 1 \\ x & \sqrt{2} \end{pmatrix}+1\cdot\det \begin{pmatrix} x & x \\ x & \sqrt{2} \end{pmatrix}=\\&=\sqrt{2}\cdot(\sqrt{2}x-\sqrt{2})-(\sqrt{2}x-x)+\sqrt{2}x-x^{2}=\\&=2x-2-\sqrt{2}x+x+\sqrt{2}x-x^{2}=\\&=-x^{2}+3x-2. \end{align*}$

Ma allora

$-x^{2}+3x-2<0\Longleftrightarrow x^{2}-3x+2=(x-1)(x-2)>0\Longleftrightarrow x>2\; \vee \; x<1.$

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Esercizio 11 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$

. Dimostrare che valgono le seguenti uguaglianze:

1) $\operatorname{det}\left(\begin{array}{ccc}1+x & 1+y & 1 \\ 1+x_{1} & 1+y_{1} & 1 \\ 1+x_{2} & 1+y_{2} & 1\end{array}\right)=\operatorname{det}\left(\begin{array}{ccc}x & y & 1 \\ x_{1} & y_{1} & 1 \\ x_{2} & y_{2} & 1\end{array}\right)$

2) $\operatorname{det}\left(\begin{array}{lll}1 & a & b c \\ 1 & b & a c \\ 1 & c & a b\end{array}\right)=\operatorname{det}\left(\begin{array}{lll}1 & a & a^{2} \\ 1 & b & b^{2} \\ 1 & c & c^{2}\end{array}\right)$

3) $\operatorname{det}\left(\begin{array}{lll}a & b & a b \\ b & c & b c \\ c & a & a c\end{array}\right)=\operatorname{det}\left(\begin{array}{ccc}1 & a c & b c \\ 1 & a b & a c \\ 1 & b c & a b\end{array}\right)$

4) $\operatorname{det}\left(\begin{array}{lll}x_{1}+y_{1} & x_{2}+y_{2} & x_{3}+y_{3} \\ y_{1}+z_{1} & y_{2}+z_{2} & y_{3}+z_{3} \\ x_{1}+z_{1} & x_{2}+z_{2} & x_{3}+z_{3}\end{array}\right)= \operatorname{det}\left(\begin{array}{lll}x_{1} & x_{2} & x_{3} \\ y_{1} & y_{2} & y_{3} \\ z_{1} & z_{2} & z_{3}\end{array}\right)$

Svolgimento punto 1.

Osserviamo che la matrice

$\left(\begin{array}{ccc} 1+x & 1+y & 1 \\ 1+x_{1} & 1+y_{1} & 1 \\ 1+x_{2} & 1+y_{2} & 1 \end{array}\right)$

si ottiene sommando alla prima e alla seconda colonna dalla matrice

$\left(\begin{array}{ccc} x & y & 1 \\ x_{1} & y_{1} & 1 \\ x_{2} & y_{2} & 1 \end{array}\right)$

la terza colonna.

Siccome il determinante di una matrice non cambia se ad una o più colonne viene sommata un’altra colonna della stessa matrice, allora vale l’identità

$\operatorname{det}\left(\begin{array}{ccc} 1+x & 1+y & 1 \\ 1+x_{1} & 1+y_{1} & 1 \\ 1+x_{2} & 1+y_{2} & 1 \end{array}\right)=\operatorname{det}\left(\begin{array}{ccc} x & y & 1 \\ x_{1} & y_{1} & 1 \\ x_{2} & y_{2} & 1 \end{array}\right).$

Svolgimento punto 2.

Osserviamo che la matrice

$\left(\begin{array}{lll} 1 & a & a^{2} \\ 1 & b & b^{2} \\ 1 & c & c^{2} \end{array}\right)$

è una matrice di Vandermonde, quindi, per la formula vista prima sul calcolo del determinante di una matrice di Vandermonde si ha che

$\operatorname{det}\left(\begin{array}{lll} 1 & a & a^{2} \\ 1 & b & b^{2} \\ 1 & c & c^{2} \end{array}\right)=(c-b)(c-a)(b-a).$

Calcoliamo ora il determinante della matrice

$\left(\begin{array}{ccc} 1 & a & b c \\ 1 & b & a c \\ 1 & c & a b \end{array}\right)$

uando lo sviluppo di Laplace rispetto alla prima colonna:

$\begin{align*} \det\left(\begin{array}{ccc} 1 & a & b c \\ 1 & b & a c \\ 1 & c & a b \end{array}\right)&=1\cdot\det\begin{pmatrix} b & ac \\ c & ab \end{pmatrix} -1\cdot\det\begin{pmatrix} a & bc \\ c & ab \end{pmatrix} +1\cdot\det\begin{pmatrix} a & bc \\ b & ac \end{pmatrix}=\\&=ab^{2}-ac^{2}-a^{2}b+bc^{2}+a^{2}c-b^{2}c=\\& = (b-a)c^2-(b^2-a^2)c + ab^2-a^2b=\\&=(c^2-(a+b)c+ab)(b-a) \\& =(c-b)(c-a)(b-a). \end{align*}$

Possiamo quindi concludere che

$\operatorname{det}\left(\begin{array}{lll} 1 & a & b c \\ 1 & b & a c \\ 1 & c & a b \end{array}\right)=\operatorname{det}\left(\begin{array}{ccc} 1 & a & a^{2} \\ 1 & b & b^{2} \\ 1 & c & c^{2} \end{array}\right).$

Svolgimento punto 3.

Consideriamo la matrice

$\left(\begin{array}{lll} a & b & a b \\ b & c & b c \\ c & a & a c \end{array}\right)$

e applichiamo lo sviluppo di Laplace rispetto alla prima colonna ottenendo

$\begin{align*} \det \left(\begin{array}{lll} a & b & a b \\ b & c & b c \\ c & a & a c \end{array}\right)&=a\cdot\det\begin{pmatrix} c & bc \\ a & ac \end{pmatrix}-b\cdot\det \begin{pmatrix} b & ab \\ a & ac \end{pmatrix} +c\cdot \det \begin{pmatrix} b & ab \\ c & bc \end{pmatrix}=\\&=a\cdot (ac^{2}-abc)-b\cdot(bac-a^{2}b)+c\cdot(b^{2}c-cab)=\\&=a^{2}c^{2}-a^{2}bc-b^{2}ac+a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}-c^{2}ab . \end{align*}$

Consideriamo poi la matrice

$\left(\begin{array}{lll} 1 & a c & b c \\ 1 & a b & a c \\ 1 & b c & a b \end{array}\right).$

Sviluppando rispetto alla prima colonna si ottiene che

$\begin{align*} \det \left(\begin{array}{lll} 1 & a c & b c \\ 1 & a b & a c \\ 1 & b c & a b \end{array}\right)&=1\cdot\begin{pmatrix} ab & ac \\ bc & ab \end{pmatrix}-1\cdot\det\begin{pmatrix} ac & bc \\ bc & ab \end{pmatrix}+1\cdot\det \begin{pmatrix} ac & bc \\ ab & ac \end{pmatrix}=\\&=a^{2}b^{2}-c^{2}ab-a^{2}bc+b^{2}c^{2}+a^{2}c^{2}-b^{2}ac. \end{align*}$

Possiamo quindi concludere che

$\operatorname{det}\left(\begin{array}{lll} a & b & a b \\ b & c & b c \\ c & a & a c \end{array}\right)=\operatorname{det}\left(\begin{array}{ccc} 1 & a c & b c \\ 1 & a b & a c \\ 1 & b c & a b \end{array}\right).$

Svolgimento punto 4.

Consideriamo la matrice

$\left(\begin{array}{lll} x_{1}+y_{1} & x_{2}+y_{2} & x_{3}+y_{3} \\ y_{1}+z_{1} & y_{2}+z_{2} & y_{3}+z_{3} \\ x_{1}+z_{1} & x_{2}+z_{2} & x_{3}+z_{3} \end{array}\right).$

Osserviamo che si ottiene partendo dalla matrice

$\left(\begin{array}{lll} x_{1} & x_{2} & x_{3} \\ y_{1} & y_{2} & y_{3} \\ z_{1} & z_{2} & z_{3} \end{array}\right)$

e sommando alla prima riga la seconda, alla seconda la terza, alla terza la prima.

In generale, sommando ad una riga o ad una colonna di una matrice una combinazione lineare delle rimanenti, il determinante non cambia.

Come conseguenza, si ha che il determinante delle due matrici prese in considerazione è uguale, ovvero

$\operatorname{det}\left(\begin{array}{lll} x_{1}+y_{1} & x_{2}+y_{2} & x_{3}+y_{3} \\ y_{1}+z_{1} & y_{2}+z_{2} & y_{3}+z_{3} \\ x_{1}+z_{1} & x_{2}+z_{2} & x_{3}+z_{3} \end{array}\right)=2 \operatorname{det}\left(\begin{array}{lll} x_{1} & x_{2} & x_{3} \\ y_{1} & y_{2} & y_{3} \\ z_{1} & z_{2} & z_{3} \end{array}\right).$

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