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Esercizi sulla diagonalizzazione di matrici

Autovalori e diagonalizzazione

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Esercizi sulla diagonalizzazione di matrici

In questo articolo proponiamo 6 esercizi svolti sulla diagonalizzazione di matrici quadrate. Gli esercizi sono principalmente di carattere pratico, per aiutare il lettore a comprendere in maniera immediata gli aspetti della diagonalizzazione e della ricerca degli autovalori.

La dispensa si propone quindi come un supporto per chi si avvicina a questo importantissimo argomento, con lo scopo di fare pratica con le definizioni e i risultati teorici essenziali, risultando dunque particolarmente indicata per studenti di tutti i corsi di laurea scientifici in cui è presente un esame di algebra lineare e geometria. Buona lettura!

 

Richiami di teoria sulla diagonalizzazione di matrici

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Richiamiamo di seguito le definizioni e i risultati fondamentali per la risoluzione degli esercizi.

Definizione 1 (diagonalizzazone). Una matrice D \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) si dice diagonale se i suoi elementi al di fuori della diagonale principale sono nulli, ossia se D è della forma

    \begin{equation*} D = \begin{pmatrix} d_1 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & d_2 & \dots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & \dots & 0 & d_n \end{pmatrix}. \end{equation*}

Una matrice A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) si dice diagonalizzabile se esistono una matrice diagonale D \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) e una matrice P\in \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) invertibile tali che

    \begin{equation*} A = P D P^{-1}, \end{equation*}

dove le operazioni sono prodotti righe per colonne di matrici. P si dice matrice diagonalizzante di A e le matrici A e D si dicono simili.

Tale proprietà, come vedremo a breve, è strettamente correlata alle nozioni di autovettore e autovalore della matrice in esame.

Definizione 2 (autovalori e autovettori). Data una matrice A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R}), un numero reale \lambda si dice autovalore di A se esiste v =(v_1,\dots,v_n) \in \mathbb{R}^n \setminus \{\mathbf{0}\} tale che Av= \lambda v, ossia se

    \begin{equation*} A \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ \vdots\\ v_n \end{pmatrix} = \lambda \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ \vdots\\ v_n \end{pmatrix}. \end{equation*}

Un tale v è detto autovettore di A relativo all’autovalore \lambda.

Il prossimo risultato collega le nozioni di autovettori e autovalori alla diagonalizzabilità di una matrice.

Teorema 3. Per una matrice A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) valgono le seguenti proprietà.

  1. Se \lambda è un autovalore di A, l’insieme E(\lambda) costituito dagli autovettori relativi a \lambda e da \mathbf{0} è un sottospazio vettoriale di \mathbb{R}^n, detto autospazio relativo a \lambda. La dimensione di E(\lambda) è detta molteplicità geometrica dell’autovalore \lambda e si indica con \operatorname{mg}(\lambda).
  2. Autovettori relativi ad autovalori distinti sono linearmente indipendenti.
  3. A è diagonalizzabile se e solo se esiste una base \mathcal{B} \coloneqq \{v^1,\dots,v^n\} di \mathbb{R}^n costituita da autovettori di A, detta base diagonalizzante. In tal caso

        \begin{equation*} D = \begin{pmatrix} \lambda_1 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & \lambda _2 & \dots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & \dots & 0 & \lambda_n \end{pmatrix} \qquad \text{e} \qquad P= \begin{pmatrix} v_1^1 & v_1^2 & \dots & v_1^n \\[3pt] v_2^1 & v_2^2 & \dots & v_2^n \\[3pt] \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ v_n^1 & v_n^2 & \dots & v_n^n \end{pmatrix}, \end{equation*}

    ovvero le componenti di D sulla diagonale principale sono gli autovalori (non necessariamente distinti) \lambda_i di A e P è la matrice avente, sulla colonna i-esima, le componenti dell’autovettore v^i relativo all’autovalore \lambda_i. P è quindi la matrice di cambiamento tra la base \mathcal{B} e la base canonica.

In particolare, A è diagonalizzabile se e solo se la somma delle dimensioni dei suoi autospazi (cioè la somma delle molteplicità geometriche dei suoi autovalori) è pari a n.

Al fine di stabilire se una matrice A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) sia diagonalizzabile, è quindi necessario determinarne gli eventuali autovalori e le dimensioni dei relativi autospazi. Per eseguire tale analisi, è molto utile il seguente risultato, che esplicita un metodo algebrico per il calcolo degli autovettori di una matrice e per stabilire se essa è diagonalizzabile.

Teorema 4. Sia A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) una matrice quadrata.

  1. \lambda è un autovalore di A se e solo se \ker(A - \lambda I) \neq \{\mathbf{0}\}. In particolare, gli autovalori di A sono tutte e sole le radici dell’equazione algebrica nell’incognita \lambda

        \begin{equation*} \det(A - \lambda I)=0. \end{equation*}

    Il polinomio p(\lambda) \coloneqq \det(A - \lambda I) nella variabile \lambda è detto polinomio caratteristico della matrice A. La molteplicità di un autovalore \lambda come radice di p(\lambda) è detta molteplicità algebrica di \lambda e si indica con \operatorname{ma}(\lambda).

  2. Se \lambda è un autovalore di A, l’autospazio E(\lambda) coincide con \ker(A- \lambda I) e la sua dimensione è pari a \operatorname{mg}(\lambda). Vale inoltre

    (1)   \begin{equation*} \operatorname{mg}(\lambda) \leq \operatorname{ma}(\lambda). \end{equation*}

  3. A\in \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) è diagonalizzabile se e solo se il suo polinomio caratteristico ha n radici reali contate con la loro molteplicità e se per ognuna di queste radici \lambda si ha

        \begin{equation*} \operatorname{ma}(\lambda) = \operatorname{mg}(\lambda). \end{equation*}

    In altre parole A è diagonalizzabile se e solo se esiste una base di \mathbb{R}^n costituita da autovettori di A.

Osservazione 5. Dai precedenti risultati discendono le seguenti proprietà:

  1. il termine noto del polinomio caratteristico è pari al determinante della matrice A, mentre il termine di grado n-1 è pari a (-1)^{n-1} \operatorname{Tr}(A)=(-1)^{n-1} \sum_{k=1}^n a_{kk};
  2. un vettore v \in \mathbb{R}^n appartiene all’autospazio E(\lambda) se e solo se esso è soluzione del sistema lineare omogeneo

        \begin{equation*} (A-\lambda I)v= \mathbf{0}. \end{equation*}

  3. Se \operatorname{ma}(\lambda)=1, allora anche \operatorname{mg}(\lambda)=1. Ciò è conseguenza di (1) e del fatto che, poiché la matrice A-\lambda I non è invertibile, ha nucleo non banale e quindi \operatorname{mg}(\lambda)\geq 1. In particolare, se A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) ha n autovalori distinti, allora A è diagonalizzabile.

 

Testi degli esercizi sulla diagonalizzazione di matrici

Esercizio 1  (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar).
Stabilire se le seguenti matrici \mathcal{M}_2(\mathbb{R}) sono diagonalizzabili e, in caso affermativo, determinarne gli autovalori e una base diagonalizzante.

  1. \displaystyle A= \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix};
  2. \displaystyle A= \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix};
  3. A=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 0 \end{pmatrix};
  4. A=\begin{pmatrix} 5 & 4 \\ 4 & 5 \end{pmatrix}.

 
Svolgimento esercizio 1.

 

Esercizio 2  (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar).
Stabilire se le seguenti matrici \mathcal{M}_3(\mathbb{R}) sono diagonalizzabili e, in caso affermativo, determinarne gli autovalori e una base diagonalizzante.

  1. \displaystyle A= \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ -1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix};
  2. \displaystyle A= \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} ;
  3. A=\begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 \\ -4 & -1 & -8 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}.

 

Svolgimento esercizio 2.

 

Esercizio 3  (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar).
Stabilire se le seguenti matrici \mathcal{M}_4(\mathbb{R}) sono diagonalizzabili e, in caso affermativo, determinarne gli autovalori e una base diagonalizzante.

  1. \displaystyle A= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & -1 & -1 & 3 \\ 0 & 0 & 3 & -4 \\ 0 & 0 & 2 & -3 \end{pmatrix};
  2. A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 & 0 \\ 2 & -1 & 4 & -2 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -2 & 1 \end{pmatrix};
  3. \displaystyle A= \begin{pmatrix} 2 & -1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{pmatrix} .

 

Svolgimento esercizio 3.

 

Esercizio 4  (\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar).
Stabilire per quali valori del parametro k \in \mathbb{R} le seguenti matrici quadrate sono diagonalizzabili.

  1. \displaystyle A= \begin{pmatrix} 0 & 2 & 0 \\ k & -1 & k \\ 0 & 2 & 0 \end{pmatrix};
  2. A=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & k \end{pmatrix};
  3. \displaystyle A= \begin{pmatrix} 0 & k & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & -1 \\ 1 & -k & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} ;
  4. \displaystyle A= \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 & 0 \\ -(1+k^2) & -2 & -2 & -(1+k^2) \\ 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} .

 

Svolgimento esercizio 4.

 

Esercizio 5  (\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar).
Stabilire per quali valori del parametro k \in \mathbb{R} le matrici

    \begin{equation*} A= \begin{pmatrix} 0 & 2 & 0 \\ 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}, \qquad D= \begin{pmatrix} -2 & 0 & 0 \\ 0 & k & 0 \\ 0 & 0 & k+1 \end{pmatrix} \end{equation*}

sono simili.

 

Svolgimento esercizio 5.

 

Esercizio 6  (\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar).
Sia A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) una matrice non nulla e tale che

    \begin{equation*} A^3 + A = \mathbf{0}. \end{equation*}

  1. Provare che il solo autovalore di A è \lambda=0 e dedurne che A non è diagonalizzabile.
  2. La stessa conclusione sarebbe ancora valida se A avesse coefficienti complessi?

 

Svolgimento esercizio 6.

 
 

Ulteriori esercizi di geometria

In questa sezione vengono raccolti molti altri esercizi che coprono tutti gli argomenti di geometria proposti all’interno del sito con lo scopo di offrire al lettore la possibilità di approfondire e rinforzare le proprie competenze inerenti a tali argomenti.

Strutture algebriche.


Algebra lineare.


Geometria analitica.


Geometria differenziale.

 
 

Risorse didattiche aggiuntive per approfondire la matematica

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  • Math Stack Exchange – Parte della rete Stack Exchange, questo sito è un forum di domande e risposte specificamente dedicato alla matematica. È una delle piattaforme più popolari per discutere e risolvere problemi matematici di vario livello, dall’elementare all’avanzato.
  • Art of Problem Solving (AoPS) – Questo sito è molto noto tra gli studenti di matematica di livello avanzato e i partecipanti a competizioni matematiche. Offre forum, corsi online, e risorse educative su una vasta gamma di argomenti.
  • MathOverflow – Questo sito è destinato a matematici professionisti e ricercatori. È una piattaforma per domande di ricerca avanzata in matematica. È strettamente legato a Math Stack Exchange ma è orientato a un pubblico con una formazione più avanzata.
  • PlanetMath – Una comunità collaborativa di matematici che crea e cura articoli enciclopedici e altre risorse di matematica. È simile a Wikipedia, ma focalizzata esclusivamente sulla matematica.
  • Wolfram MathWorld – Una delle risorse online più complete per la matematica. Contiene migliaia di articoli su argomenti di matematica, creati e curati da esperti. Sebbene non sia un forum, è una risorsa eccellente per la teoria matematica.
  • The Math Forum – Un sito storico che offre un’ampia gamma di risorse, inclusi forum di discussione, articoli e risorse educative. Sebbene alcune parti del sito siano state integrate con altri servizi, come NCTM, rimane una risorsa preziosa per la comunità educativa.
  • Stack Overflow (sezione matematica) – Sebbene Stack Overflow sia principalmente noto per la programmazione, ci sono anche discussioni rilevanti di matematica applicata, specialmente nel contesto della scienza dei dati, statistica, e algoritmi.
  • Reddit (r/Math) – Un subreddit popolare dove si possono trovare discussioni su una vasta gamma di argomenti matematici. È meno formale rispetto ai siti di domande e risposte come Math Stack Exchange, ma ha una comunità attiva e molte discussioni interessanti.
  • Brilliant.org – Offre corsi interattivi e problemi di matematica e scienza. È particolarmente utile per chi vuole allenare le proprie capacità di problem solving in matematica.
  • Khan Academy – Una risorsa educativa globale con lezioni video, esercizi interattivi e articoli su una vasta gamma di argomenti di matematica, dalla scuola elementare all’università.






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