Esercizi sulla diagonalizzazione di matrici

Autovalori e diagonalizzazione

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Esercizio 1   (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar).
Stabilire se le seguenti matrici \mathcal{M}_2(\mathbb{R}) sono diagonalizzabili e, in caso affermativo, determinarne gli autovalori e una base diagonalizzante.

  1. \displaystyle A= \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix};
  2. \displaystyle A= \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix};
  3. A=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 0 \end{pmatrix};
  4. A=\begin{pmatrix} 5 & 4 \\ 4 & 5 \end{pmatrix}.

 

Svolgimento esercizio 1

 

Esercizio 2   (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar).
Stabilire se le seguenti matrici \mathcal{M}_3(\mathbb{R}) sono diagonalizzabili e, in caso affermativo, determinarne gli autovalori e una base diagonalizzante.

  1. \displaystyle A= \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ -1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix};
  2. \displaystyle A= \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} ;
  3. A=\begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 \\ -4 & -1 & -8 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}.

 

Svolgimento esercizio 2

 

Esercizio 3   (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar).
Stabilire se le seguenti matrici \mathcal{M}_4(\mathbb{R}) sono diagonalizzabili e, in caso affermativo, determinarne gli autovalori e una base diagonalizzante.

  1. \displaystyle A= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & -1 & -1 & 3 \\ 0 & 0 & 3 & -4 \\ 0 & 0 & 2 & -3 \end{pmatrix};
  2. A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 & 0 \\ 2 & -1 & 4 & -2 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -2 & 1 \end{pmatrix};
  3. \displaystyle A= \begin{pmatrix} 2 & -1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{pmatrix} .

 

Svolgimento esercizio 3

 

Esercizio 4   (\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar).
Stabilire per quali valori del parametro k \in \mathbb{R} le seguenti matrici quadrate sono diagonalizzabili.

  1. \displaystyle A= \begin{pmatrix} 0 & 2 & 0 \\ k & -1 & k \\ 0 & 2 & 0 \end{pmatrix};
  2. A=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & k \end{pmatrix};
  3. \displaystyle A= \begin{pmatrix} 0 & k & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & -1 \\ 1 & -k & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} ;
  4. \displaystyle A= \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 & 0 \\ -(1+k^2) & -2 & -2 & -(1+k^2) \\ 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} .

 

Svolgimento esercizio 4

 

Esercizio 5   (\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar).
Stabilire per quali valori del parametro k \in \mathbb{R} le matrici

    \begin{equation*} A= \begin{pmatrix} 0 & 2 & 0 \\ 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}, \qquad D= \begin{pmatrix} -2 & 0 & 0 \\ 0 & k & 0 \\ 0 & 0 & k+1 \end{pmatrix} \end{equation*}

sono simili.

 

Svolgimento esercizio 5

 

Esercizio 6   (\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar).
Sia A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) una matrice non nulla e tale che

    \begin{equation*} A^3 + A = \mathbf{0}. \end{equation*}

  1. Provare che il solo autovalore di A è \lambda=0 e dedurne che A non è diagonalizzabile.
  2. La stessa conclusione sarebbe ancora valida se A avesse coefficienti complessi?

 

Svolgimento esercizio 6