Diagonalizzazione di matrici: esercizio 6 (autovalori)

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In questo sesto e ultimo articolo della raccolta di esercizi sulla diagonalizzazione di matrici studiamo la la diagonalizzabilità di una matrice soddisfacente un’equazione, mediante lo studio dei suoi autovalori. Segnaliamo anche il precedente esercizio sulla diagonalizzazione di matrici – 5 per lo studio della similitudine di matrici dipendenti da un parametro.

Testo dell’esercizio

Esercizio 6 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ .
Sia $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ una matrice non nulla e tale che

$\begin{equation*} A^3 + A = \mathbf{0}. \end{equation*}$

Provare che il solo autovalore di $A$ è $\lambda=0$ e dedurne che $A$ non è diagonalizzabile.
La stessa conclusione sarebbe ancora valida se $A$ avesse coefficienti complessi?

Svolgimento punto 1.

Sia $\lambda\in\mathbb{R}$

un autovalore di $A$

associato all’autovettore $v\in \mathbb{R}^n$

con $v\neq \mathbf{0}$

. Allora $A v=\lambda v$

e, applicando $A$

ad ambo i lati dell’uguaglianza per due volte, abbiamo $A^3(v)=\lambda^3 v$

; tenendo conto di $A^3+A=\mathbf{0}$

si ottiene

$\begin{equation*} \lambda^3 v + \lambda v = \mathbf{0} \implies 0=\lambda^3+\lambda=\lambda(\lambda^2+1), \end{equation*}$

da cui segue che l’unico autovalore reale è $\lambda=0$ . Se $A$ fosse diagonalizzabile, dunque, dovrebbe essere nulla ma ciò contraddice l’ipotesi che $A \neq \mathbf{0}$ . Da ciò segue che $A$ non è diagonalizzabile.

Svolgimento punto 2.

La risposta è negativa; infatti

$\begin{equation*} A^3+A= \mathbf{0} \iff A(A^2+I)=\mathbf{0}, \end{equation*}$

che è soddisfatta ad esempio dalle matrici diagonali della forma

$\begin{equation*} A= \begin{pmatrix} \pm i & 0 & \dots & 0 \\ 0 & \pm i & \dots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & \dots & 0 & \pm i \end{pmatrix}, \end{equation*}$

in quanto tali matrici sono tali che $A^2=-I$ .

Scarica gli esercizi svolti

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