Diagonalizzazione di matrici: esercizio 6 (autovalori)

Autovalori e diagonalizzazione

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In questo sesto e ultimo articolo della raccolta di esercizi sulla diagonalizzazione di matrici studiamo la la diagonalizzabilità di una matrice soddisfacente un’equazione, mediante lo studio dei suoi autovalori. Segnaliamo anche il precedente esercizio sulla diagonalizzazione di matrici – 5 per lo studio della similitudine di matrici dipendenti da un parametro.

Testo dell’esercizio

Esercizio 6 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ .
Sia $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ una matrice non nulla e tale che

$\begin{equation*} A^3 + A = \mathbf{0}. \end{equation*}$

Provare che il solo autovalore di $A$ è $\lambda=0$ e dedurne che $A$ non è diagonalizzabile.
La stessa conclusione sarebbe ancora valida se $A$ avesse coefficienti complessi?

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