Diagonalizzazione di matrici: esercizio 5 (matrici simili)

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In questo quinto articolo della raccolta di esercizi sulla diagonalizzazione di matrici studiamo la similitudine di alcune matrici dipendenti da un parametro. Segnaliamo anche il precedente esercizio sulla diagonalizzazione di matrici – 4 per lo studio della diagonalizzabilità di matrici dipendenti da un parametro e il successivo esercizio sulla diagonalizzazione di matrici – 6 per lo studio della diagonalizzabilità di una matrice soddisfacente un’equazione.

Testo dell’esercizio

Esercizio 5 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ .
Stabilire per quali valori del parametro $k \in \mathbb{R}$ le matrici

$\begin{equation*} A= \begin{pmatrix} 0 & 2 & 0 \\ 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}, \qquad D= \begin{pmatrix} -2 & 0 & 0 \\ 0 & k & 0 \\ 0 & 0 & k+1 \end{pmatrix} \end{equation*}$

sono simili.

Richiami di teoria.

Richiamiamo di seguito le definizioni e i risultati fondamentali per la risoluzione degli esercizi.

Definizione 1 (diagonalizzazone). Una matrice $D \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ si dice diagonale se i suoi elementi al di fuori della diagonale principale sono nulli, ossia se $D$ è della forma

$\begin{equation*} D = \begin{pmatrix} d_1 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & d_2 & \dots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & \dots & 0 & d_n \end{pmatrix}. \end{equation*}$

Una matrice $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ si dice diagonalizzabile se esistono una matrice diagonale $D \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ e una matrice $P\in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ invertibile tali che

$\begin{equation*} A = P D P^{-1}, \end{equation*}$

dove le operazioni sono prodotti righe per colonne di matrici. $P$ si dice matrice diagonalizzante di $A$ e le matrici $A$ e $D$ si dicono simili.

Tale proprietà, come vedremo a breve, è strettamente correlata alle nozioni di autovettore e autovalore della matrice in esame.

Definizione 2 (autovalori e autovettori). Data una matrice $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ , un numero reale $\lambda$ si dice autovalore di $A$ se esiste $v =(v_1,\dots,v_n) \in \mathbb{R}^n \setminus \{\mathbf{0}\}$ tale che $Av= \lambda v$ , ossia se

$\begin{equation*} A \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ \vdots\\ v_n \end{pmatrix} = \lambda \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ \vdots\\ v_n \end{pmatrix}. \end{equation*}$

Un tale $v$ è detto autovettore di $A$ relativo all’autovalore $\lambda$ .

Il prossimo risultato collega le nozioni di autovettori e autovalori alla diagonalizzabilità di una matrice.

Teorema 3. Per una matrice $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ valgono le seguenti proprietà.

Se $\lambda$ è un autovalore di $A$ , l’insieme $E(\lambda)$ costituito dagli autovettori relativi a $\lambda$ e da $\mathbf{0}$ è un sottospazio vettoriale di $\mathbb{R}^n$ , detto autospazio relativo a $\lambda$ . La dimensione di $E(\lambda)$ è detta molteplicità geometrica dell’autovalore $\lambda$ e si indica con $\operatorname{mg}(\lambda)$ .
Autovettori relativi ad autovalori distinti sono linearmente indipendenti.
$A$ è diagonalizzabile se e solo se esiste una base $\mathcal{B} \coloneqq \{v^1,\dots,v^n\}$ di $\mathbb{R}^n$ costituita da autovettori di $A$ , detta base diagonalizzante. In tal caso
$\begin{equation*} D = \begin{pmatrix} \lambda_1 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & \lambda _2 & \dots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & \dots & 0 & \lambda_n \end{pmatrix} \qquad \text{e} \qquad P= \begin{pmatrix} v_1^1 & v_1^2 & \dots & v_1^n \\[3pt] v_2^1 & v_2^2 & \dots & v_2^n \\[3pt] \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ v_n^1 & v_n^2 & \dots & v_n^n \end{pmatrix}, \end{equation*}$

ovvero le componenti di $D$ sulla diagonale principale sono gli autovalori (non necessariamente distinti) $\lambda_i$ di $A$ e $P$ è la matrice avente, sulla colonna $i$ -esima, le componenti dell’autovettore $v^i$ relativo all’autovalore $\lambda_i$ . $P$ è quindi la matrice di cambiamento tra la base $\mathcal{B}$ e la base canonica.

In particolare, $A$ è diagonalizzabile se e solo se la somma delle dimensioni dei suoi autospazi (cioè la somma delle molteplicità geometriche dei suoi autovalori) è pari a $n$ .

Al fine di stabilire se una matrice $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ sia diagonalizzabile, è quindi necessario determinarne gli eventuali autovalori e le dimensioni dei relativi autospazi. Per eseguire tale analisi, è molto utile il seguente risultato, che esplicita un metodo algebrico per il calcolo degli autovettori di una matrice e per stabilire se essa è diagonalizzabile.

Teorema 4. Sia $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ una matrice quadrata.

$\lambda$ è un autovalore di $A$ se e solo se $\ker(A - \lambda I) \neq \{\mathbf{0}\}$ . In particolare, gli autovalori di $A$ sono tutte e sole le radici dell’equazione algebrica nell’incognita $\lambda$
$\begin{equation*} \det(A - \lambda I)=0. \end{equation*}$

Il polinomio $p(\lambda) \coloneqq \det(A - \lambda I)$ nella variabile $\lambda$ è detto polinomio caratteristico della matrice $A$ . La molteplicità di un autovalore $\lambda$ come radice di $p(\lambda)$ è detta molteplicità algebrica di $\lambda$ e si indica con $\operatorname{ma}(\lambda)$ .
Se $\lambda$ è un autovalore di $A$ , l’autospazio $E(\lambda)$ coincide con $\ker(A- \lambda I)$ e la sua dimensione è pari a $\operatorname{mg}(\lambda)$ . Vale inoltre

(1) $\begin{equation*} \operatorname{mg}(\lambda) \leq \operatorname{ma}(\lambda). \end{equation*}$
$A\in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ è diagonalizzabile se e solo se il suo polinomio caratteristico ha $n$ radici reali contate con la loro molteplicità e se per ognuna di queste radici $\lambda$ si ha
$\begin{equation*} \operatorname{ma}(\lambda) = \operatorname{mg}(\lambda). \end{equation*}$

In altre parole $A$ è diagonalizzabile se e solo se esiste una base di $\mathbb{R}^n$ costituita da autovettori di $A$ .

Osservazione 5. Dai precedenti risultati discendono le seguenti proprietà:

il termine noto del polinomio caratteristico è pari al determinante della matrice $A$ , mentre il termine di grado $n-1$ è pari a $(-1)^{n-1} \operatorname{Tr}(A)=(-1)^{n-1} \sum_{k=1}^n a_{kk}$ ;
un vettore $v \in \mathbb{R}^n$ appartiene all’autospazio $E(\lambda)$ se e solo se esso è soluzione del sistema lineare omogeneo
$\begin{equation*} (A-\lambda I)v= \mathbf{0}. \end{equation*}$
Se $\operatorname{ma}(\lambda)=1$ , allora anche $\operatorname{mg}(\lambda)=1$ . Ciò è conseguenza di (1) e del fatto che, poiché la matrice $A-\lambda I$ non è invertibile, ha nucleo non banale e quindi $\operatorname{mg}(\lambda)\geq 1$ . In particolare, se $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ ha $n$ autovalori distinti, allora $A$ è diagonalizzabile.