Esercizi diagonalizzazione matrici 4

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Richiamiamo di seguito le definizioni e i risultati fondamentali per la risoluzione degli esercizi.

Definizione 1 (diagonalizzazone).
Una matrice $D \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ si dice diagonale se i suoi elementi al di fuori della diagonale principale sono nulli, ossia se $D$ è della forma

$\begin{equation*} D = \begin{pmatrix} d_1 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & d_2 & \dots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & \dots & 0 & d_n \end{pmatrix}. \end{equation*}$

Una matrice $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ si dice diagonalizzabile se esistono una matrice diagonale $D \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ e una matrice $P\in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ invertibile tali che

$\begin{equation*} A = P D P^{-1}, \end{equation*}$

dove le operazioni sono prodotti righe per colonne di matrici. $P$ si dice matrice diagonalizzante di $A$ e le matrici $A$ e $D$ si dicono simili.

Tale proprietà, come vedremo a breve, è strettamente correlata alle nozioni di autovettore e autovalore della matrice in esame.

Definizione 2 (autovalori e autovettori).
Data una matrice $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ , un numero reale $\lambda$ si dice autovalore di $A$ se esiste $v =(v_1,\dots,v_n) \in \mathbb{R}^n \setminus \{\mathbf{0}\}$ tale che $Av= \lambda v$ , ossia se

$\begin{equation*} A \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ \vdots\\ v_n \end{pmatrix} = \lambda \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ \vdots\\ v_n \end{pmatrix}. \end{equation*}$

Un tale $v$ è detto autovettore di $A$ relativo all’autovalore $\lambda$ .

Il prossimo risultato collega le nozioni di autovettori e autovalori alla diagonalizzabilità di una matrice.

Teorema 3.
Per una matrice $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ valgono le seguenti proprietà.

Se $\lambda$ è un autovalore di $A$ , l’insieme $E(\lambda)$ costituito dagli autovettori relativi a $\lambda$ e da $\mathbf{0}$ è un sottospazio vettoriale di $\mathbb{R}^n$ , detto autospazio relativo a $\lambda$ . La dimensione di $E(\lambda)$ è detta molteplicità geometrica dell’autovalore $\lambda$ e si indica con $\operatorname{mg}(\lambda)$ .
Autovettori relativi ad autovalori distinti sono linearmente indipendenti.
$A$ è diagonalizzabile se e solo se esiste una base $\mathcal{B} \coloneqq \{v^1,\dots,v^n\}$ di $\mathbb{R}^n$ costituita da autovettori di $A$ , detta base diagonalizzante. In tal caso
$\begin{equation*} D = \begin{pmatrix} \lambda_1 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & \lambda _2 & \dots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & \dots & 0 & \lambda_n \end{pmatrix} \qquad \text{e} \qquad P= \begin{pmatrix} v_1^1 & v_1^2 & \dots & v_1^n \\[3pt] v_2^1 & v_2^2 & \dots & v_2^n \\[3pt] \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ v_n^1 & v_n^2 & \dots & v_n^n \end{pmatrix}, \end{equation*}$

ovvero le componenti di $D$ sulla diagonale principale sono gli autovalori (non necessariamente distinti) $\lambda_i$ di $A$ e $P$ è la matrice avente, sulla colonna $i$ -esima, le componenti dell’autovettore $v^i$ relativo all’autovalore $\lambda_i$ . $P$ è quindi la matrice di cambiamento tra la base $\mathcal{B}$ e la base canonica.

In particolare, $A$ è diagonalizzabile se e solo se la somma delle dimensioni dei suoi autospazi (cioè la somma delle molteplicità geometriche dei suoi autovalori) è pari a $n$ .

Al fine di stabilire se una matrice $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ sia diagonalizzabile, è quindi necessario determinarne gli eventuali autovalori e le dimensioni dei relativi autospazi. Per eseguire tale analisi, è molto utile il seguente risultato, che esplicita un metodo algebrico per il calcolo degli autovettori di una matrice e per stabilire se essa è diagonalizzabile.

Teorema 4.
Sia $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ una matrice quadrata.

$\lambda$ è un autovalore di $A$ se e solo se $\ker(A - \lambda I) \neq \{\mathbf{0}\}$ . In particolare, gli autovalori di $A$ sono tutte e sole le radici dell’equazione algebrica nell’incognita $\lambda$
$\begin{equation*} \det(A - \lambda I)=0. \end{equation*}$

Il polinomio $p(\lambda) \coloneqq \det(A - \lambda I)$ nella variabile $\lambda$ è detto polinomio caratteristico della matrice $A$ .
La molteplicità di un autovalore $\lambda$ come radice di $p(\lambda)$ è detta molteplicità algebrica di $\lambda$ e si indica con $\operatorname{ma}(\lambda)$ .
Se $\lambda$ è un autovalore di $A$ , l’autospazio $E(\lambda)$ coincide con $\ker(A- \lambda I)$ e la sua dimensione è pari a $\operatorname{mg}(\lambda)$ . Vale inoltre

(1) $\begin{equation*} \operatorname{mg}(\lambda) \leq \operatorname{ma}(\lambda). \end{equation*}$
$A\in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ è diagonalizzabile se e solo se il suo polinomio caratteristico ha $n$ radici reali contate con la loro molteplicità e se per ognuna di queste radici $\lambda$ si ha
$\begin{equation*} \operatorname{ma}(\lambda) = \operatorname{mg}(\lambda). \end{equation*}$

In altre parole $A$ è diagonalizzabile se e solo se esiste una base di $\mathbb{R}^n$ costituita da autovettori di $A$ .

Osservazione 5.
Dai precedenti risultati discendono le seguenti proprietà:

il termine noto del polinomio caratteristico è pari al determinante della matrice $A$ , mentre il termine di grado $n-1$ è pari a $(-1)^{n-1} \operatorname{Tr}(A)=(-1)^{n-1} \sum_{k=1}^n a_{kk}$ ;
un vettore $v \in \mathbb{R}^n$ appartiene all’autospazio $E(\lambda)$ se e solo se esso è soluzione del sistema lineare omogeneo
$\begin{equation*} (A-\lambda I)v= \mathbf{0}. \end{equation*}$
Se $\operatorname{ma}(\lambda)=1$ , allora anche $\operatorname{mg}(\lambda)=1$ . Ciò è conseguenza di (1) e del fatto che, poiché la matrice $A-\lambda I$ non è invertibile, ha nucleo non banale e quindi $\operatorname{mg}(\lambda)\geq 1$ . In particolare, se $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ ha $n$ autovalori distinti, allora $A$ è diagonalizzabile.

Testi degli esercizi

Esercizio 4 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ .
Stabilire per quali valori del parametro $k \in \mathbb{R}$ le seguenti matrici quadrate sono diagonalizzabili.

$\displaystyle A= \begin{pmatrix} 0 & 2 & 0 \\ k & -1 & k \\ 0 & 2 & 0 \end{pmatrix};$
$A=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & k \end{pmatrix};$
$\displaystyle A= \begin{pmatrix} 0 & k & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & -1 \\ 1 & -k & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} ;$
$\displaystyle A= \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 & 0 \\ -(1+k^2) & -2 & -2 & -(1+k^2) \\ 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} .$

Svolgimento

Fissiamo e determiniamo il polinomio caratteristico di :
$\begin{aligned} p(\lambda)&=\det(A-\lambda I)\\&=\det\begin{pmatrix} -\lambda&2&0\\k&-1-\lambda&k\\0&2&-\lambda \end{pmatrix}\\&=-\lambda \det\begin{pmatrix} -1-\lambda&k\\2&-\lambda \end{pmatrix}-k \det\begin{pmatrix} 2&0\\2&-\lambda \end{pmatrix}\\&=-\lambda(\lambda^2+\lambda-2k)-k(-2\lambda)\\&=-\lambda(\lambda^2+\lambda-4k). \end{aligned}$

Dallo studio del discriminante deduciamo le seguenti conclusioni.
- Se $1+16k<0$ , ovvero $k<-\frac{1}{16}$ , il polinomio caratteristico ha la sola radice reale $\lambda_1=0$ di molteplicità $1$ . Il teorema 4 implica che $A$ non è diagonalizzabile.
- Se $1+16k>0$ e $k \neq 0$ , ovvero $k\in \left (-\frac{1}{16},+\infty \right ) \setminus \{0\}$ , il polinomio caratteristico ha tre radici distinte e abbiamo quindi tre autovalori distinti. L’osservazione 5 assicura che $A$ è diagonalizzabile.
- Se $k=-\frac{1}{16}$ il polinomio caratteristico ha $\lambda_1=0$ come radice singola e $\lambda_2=-\frac{1}{2}$ come radice doppia. In tal caso bisogna studiare la molteplicità geometrica di $-\frac{1}{2}$ .
  $\begin{equation*} \operatorname{mg}\left (-\frac{1}{2} \right ) = \dim \ker \left (A +\frac{1}{2}I \right ) = 3-\operatorname{rnk}\begin{pmatrix}\dfrac{1}{2} &2&0\\[7pt]-\dfrac{1}{16} &-\dfrac{1}{2}&-\dfrac{1}{16}\\[7pt]0&2&\frac{1}{2} \end{pmatrix} =1, \end{equation*}$
  
  in quanto $A +\frac{1}{2}I$ ha due righe indipendenti. Dato che $\operatorname{mg}(\lambda_2)=1<2= \operatorname{ma}(\lambda_2)$ il teorema 4 implica che l’applicazione non è diagonalizzabile.
- Se $k=0$ , il polinomio caratteristico possiede $\lambda_1=0$ come radice di molteplicità $\operatorname{ma}(0)=2$ e $\lambda_2=-1$ come radice di molteplicità $1$ . Dall’osservazione 5 segue che $\operatorname{mg}(-1)=1$ e quindi occorre solo studiare la molteplicità geometrica dell’autovalore $0$ . A tal fine osserviamo che
  $\begin{equation*} \operatorname{mg}(0)= \dim \ker A = 3-\operatorname{rnk} \begin{pmatrix} 0&2&0 \\ 0&-1&0 \\ 0&2&0 \end{pmatrix} = 2, \end{equation*}$
  
  e quindi il teorema 4 assicura la diagonalizzabilità di $A$ .
Determiniamo il polinomio caratteristico di :
$\begin{aligned} p(\lambda) =\det(A-\lambda I) = \det\begin{pmatrix}-\lambda&0&1&0\\0&-\lambda&2&0\\0&0&1-\lambda&0\\0&0&3&k-\lambda \end{pmatrix} = \lambda^2(1-\lambda)(k-\lambda). \end{aligned}$

Gli autovalori sono quindi $\lambda_1=0$ , $\lambda_2=1$ e $\lambda_3=k$ ; studiamone le molteplicità algebriche e geometriche.
- Se $k=0$ , si ha
  $\begin{equation*} \operatorname{mg}(0)=\dim \ker A=3 \end{equation*}$
  
  e quindi, poiché $\operatorname{mg}(1)\geq 1$ per l’osservazione 5, segue che $A$ è diagonalizzabile.
- Se $k=1$ , osserviamo che l’autovalore $\lambda=1$ soddisfa $\operatorname{ma}(1)=2$ , ma
  $\begin{equation*} \operatorname{mg}(1) = \dim \ker(A-I) = 4- \operatorname{rnk}(M-I)= 4- \operatorname{rnk}\begin{pmatrix} -1&0&0&0\\0&-1&2&0\\0&0&0&0\\0&0&3&0 \end{pmatrix}=1 \end{equation*}$
  
  da cui segue che $A$ non è diagonalizzabile per il teorema 4.
- Se $k\neq0$ e $k\neq1$ abbiamo che
  $\operatorname{ma}(1)=\operatorname{ma}(k)=1$ e quindi $\operatorname{mg}(1)=\operatorname{mg}(k)=1$ per l’osservazione 5. Rimangono dunque solo da studiare le molteplicità dell’autovalore $\lambda=0$ . Osserviamo che dalla fattorizzazione del polinomio caratteristico segue
  $\operatorname{ma}(0)=2$ ; d’altra parte, poiché $k \neq 0$ , le ultime due colonne di $A$ sono indipendenti e quindi
  
  $\begin{equation*} \operatorname{mg}(0)=\dim \ker A=2. \end{equation*}$
  
  $A$ è dunque diagonalizzabile.
Studiamo il polinomio caratteristico di , sviluppando il determinante lungo la quarta riga:
$\begin{aligned} p(\lambda)=\det(A-I)=\det\begin{pmatrix} -\lambda&k&0&1\\1&-\lambda&0&-1\\1&-k&1-\lambda&-1\\0&0&0&1-\lambda \end{pmatrix} = (1-\lambda)^2(\lambda^2-k). \end{aligned}$
- Se $k<0$ l’unico autovalore reale di $M$ è $\lambda_1=1$ con $\operatorname{ma}(1)=2$ . Il teorema 4 implica che $A$ non è diagonalizzabile.
- Se $k=0$ , oltre a $\lambda_1$ , vi è un secondo autovalore $\lambda_2=0$ anch’esso con $\operatorname{ma}(0)=2$ . Osserviamo però che
  $\operatorname{mg}(0) = \dim \ker A = 4-\operatorname{rnk}A=4-\operatorname{rnk}\begin{pmatrix} 0&0&0&1\\1&0&0&-1\\1&0&1&-1\\0&0&0&1 \end{pmatrix}=1,$
  
  come si può dedurre notando che prima, seconda e terza riga sono linearmente indipendenti. Il teorema 4 permette di concludere che $A$ non è diagonalizzabile.
- Se $k >0$ e $k \neq 1$ , abbiamo tre autovalori distinti $\lambda_1=1$ , $\lambda_2=\sqrt{k}$ e $\lambda_3=-\sqrt{k}$ .
  Osserviamo che $\lambda_2$ e $\lambda_3$ hanno molteplicità algebrica pari a $1$ tale è anche la loro molteplicità geometrica per l’osservazione 5.
  A questo punto non resta che studiare la molteplicità geometrica di $\lambda_1=1$ :
  
  $\operatorname{mg}(1) = \dim \ker(A-I) = 4-\operatorname{rnk}(A-I)= 4-\operatorname{rnk}\begin{pmatrix} -1&k&0&1\\1&-1&0&-1\\1&-k&0&-1\\0&0&0&0& \end{pmatrix}=2.$
  
  Il teorema 4 implica che $A$ è diagonalizzabile.
- Se $k=1$ , abbiamo due autovalori $\lambda_1=1$ e $\lambda_2=-1$ , di molteplicità algebriche rispettivamente pari a $\operatorname{ma}(1)=3$ e $\operatorname{ma}(-1)=1$ .\\
  Per l’osservazione 5, l’autovalore $\lambda_2=-1$ ha molteplicità geometrica $\operatorname{mg}(-1)=1$ . Studiamo quindi la molteplicità geometrica di $\lambda_1=1$ :
  
  $\operatorname{mg}(1) = \dim \ker (A-I) = 4- \operatorname{rnk}(A-I) = 4- \operatorname{rnk}\begin{pmatrix} -1&1&0&1\\1&-1&0&-1\\1&-1&0&-1\\0&0&0&0 \end{pmatrix} = 3,$
  
  in quanto seconda e terza riga sono identiche e pari all’opposto della prima.
  Dunque $A$ è diagonalizzabile.
Fissiamo e determiniamo il polinomio caratteristico di :
$\begin{aligned} p(\lambda)&=\det(M-\lambda I)\\&=\det\begin{pmatrix} -\lambda&1&1&0\\-1-k^2&-2-\lambda&-2&-1-k^2\\1&0&-\lambda&1\\0&0&0&-\lambda \end{pmatrix}\\[4pt] &= -\lambda\det\begin{pmatrix} -\lambda&1&1\\-1-k^2&-2-\lambda&-2\\1&0&-\lambda \end{pmatrix} \\[4pt] &= -\lambda\det\begin{pmatrix} 1&1\\-2-\lambda&-2 \end{pmatrix}+\lambda^2\det\begin{pmatrix} -\lambda&1\\-1-k^2&-2-\lambda \end{pmatrix}\\[4pt] &=-\lambda^2+\lambda^2(2\lambda+\lambda^2+1+k^2) =\lambda^2(\lambda^2+2\lambda+k^2). \end{aligned}$

Studiamo le molteplicità algebriche e geometriche degli autovalori al variare di $k \in \mathbb{R}$ .
- Se $k\in (-\infty,-1)\cup (1,+\infty)$ il polinomio caratteristico possiede anche radici non e quindi l’applicazione non reali è diagonalizzabile per il teorema 4.
- Se $k\in\{-1,1\}$ , la matrice $A$ possiede l’autovalore $\lambda_1=0$ con $\operatorname{ma}(0)=2$ e l’autovalore $\lambda_2=-1$ con $\operatorname{ma}(-1)=2$ .
  Però si ha
  
  $\operatorname{mg}(-1) = \dim \ker (A+I) = 4- \operatorname{rnk}(A+I) = 4-\operatorname{rnk}\begin{pmatrix} 1&1&1&0\\-2&-1&-2&-2\\1&0&1&1\\0&0&0&1 \end{pmatrix}=1,$
  
  ove il rango, non massimo perché $1$ è un autovalore di $A$ , è calcolato individuando il seguente minore di ordine $3$ non nullo
  
  $\det\begin{pmatrix} -1&-2&-2\\0&1&1\\0&0&1 \end{pmatrix}=-1.$
  
  Poiché molteplicità algebrica e geometrica dell’autovalore $-1$ non coincidono, il teorema 4 assicura che $A$ non è diagonalizzabile.
- Se $k=0$ abbiamo $\lambda_1=0$ con $\operatorname{ma}(0)=3$ e $\lambda=-2$ con $\operatorname{ma}(-2)=1$ .
  D’altra parte si ha
  
  $\operatorname{mg}(0) = \dim \ker (A) = 4- \operatorname{rnk} A=4-\operatorname{rnk}\begin{pmatrix} 0&1&1&0\\-1&-2&-2&-1\\1&0&0&1\\0&0&0&0 \end{pmatrix}=2.$
  
  In questo caso il rango può essere individuato notando che la prima e la terza riga sono linearmente indipendenti e generano la seconda. Poiché $\operatorname{mg}(0) < \operatorname{ma}(0)$ , $A$ non è diagonalizzabile.
  \item Se $k\in(-1,1)\backslash \{0\}$ abbiamo l’autovalore $\lambda_1=0$ con $\operatorname{ma}(0)=2$ e i due autovalori distinti
  $\lambda_{2,3}=\frac{-2\pm\sqrt{4-4k^2}}{2}$
  entrambi con molteplicità algebrica (e quindi geometrica per l’osservazione 5) pari a $1$ .La molteplicità geometrica di $\lambda_1=0$ si ricava come in precedenza osservando che
  
  $\operatorname{mg}(0) = 4-\operatorname{rnk} A = 4-\operatorname{rnk}\begin{pmatrix} 0&1&1&0\\-1-k^2&-2&-2&-1-k^2\\1&0&0&1\\0&0&0&0 \end{pmatrix} = 2$
  
  in quanto la prima e la terza riga sono linearmente indipendenti e generano la seconda. Quindi $\operatorname{mg}(0)=2=\operatorname{ma}(0)$ e la matrice $A$ è diagonalizzabile per il teorema 4.

Gianluca Ruggeri

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