Esercizio sulla diagonalizzazione di matrici – 4

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Esercizio sulla diagonalizzazione di matrici – 4

In questo quarto articolo della raccolta di esercizi sulla diagonalizzazione di matrici studiamo la diagonalizzabilità di alcune matrici dipendenti da un parametro. Segnaliamo anche il precedente esercizio sulla diagonalizzazione di matrici – 3 per lo studio della diagonalizzabilità di matrici $4\times 4$ e il successivo esercizio sulla diagonalizzazione di matrici – 5 per lo studio della similitudine di matrici dipendenti da un parametro.

Testo dell’esercizio sulla diagonalizzazione di matrici

Esercizio 4 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ .
Stabilire per quali valori del parametro $k \in \mathbb{R}$ le seguenti matrici quadrate sono diagonalizzabili.

$\displaystyle A= \begin{pmatrix} 0 & 2 & 0 \\ k & -1 & k \\ 0 & 2 & 0 \end{pmatrix};$
$A=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & k \end{pmatrix};$
$\displaystyle A= \begin{pmatrix} 0 & k & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & -1 \\ 1 & -k & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} ;$
$\displaystyle A= \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 & 0 \\ -(1+k^2) & -2 & -2 & -(1+k^2) \\ 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} .$

Richiami di teoria.

Richiamiamo di seguito le definizioni e i risultati fondamentali per la risoluzione degli esercizi.

Definizione 1 (diagonalizzazone). Una matrice $D \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ si dice diagonale se i suoi elementi al di fuori della diagonale principale sono nulli, ossia se $D$ è della forma

$\begin{equation*} D = \begin{pmatrix} d_1 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & d_2 & \dots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & \dots & 0 & d_n \end{pmatrix}. \end{equation*}$

Una matrice $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ si dice diagonalizzabile se esistono una matrice diagonale $D \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ e una matrice $P\in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ invertibile tali che

$\begin{equation*} A = P D P^{-1}, \end{equation*}$

dove le operazioni sono prodotti righe per colonne di matrici. $P$ si dice matrice diagonalizzante di $A$ e le matrici $A$ e $D$ si dicono simili.

Tale proprietà, come vedremo a breve, è strettamente correlata alle nozioni di autovettore e autovalore della matrice in esame.

Definizione 2 (autovalori e autovettori). Data una matrice $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ , un numero reale $\lambda$ si dice autovalore di $A$ se esiste $v =(v_1,\dots,v_n) \in \mathbb{R}^n \setminus \{\mathbf{0}\}$ tale che $Av= \lambda v$ , ossia se

$\begin{equation*} A \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ \vdots\\ v_n \end{pmatrix} = \lambda \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ \vdots\\ v_n \end{pmatrix}. \end{equation*}$

Un tale $v$ è detto autovettore di $A$ relativo all’autovalore $\lambda$ .

Il prossimo risultato collega le nozioni di autovettori e autovalori alla diagonalizzabilità di una matrice.

Teorema 3. Per una matrice $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ valgono le seguenti proprietà.

Se $\lambda$ è un autovalore di $A$ , l’insieme $E(\lambda)$ costituito dagli autovettori relativi a $\lambda$ e da $\mathbf{0}$ è un sottospazio vettoriale di $\mathbb{R}^n$ , detto autospazio relativo a $\lambda$ . La dimensione di $E(\lambda)$ è detta molteplicità geometrica dell’autovalore $\lambda$ e si indica con $\operatorname{mg}(\lambda)$ .
Autovettori relativi ad autovalori distinti sono linearmente indipendenti.
$A$ è diagonalizzabile se e solo se esiste una base $\mathcal{B} \coloneqq \{v^1,\dots,v^n\}$ di $\mathbb{R}^n$ costituita da autovettori di $A$ , detta base diagonalizzante. In tal caso
$\begin{equation*} D = \begin{pmatrix} \lambda_1 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & \lambda _2 & \dots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & \dots & 0 & \lambda_n \end{pmatrix} \qquad \text{e} \qquad P= \begin{pmatrix} v_1^1 & v_1^2 & \dots & v_1^n \\[3pt] v_2^1 & v_2^2 & \dots & v_2^n \\[3pt] \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ v_n^1 & v_n^2 & \dots & v_n^n \end{pmatrix}, \end{equation*}$

ovvero le componenti di $D$ sulla diagonale principale sono gli autovalori (non necessariamente distinti) $\lambda_i$ di $A$ e $P$ è la matrice avente, sulla colonna $i$ -esima, le componenti dell’autovettore $v^i$ relativo all’autovalore $\lambda_i$ . $P$ è quindi la matrice di cambiamento tra la base $\mathcal{B}$ e la base canonica.

In particolare, $A$ è diagonalizzabile se e solo se la somma delle dimensioni dei suoi autospazi (cioè la somma delle molteplicità geometriche dei suoi autovalori) è pari a $n$ .

Al fine di stabilire se una matrice $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ sia diagonalizzabile, è quindi necessario determinarne gli eventuali autovalori e le dimensioni dei relativi autospazi. Per eseguire tale analisi, è molto utile il seguente risultato, che esplicita un metodo algebrico per il calcolo degli autovettori di una matrice e per stabilire se essa è diagonalizzabile.

Teorema 4. Sia $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ una matrice quadrata.

$\lambda$ è un autovalore di $A$ se e solo se $\ker(A - \lambda I) \neq \{\mathbf{0}\}$ . In particolare, gli autovalori di $A$ sono tutte e sole le radici dell’equazione algebrica nell’incognita $\lambda$
$\begin{equation*} \det(A - \lambda I)=0. \end{equation*}$

Il polinomio $p(\lambda) \coloneqq \det(A - \lambda I)$ nella variabile $\lambda$ è detto polinomio caratteristico della matrice $A$ . La molteplicità di un autovalore $\lambda$ come radice di $p(\lambda)$ è detta molteplicità algebrica di $\lambda$ e si indica con $\operatorname{ma}(\lambda)$ .
Se $\lambda$ è un autovalore di $A$ , l’autospazio $E(\lambda)$ coincide con $\ker(A- \lambda I)$ e la sua dimensione è pari a $\operatorname{mg}(\lambda)$ . Vale inoltre

(1) $\begin{equation*} \operatorname{mg}(\lambda) \leq \operatorname{ma}(\lambda). \end{equation*}$
$A\in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ è diagonalizzabile se e solo se il suo polinomio caratteristico ha $n$ radici reali contate con la loro molteplicità e se per ognuna di queste radici $\lambda$ si ha
$\begin{equation*} \operatorname{ma}(\lambda) = \operatorname{mg}(\lambda). \end{equation*}$

In altre parole $A$ è diagonalizzabile se e solo se esiste una base di $\mathbb{R}^n$ costituita da autovettori di $A$ .

Osservazione 5. Dai precedenti risultati discendono le seguenti proprietà:

il termine noto del polinomio caratteristico è pari al determinante della matrice $A$ , mentre il termine di grado $n-1$ è pari a $(-1)^{n-1} \operatorname{Tr}(A)=(-1)^{n-1} \sum_{k=1}^n a_{kk}$ ;
un vettore $v \in \mathbb{R}^n$ appartiene all’autospazio $E(\lambda)$ se e solo se esso è soluzione del sistema lineare omogeneo
$\begin{equation*} (A-\lambda I)v= \mathbf{0}. \end{equation*}$
Se $\operatorname{ma}(\lambda)=1$ , allora anche $\operatorname{mg}(\lambda)=1$ . Ciò è conseguenza di (1) e del fatto che, poiché la matrice $A-\lambda I$ non è invertibile, ha nucleo non banale e quindi $\operatorname{mg}(\lambda)\geq 1$ . In particolare, se $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ ha $n$ autovalori distinti, allora $A$ è diagonalizzabile.

Svolgimento punto 1.

Fissiamo $k \in \mathbb{R}$ e determiniamo il polinomio caratteristico di $A$ :

$\begin{aligned} p(\lambda)&=\det(A-\lambda I)\\&=\det\begin{pmatrix} -\lambda&2&0\\k&-1-\lambda&k\\0&2&-\lambda \end{pmatrix}\\&=-\lambda \det\begin{pmatrix} -1-\lambda&k\\2&-\lambda \end{pmatrix}-k \det\begin{pmatrix} 2&0\\2&-\lambda \end{pmatrix}\\&=-\lambda(\lambda^2+\lambda-2k)-k(-2\lambda)\\&=-\lambda(\lambda^2+\lambda-4k). \end{aligned}$

Dallo studio del discriminante deduciamo le seguenti conclusioni.

Se $1+16k<0$ , ovvero $k<-\frac{1}{16}$ , il polinomio caratteristico ha la sola radice reale $\lambda_1=0$ di molteplicità $1$ . Il teorema 4 implica che $A$ non è diagonalizzabile.
Se $1+16k>0$ e $k \neq 0$ , ovvero $k\in \left (-\frac{1}{16},+\infty \right ) \setminus \{0\}$ , il polinomio caratteristico ha tre radici distinte e abbiamo quindi tre autovalori distinti. L’osservazione 5 assicura che $A$ è diagonalizzabile.
Se $k=-\frac{1}{16}$ il polinomio caratteristico ha $\lambda_1=0$ come radice singola e $\lambda_2=-\frac{1}{2}$ come radice doppia. In tal caso bisogna studiare la molteplicità geometrica di $-\frac{1}{2}$ .
$\begin{equation*} \operatorname{mg}\left (-\frac{1}{2} \right ) = \dim \ker \left (A +\frac{1}{2}I \right ) = 3-\operatorname{rnk}\begin{pmatrix}\dfrac{1}{2} &2&0\\[7pt]-\dfrac{1}{16} &-\dfrac{1}{2}&-\dfrac{1}{16}\\[7pt]0&2&\frac{1}{2} \end{pmatrix} =1, \end{equation*}$

in quanto $A +\frac{1}{2}I$ ha due righe indipendenti. Dato che $\operatorname{mg}(\lambda_2)=1<2= \operatorname{ma}(\lambda_2)$ il teorema 4 implica che l’applicazione non è diagonalizzabile.
Se $k=0$ , il polinomio caratteristico possiede $\lambda_1=0$ come radice di molteplicità $\operatorname{ma}(0)=2$ e $\lambda_2=-1$ come radice di molteplicità $1$ . Dall’osservazione 5 segue che $\operatorname{mg}(-1)=1$ e quindi occorre solo studiare la molteplicità geometrica dell’autovalore $0$ . A tal fine osserviamo che
$\begin{equation*} \operatorname{mg}(0)= \dim \ker A = 3-\operatorname{rnk} \begin{pmatrix} 0&2&0 \\ 0&-1&0 \\ 0&2&0 \end{pmatrix} = 2, \end{equation*}$

e quindi il teorema 4 assicura la diagonalizzabilità di $A$ .

Svolgimento punto 2.

Determiniamo il polinomio caratteristico di $A$ :

$\begin{aligned} p(\lambda) =\det(A-\lambda I) = \det\begin{pmatrix}-\lambda&0&1&0\\0&-\lambda&2&0\\0&0&1-\lambda&0\\0&0&3&k-\lambda \end{pmatrix} = \lambda^2(1-\lambda)(k-\lambda). \end{aligned}$

Gli autovalori sono quindi $\lambda_1=0$ , $\lambda_2=1$ e $\lambda_3=k$ ; studiamone le molteplicità algebriche e geometriche.

Se $k=0$ , si ha
$\begin{equation*} \operatorname{mg}(0)=\dim \ker A=3 \end{equation*}$

e quindi, poiché $\operatorname{mg}(1)\geq 1$ per l’osservazione 5, segue che $A$ è diagonalizzabile.
Se $k=1$ , osserviamo che l’autovalore $\lambda=1$ soddisfa $\operatorname{ma}(1)=2$ , ma
$\begin{equation*} \operatorname{mg}(1) = \dim \ker(A-I) = 4- \operatorname{rnk}(M-I)= 4- \operatorname{rnk}\begin{pmatrix} -1&0&0&0\\0&-1&2&0\\0&0&0&0\\0&0&3&0 \end{pmatrix}=1 \end{equation*}$

da cui segue che $A$ non è diagonalizzabile per il teorema 4.
Se $k\neq0$ e $k\neq1$ abbiamo che $\operatorname{ma}(1)=\operatorname{ma}(k)=1$ e quindi $\operatorname{mg}(1)=\operatorname{mg}(k)=1$ per l’osservazione 5. Rimangono dunque solo da studiare le molteplicità dell’autovalore $\lambda=0$ . Osserviamo che dalla fattorizzazione del polinomio caratteristico segue $\operatorname{ma}(0)=2$ ; d’altra parte, poiché $k \neq 0$ , le ultime due colonne di $A$ sono indipendenti e quindi

$\begin{equation*} \operatorname{mg}(0)=\dim \ker A=2. \end{equation*}$

$A$ è dunque diagonalizzabile.

Svolgimento punto 3.

Studiamo il polinomio caratteristico di $A$ , sviluppando il determinante lungo la quarta riga:

$\begin{aligned} p(\lambda)=\det(A-I)=\det\begin{pmatrix} -\lambda&k&0&1\\1&-\lambda&0&-1\\1&-k&1-\lambda&-1\\0&0&0&1-\lambda \end{pmatrix} = (1-\lambda)^2(\lambda^2-k). \end{aligned}$

Se $k<0$ l’unico autovalore reale di $M$ è $\lambda_1=1$ con $\operatorname{ma}(1)=2$ . Il teorema 4 implica che $A$ non è diagonalizzabile.
Se $k=0$ , oltre a $\lambda_1$ , vi è un secondo autovalore $\lambda_2=0$ anch’esso con $\operatorname{ma}(0)=2$ . Osserviamo però che
$\operatorname{mg}(0) = \dim \ker A = 4-\operatorname{rnk}A=4-\operatorname{rnk}\begin{pmatrix} 0&0&0&1\\1&0&0&-1\\1&0&1&-1\\0&0&0&1 \end{pmatrix}=1,$

come si può dedurre notando che prima, seconda e terza riga sono linearmente indipendenti. Il teorema 4 permette di concludere che $A$ non è diagonalizzabile.
Se $k >0$ e $k \neq 1$ , abbiamo tre autovalori distinti $\lambda_1=1$ , $\lambda_2=\sqrt{k}$ e $\lambda_3=-\sqrt{k}$ . Osserviamo che $\lambda_2$ e $\lambda_3$ hanno molteplicità algebrica pari a $1$ tale è anche la loro molteplicità geometrica per l’osservazione 5. A questo punto non resta che studiare la molteplicità geometrica di $\lambda_1=1$ :

$\operatorname{mg}(1) = \dim \ker(A-I) = 4-\operatorname{rnk}(A-I)= 4-\operatorname{rnk}\begin{pmatrix} -1&k&0&1\\1&-1&0&-1\\1&-k&0&-1\\0&0&0&0& \end{pmatrix}=2.$

Il teorema 4 implica che $A$ è diagonalizzabile.
Se $k=1$ , abbiamo due autovalori $\lambda_1=1$ e $\lambda_2=-1$ , di molteplicità algebriche rispettivamente pari a $\operatorname{ma}(1)=3$ e $\operatorname{ma}(-1)=1$ .\\ Per l’osservazione 5, l’autovalore $\lambda_2=-1$ ha molteplicità geometrica $\operatorname{mg}(-1)=1$ . Studiamo quindi la molteplicità geometrica di $\lambda_1=1$ :

$\operatorname{mg}(1) = \dim \ker (A-I) = 4- \operatorname{rnk}(A-I) = 4- \operatorname{rnk}\begin{pmatrix} -1&1&0&1\\1&-1&0&-1\\1&-1&0&-1\\0&0&0&0 \end{pmatrix} = 3,$

in quanto seconda e terza riga sono identiche e pari all’opposto della prima. Dunque $A$ è diagonalizzabile.

Svolgimento punto 4.

Fissiamo $k \in \mathbb{R}$ e determiniamo il polinomio caratteristico di $A$ :

$\begin{aligned} p(\lambda)&=\det(M-\lambda I)\\&=\det\begin{pmatrix} -\lambda&1&1&0\\-1-k^2&-2-\lambda&-2&-1-k^2\\1&0&-\lambda&1\\0&0&0&-\lambda \end{pmatrix}\\[4pt] &= -\lambda\det\begin{pmatrix} -\lambda&1&1\\-1-k^2&-2-\lambda&-2\\1&0&-\lambda \end{pmatrix} \\[4pt] &= -\lambda\det\begin{pmatrix} 1&1\\-2-\lambda&-2 \end{pmatrix}+\lambda^2\det\begin{pmatrix} -\lambda&1\\-1-k^2&-2-\lambda \end{pmatrix}\\[4pt] &=-\lambda^2+\lambda^2(2\lambda+\lambda^2+1+k^2) =\lambda^2(\lambda^2+2\lambda+k^2). \end{aligned}$

Studiamo le molteplicità algebriche e geometriche degli autovalori al variare di $k \in \mathbb{R}$ .

Se $k\in (-\infty,-1)\cup (1,+\infty)$ il polinomio caratteristico possiede anche radici non e quindi l’applicazione non reali è diagonalizzabile per il teorema 4.
Se $k\in\{-1,1\}$ , la matrice $A$ possiede l’autovalore $\lambda_1=0$ con $\operatorname{ma}(0)=2$ e l’autovalore $\lambda_2=-1$ con $\operatorname{ma}(-1)=2$ . Però si ha

$\operatorname{mg}(-1) = \dim \ker (A+I) = 4- \operatorname{rnk}(A+I) = 4-\operatorname{rnk}\begin{pmatrix} 1&1&1&0\\-2&-1&-2&-2\\1&0&1&1\\0&0&0&1 \end{pmatrix}=1,$

ove il rango, non massimo perché $1$ è un autovalore di $A$ , è calcolato individuando il seguente minore di ordine $3$ non nullo

$\det\begin{pmatrix} -1&-2&-2\\0&1&1\\0&0&1 \end{pmatrix}=-1.$

Poiché molteplicità algebrica e geometrica dell’autovalore $-1$ non coincidono, il teorema 4 assicura che $A$ non è diagonalizzabile.
Se $k=0$ abbiamo $\lambda_1=0$ con $\operatorname{ma}(0)=3$ e $\lambda=-2$ con $\operatorname{ma}(-2)=1$ . D’altra parte si ha

$\operatorname{mg}(0) = \dim \ker (A) = 4- \operatorname{rnk} A=4-\operatorname{rnk}\begin{pmatrix} 0&1&1&0\\-1&-2&-2&-1\\1&0&0&1\\0&0&0&0 \end{pmatrix}=2.$

In questo caso il rango può essere individuato notando che la prima e la terza riga sono linearmente indipendenti e generano la seconda. Poiché $\operatorname{mg}(0) < \operatorname{ma}(0)$ , $A$ non è diagonalizzabile. \item Se $k\in(-1,1)\backslash \{0\}$ abbiamo l’autovalore $\lambda_1=0$ con $\operatorname{ma}(0)=2$ e i due autovalori distinti $\lambda_{2,3}=\frac{-2\pm\sqrt{4-4k^2}}{2}$ entrambi con molteplicità algebrica (e quindi geometrica per l’osservazione 5) pari a $1$ .La molteplicità geometrica di $\lambda_1=0$ si ricava come in precedenza osservando che

$\operatorname{mg}(0) = 4-\operatorname{rnk} A = 4-\operatorname{rnk}\begin{pmatrix} 0&1&1&0\\-1-k^2&-2&-2&-1-k^2\\1&0&0&1\\0&0&0&0 \end{pmatrix} = 2$

in quanto la prima e la terza riga sono linearmente indipendenti e generano la seconda. Quindi $\operatorname{mg}(0)=2=\operatorname{ma}(0)$ e la matrice $A$ è diagonalizzabile per il teorema 4.

Ulteriori esercizi di geometria

In questa sezione vengono raccolti molti altri esercizi che coprono tutti gli argomenti di geometria proposti all’interno del sito con lo scopo di offrire al lettore la possibilità di approfondire e rinforzare le proprie competenze inerenti a tali argomenti.

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Esercizio sulla diagonalizzazione di matrici – 4

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