Esercizi diagonalizzazione matrici 4

Autovalori e diagonalizzazione

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Richiamiamo di seguito le definizioni e i risultati fondamentali per la risoluzione degli esercizi.

Definizione 1 (diagonalizzazone).
Una matrice D \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) si dice diagonale se i suoi elementi al di fuori della diagonale principale sono nulli, ossia se D è della forma

    \begin{equation*} D = \begin{pmatrix} d_1 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & d_2 & \dots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & \dots & 0 & d_n \end{pmatrix}. \end{equation*}

Una matrice A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) si dice diagonalizzabile se esistono una matrice diagonale D \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) e una matrice P\in \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) invertibile tali che

    \begin{equation*} A = P D P^{-1}, \end{equation*}

dove le operazioni sono prodotti righe per colonne di matrici. P si dice matrice diagonalizzante di A e le matrici A e D si dicono simili.

Tale proprietà, come vedremo a breve, è strettamente correlata alle nozioni di autovettore e autovalore della matrice in esame.

Definizione 2 (autovalori e autovettori).
Data una matrice A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R}), un numero reale \lambda si dice autovalore di A se esiste v =(v_1,\dots,v_n) \in \mathbb{R}^n \setminus \{\mathbf{0}\} tale che Av= \lambda v, ossia se

    \begin{equation*} A \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ \vdots\\ v_n \end{pmatrix} = \lambda \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ \vdots\\ v_n \end{pmatrix}. \end{equation*}

Un tale v è detto autovettore di A relativo all’autovalore \lambda.

Il prossimo risultato collega le nozioni di autovettori e autovalori alla diagonalizzabilità di una matrice.

Teorema 3.
Per una matrice A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) valgono le seguenti proprietà.

  1. Se \lambda è un autovalore di A, l’insieme E(\lambda) costituito dagli autovettori relativi a \lambda e da \mathbf{0} è un sottospazio vettoriale di \mathbb{R}^n, detto autospazio relativo a \lambda. La dimensione di E(\lambda) è detta molteplicità geometrica dell’autovalore \lambda e si indica con \operatorname{mg}(\lambda).
  2. Autovettori relativi ad autovalori distinti sono linearmente indipendenti.
  3. A è diagonalizzabile se e solo se esiste una base \mathcal{B} \coloneqq \{v^1,\dots,v^n\} di \mathbb{R}^n costituita da autovettori di A, detta base diagonalizzante. In tal caso

        \begin{equation*} D = \begin{pmatrix} \lambda_1 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & \lambda _2 & \dots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & \dots & 0 & \lambda_n \end{pmatrix} \qquad \text{e} \qquad P= \begin{pmatrix} v_1^1 & v_1^2 & \dots & v_1^n \\[3pt] v_2^1 & v_2^2 & \dots & v_2^n \\[3pt] \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ v_n^1 & v_n^2 & \dots & v_n^n \end{pmatrix}, \end{equation*}

    ovvero le componenti di D sulla diagonale principale sono gli autovalori (non necessariamente distinti) \lambda_i di A e P è la matrice avente, sulla colonna i-esima, le componenti dell’autovettore v^i relativo all’autovalore \lambda_i. P è quindi la matrice di cambiamento tra la base \mathcal{B} e la base canonica.

In particolare, A è diagonalizzabile se e solo se la somma delle dimensioni dei suoi autospazi (cioè la somma delle molteplicità geometriche dei suoi autovalori) è pari a n.

Al fine di stabilire se una matrice A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) sia diagonalizzabile, è quindi necessario determinarne gli eventuali autovalori e le dimensioni dei relativi autospazi. Per eseguire tale analisi, è molto utile il seguente risultato, che esplicita un metodo algebrico per il calcolo degli autovettori di una matrice e per stabilire se essa è diagonalizzabile.

Teorema 4.
Sia A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) una matrice quadrata.

  1. \lambda è un autovalore di A se e solo se \ker(A - \lambda I) \neq \{\mathbf{0}\}. In particolare, gli autovalori di A sono tutte e sole le radici dell’equazione algebrica nell’incognita \lambda

        \begin{equation*} \det(A - \lambda I)=0. \end{equation*}

    Il polinomio p(\lambda) \coloneqq \det(A - \lambda I) nella variabile \lambda è detto polinomio caratteristico della matrice A.
    La molteplicità di un autovalore \lambda come radice di p(\lambda) è detta molteplicità algebrica di \lambda e si indica con \operatorname{ma}(\lambda).

  2. Se \lambda è un autovalore di A, l’autospazio E(\lambda) coincide con \ker(A- \lambda I) e la sua dimensione è pari a \operatorname{mg}(\lambda). Vale inoltre

    (1)   \begin{equation*} \operatorname{mg}(\lambda) \leq \operatorname{ma}(\lambda). \end{equation*}

  3. A\in \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) è diagonalizzabile se e solo se il suo polinomio caratteristico ha n radici reali contate con la loro molteplicità e se per ognuna di queste radici \lambda si ha

        \begin{equation*} \operatorname{ma}(\lambda) = \operatorname{mg}(\lambda). \end{equation*}

    In altre parole A è diagonalizzabile se e solo se esiste una base di \mathbb{R}^n costituita da autovettori di A.

Osservazione 5.
Dai precedenti risultati discendono le seguenti proprietà:

  1. il termine noto del polinomio caratteristico è pari al determinante della matrice A, mentre il termine di grado n-1 è pari a (-1)^{n-1} \operatorname{Tr}(A)=(-1)^{n-1} \sum_{k=1}^n a_{kk};
  2. un vettore v \in \mathbb{R}^n appartiene all’autospazio E(\lambda) se e solo se esso è soluzione del sistema lineare omogeneo

        \begin{equation*} (A-\lambda I)v= \mathbf{0}. \end{equation*}

  3. Se \operatorname{ma}(\lambda)=1, allora anche \operatorname{mg}(\lambda)=1. Ciò è conseguenza di (1) e del fatto che, poiché la matrice A-\lambda I non è invertibile, ha nucleo non banale e quindi \operatorname{mg}(\lambda)\geq 1. In particolare, se A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) ha n autovalori distinti, allora A è diagonalizzabile.

Testi degli esercizi

Esercizio 4   (\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar).
Stabilire per quali valori del parametro k \in \mathbb{R} le seguenti matrici quadrate sono diagonalizzabili.

  1. \displaystyle A= \begin{pmatrix} 0 & 2 & 0 \\ k & -1 & k \\ 0 & 2 & 0 \end{pmatrix};
  2. A=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & k \end{pmatrix};
  3. \displaystyle A= \begin{pmatrix} 0 & k & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & -1 \\ 1 & -k & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} ;
  4. \displaystyle A= \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 & 0 \\ -(1+k^2) & -2 & -2 & -(1+k^2) \\ 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} .

 

Svolgimento 

  1. Fissiamo k \in \mathbb{R} e determiniamo il polinomio caratteristico di A:

        \[\begin{aligned} p(\lambda)&=\det(A-\lambda I)\\&=\det\begin{pmatrix} -\lambda&2&0\\k&-1-\lambda&k\\0&2&-\lambda \end{pmatrix}\\&=-\lambda \det\begin{pmatrix} -1-\lambda&k\\2&-\lambda \end{pmatrix}-k \det\begin{pmatrix} 2&0\\2&-\lambda \end{pmatrix}\\&=-\lambda(\lambda^2+\lambda-2k)-k(-2\lambda)\\&=-\lambda(\lambda^2+\lambda-4k). \end{aligned}\]

    Dallo studio del discriminante deduciamo le seguenti conclusioni.

    • Se 1+16k<0, ovvero k<-\frac{1}{16}, il polinomio caratteristico ha la sola radice reale \lambda_1=0 di molteplicità 1. Il teorema 4 implica che A non è diagonalizzabile.
    • Se 1+16k>0 e k \neq 0, ovvero k\in \left (-\frac{1}{16},+\infty \right ) \setminus \{0\}, il polinomio caratteristico ha tre radici distinte e abbiamo quindi tre autovalori distinti. L’osservazione 5 assicura che A è diagonalizzabile.
    •  Se k=-\frac{1}{16} il polinomio caratteristico ha \lambda_1=0 come radice singola e \lambda_2=-\frac{1}{2} come radice doppia. In tal caso bisogna studiare la molteplicità geometrica di -\frac{1}{2}.

          \begin{equation*} \operatorname{mg}\left (-\frac{1}{2} \right ) = \dim \ker \left (A +\frac{1}{2}I \right ) = 3-\operatorname{rnk}\begin{pmatrix}\dfrac{1}{2} &2&0\\[7pt]-\dfrac{1}{16} &-\dfrac{1}{2}&-\dfrac{1}{16}\\[7pt]0&2&\frac{1}{2} \end{pmatrix} =1, \end{equation*}

      in quanto A +\frac{1}{2}I ha due righe indipendenti. Dato che \operatorname{mg}(\lambda_2)=1<2= \operatorname{ma}(\lambda_2) il teorema 4 implica che l’applicazione non è diagonalizzabile.

    • Se k=0, il polinomio caratteristico possiede \lambda_1=0 come radice di molteplicità \operatorname{ma}(0)=2 e \lambda_2=-1 come radice di molteplicità 1. Dall’osservazione 5 segue che \operatorname{mg}(-1)=1 e quindi occorre solo studiare la molteplicità geometrica dell’autovalore 0. A tal fine osserviamo che

          \begin{equation*} \operatorname{mg}(0)= \dim \ker A = 3-\operatorname{rnk} \begin{pmatrix} 0&2&0 \\ 0&-1&0 \\ 0&2&0 \end{pmatrix} = 2, \end{equation*}

      e quindi il teorema 4 assicura la diagonalizzabilità di A.

  2. Determiniamo il polinomio caratteristico di A:

        \[\begin{aligned} p(\lambda) =\det(A-\lambda I) = \det\begin{pmatrix}-\lambda&0&1&0\\0&-\lambda&2&0\\0&0&1-\lambda&0\\0&0&3&k-\lambda \end{pmatrix} = \lambda^2(1-\lambda)(k-\lambda). \end{aligned}\]

    Gli autovalori sono quindi \lambda_1=0, \lambda_2=1 e \lambda_3=k; studiamone le molteplicità algebriche e geometriche.

    • Se k=0, si ha

          \begin{equation*} \operatorname{mg}(0)=\dim \ker A=3 \end{equation*}

      e quindi, poiché \operatorname{mg}(1)\geq 1 per l’osservazione 5, segue che A è diagonalizzabile.

    • Se k=1, osserviamo che l’autovalore \lambda=1 soddisfa \operatorname{ma}(1)=2, ma

          \begin{equation*} \operatorname{mg}(1) = \dim \ker(A-I) = 4- \operatorname{rnk}(M-I)= 4- \operatorname{rnk}\begin{pmatrix} -1&0&0&0\\0&-1&2&0\\0&0&0&0\\0&0&3&0 \end{pmatrix}=1 \end{equation*}

      da cui segue che A non è diagonalizzabile per il teorema 4.

    • Se k\neq0 e k\neq1 abbiamo che
      \operatorname{ma}(1)=\operatorname{ma}(k)=1 e quindi \operatorname{mg}(1)=\operatorname{mg}(k)=1 per l’osservazione 5. Rimangono dunque solo da studiare le molteplicità dell’autovalore \lambda=0. Osserviamo che dalla fattorizzazione del polinomio caratteristico segue
      \operatorname{ma}(0)=2; d’altra parte, poiché k \neq 0, le ultime due colonne di A sono indipendenti e quindi

          \begin{equation*} \operatorname{mg}(0)=\dim \ker A=2. \end{equation*}

      A è dunque diagonalizzabile.

  3. Studiamo il polinomio caratteristico di A, sviluppando il determinante lungo la quarta riga:

        \[\begin{aligned} p(\lambda)=\det(A-I)=\det\begin{pmatrix} -\lambda&k&0&1\\1&-\lambda&0&-1\\1&-k&1-\lambda&-1\\0&0&0&1-\lambda \end{pmatrix} = (1-\lambda)^2(\lambda^2-k). \end{aligned}\]

    • Se k<0 l’unico autovalore reale di M è \lambda_1=1 con \operatorname{ma}(1)=2. Il teorema 4 implica che A non è diagonalizzabile.
    • Se k=0, oltre a \lambda_1, vi è un secondo autovalore \lambda_2=0 anch’esso con \operatorname{ma}(0)=2. Osserviamo però che

          \[\operatorname{mg}(0) = \dim \ker A = 4-\operatorname{rnk}A=4-\operatorname{rnk}\begin{pmatrix} 0&0&0&1\\1&0&0&-1\\1&0&1&-1\\0&0&0&1 \end{pmatrix}=1,\]

      come si può dedurre notando che prima, seconda e terza riga sono linearmente indipendenti. Il teorema 4 permette di concludere che A non è diagonalizzabile.

    • Se k >0 e k \neq 1, abbiamo tre autovalori distinti \lambda_1=1, \lambda_2=\sqrt{k} e \lambda_3=-\sqrt{k}.
      Osserviamo che \lambda_2 e \lambda_3 hanno molteplicità algebrica pari a 1 tale è anche la loro molteplicità geometrica per l’osservazione 5.
      A questo punto non resta che studiare la molteplicità geometrica di \lambda_1=1:

          \[\operatorname{mg}(1) = \dim \ker(A-I) = 4-\operatorname{rnk}(A-I)= 4-\operatorname{rnk}\begin{pmatrix} -1&k&0&1\\1&-1&0&-1\\1&-k&0&-1\\0&0&0&0& \end{pmatrix}=2.\]

      Il teorema 4 implica che A è diagonalizzabile.

    • Se k=1, abbiamo due autovalori \lambda_1=1 e \lambda_2=-1, di molteplicità algebriche rispettivamente pari a \operatorname{ma}(1)=3 e \operatorname{ma}(-1)=1.\\
      Per l’osservazione 5, l’autovalore \lambda_2=-1 ha molteplicità geometrica \operatorname{mg}(-1)=1. Studiamo quindi la molteplicità geometrica di \lambda_1=1:

          \[\operatorname{mg}(1) = \dim \ker (A-I) = 4- \operatorname{rnk}(A-I) = 4- \operatorname{rnk}\begin{pmatrix} -1&1&0&1\\1&-1&0&-1\\1&-1&0&-1\\0&0&0&0 \end{pmatrix} = 3,\]

      in quanto seconda e terza riga sono identiche e pari all’opposto della prima.
      Dunque A è diagonalizzabile.

  4. Fissiamo k \in \mathbb{R} e determiniamo il polinomio caratteristico di A:

        \[\begin{aligned} p(\lambda)&=\det(M-\lambda I)\\&=\det\begin{pmatrix} -\lambda&1&1&0\\-1-k^2&-2-\lambda&-2&-1-k^2\\1&0&-\lambda&1\\0&0&0&-\lambda \end{pmatrix}\\[4pt] &= -\lambda\det\begin{pmatrix} -\lambda&1&1\\-1-k^2&-2-\lambda&-2\\1&0&-\lambda \end{pmatrix} \\[4pt] &= -\lambda\det\begin{pmatrix} 1&1\\-2-\lambda&-2 \end{pmatrix}+\lambda^2\det\begin{pmatrix} -\lambda&1\\-1-k^2&-2-\lambda \end{pmatrix}\\[4pt] &=-\lambda^2+\lambda^2(2\lambda+\lambda^2+1+k^2) =\lambda^2(\lambda^2+2\lambda+k^2). \end{aligned}\]

    Studiamo le molteplicità algebriche e geometriche degli autovalori al variare di k \in \mathbb{R}.

    • Se k\in (-\infty,-1)\cup (1,+\infty) il polinomio caratteristico possiede anche radici non e quindi l’applicazione non reali è diagonalizzabile per il teorema 4.
    • Se k\in\{-1,1\}, la matrice A possiede l’autovalore \lambda_1=0 con \operatorname{ma}(0)=2 e l’autovalore \lambda_2=-1 con \operatorname{ma}(-1)=2.
      Però si ha

          \[\operatorname{mg}(-1) = \dim \ker (A+I) = 4- \operatorname{rnk}(A+I) = 4-\operatorname{rnk}\begin{pmatrix} 1&1&1&0\\-2&-1&-2&-2\\1&0&1&1\\0&0&0&1 \end{pmatrix}=1,\]

      ove il rango, non massimo perché 1 è un autovalore di A, è calcolato individuando il seguente minore di ordine 3 non nullo

          \[\det\begin{pmatrix} -1&-2&-2\\0&1&1\\0&0&1 \end{pmatrix}=-1.\]

      Poiché molteplicità algebrica e geometrica dell’autovalore -1 non coincidono, il teorema 4 assicura che A non è diagonalizzabile.

    • Se k=0 abbiamo \lambda_1=0 con \operatorname{ma}(0)=3 e \lambda=-2 con \operatorname{ma}(-2)=1.
      D’altra parte si ha

          \[\operatorname{mg}(0) = \dim \ker (A) = 4- \operatorname{rnk} A=4-\operatorname{rnk}\begin{pmatrix} 0&1&1&0\\-1&-2&-2&-1\\1&0&0&1\\0&0&0&0 \end{pmatrix}=2.\]

      In questo caso il rango può essere individuato notando che la prima e la terza riga sono linearmente indipendenti e generano la seconda. Poiché \operatorname{mg}(0) < \operatorname{ma}(0), A non è diagonalizzabile.
      \item Se k\in(-1,1)\backslash \{0\} abbiamo l’autovalore \lambda_1=0 con \operatorname{ma}(0)=2 e i due autovalori distinti
      \lambda_{2,3}=\frac{-2\pm\sqrt{4-4k^2}}{2}
      entrambi con molteplicità algebrica (e quindi geometrica per l’osservazione 5) pari a 1.La molteplicità geometrica di \lambda_1=0 si ricava come in precedenza osservando che

          \[\operatorname{mg}(0) = 4-\operatorname{rnk} A = 4-\operatorname{rnk}\begin{pmatrix} 0&1&1&0\\-1-k^2&-2&-2&-1-k^2\\1&0&0&1\\0&0&0&0 \end{pmatrix} = 2\]

      in quanto la prima e la terza riga sono linearmente indipendenti e generano la seconda. Quindi \operatorname{mg}(0)=2=\operatorname{ma}(0) e la matrice A è diagonalizzabile per il teorema 4.