Esercizio urti 11

Urti in Meccanica classica

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Esercizio 11  (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Un disco omogeneo di massa M=0.5 kg e raggio R=20 cm ruota senza attrito in un piano orizzontale intorno al suo asse di simmetria con velocità angolare \omega_0= 30 rad/s. Un proiettile di massa m=60 g viene sparato, con direzione parallela all’asse di rotazione, sul bordo del disco, perpendicolarmente al piano del disco. Il proiettile, la cui velocità iniziale è v_0=20\,\,\text{m}\cdot \text{s}^{-1} diretta come in figura 1, dopo l’urto rimane conficcato nel disco. Calcolare:
a) la velocità angolare \omega_i del sistema dopo l’urto;
b) il lavoro W delle forze non conservative durante l’urto.

 

 

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Svolgimento punto a.   Chiamiamo O il centro del disco. Il proiettile è inizialmente diretto parallelamente all’asse di rotazione, e nell’urto con il disco vi rimane conficcato, pertanto è un urto completamente anelastico. Poiché l’urto è completamente anelastico non si conserva l’energia cinetica. Inoltre, durante l’urto si generano alcune forze impulsive; tali forze impulsive sono interne (\vec{f},\,\vec{f},\,\vec{F} e -\vec{F}, dovute al contatto tra pallina e disco) ed esterne (\vec{f}_O e \vec{F}_O, dovute al vincolo che consente al disco di ruotare). Si vuole far notare al lettore che la presenza di impulsi esterni al sistema non consente la conservazione della quantità di moto. In figura 2 si rappresentano le forze impulsive interne ed esterne generate nell’urto

 

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Come nei problemi precedenti, se scegliamo come sistema disco+punto materiale m la le forze che si generano tra di essi sono interne e il vincolo a sua volta genera due forze esterne impulsive: la forza \vec{F}_O normale al piano e la forza \vec{f}_O parallela alla forza interna tangenziale \vec{f} (come in figura 2). Risulta chiaro che la presenza delle due forze esterne \vec{F}_O normale al piano e \vec{f}_O parallela alla forza tangenziale \vec{f} è dovuto al fatto che la variazione della quantità di moto di m è sia in direzione tangenziale al disco che normale. Si osserva che il momento delle forze esterne rispetto al polo O è nulla, quindi il momento angolare \vec{L}_O del sistema si conserva.

Il momento angolare prima dell’urto è

(1)   \begin{equation*} L_i=I_i\omega_i, \end{equation*}

dove I_i=\dfrac{1}{2}MR^2 è il momento d’inerzia del disco rispetto all’asse di simmetria passante per il suo centro di massa e perpendicolare al piano sul quale giace; dopo l’urto avremo invece

(2)   \begin{equation*} L_f=I_f\omega_f, \end{equation*}

dove I_f=\dfrac{1}{2}MR^2+mR^2 è il momento d’inerzia del sistema finale e \omega_1 è la velocità angolare del sistema dopo l’urto. Il momento d’inerzia I_f è stato ottenuto sommando il momento d’inerzia I_i e il momento d’inerzia del punto materiale m che si trova a distanza R dal centro O, ovvero sul bordo del disco. Dalla conservazione del momento angolare si ha

(3)   \begin{equation*} L_i=L_f\quad \Leftrightarrow \quad \dfrac{1}{2}MR^2\omega_i=\left(\dfrac{1}{2}MR^2+mR^2\right)\omega_f, \end{equation*}

da cui

    \[\boxcolorato{fisica}{\omega_f=\dfrac{\dfrac{1}{2}MR^2\omega_i}{\dfrac{1}{2}MR^2+mR^2}=\dfrac{MR^2\omega_i}{MR^2+2mR^2}=24.2 \,\,\dfrac{\text{rad}}{\text{s}},}\]

cioè la velocità angolare dopo l’urto.

 

Punto b.  Applichiamo il teorema delle forze vive o dell’energia lavoro:

(4)   \begin{equation*} \Delta E= W, \end{equation*}

dove, in generale, \Delta E=\Delta K + \Delta U rappresenta la variazione di energia meccanica del sistema, ossia la somma delle variazioni di energia cinetica \Delta K e di energia potenziale \Delta U, mentre W rappresenta il lavoro complessivo delle forze non conservative. Nel caso in esame, le forze peso hanno lavoro nullo (-\Delta U=0\,\text{J}), quindi \Delta E=\Delta K. La variazione di energia cinetica è data da

(5)   \begin{equation*} \Delta K= K_f - K_i= \frac{1}{2}I_f\omega_f^2 - \frac{1}{2}I_i\omega_i^2 - \frac{1}{2}mv_i^2 \end{equation*}

dove K_f=\frac{1}{2}I_f\omega_f^2 è l’energia cinetica finale del sistema disco-proiettile, mentre l’energia cinetica iniziale K_i=\frac{1}{2}I_i\omega_i^2 + \frac{1}{2}mv_i^2 è data dalla somma dei contributi del disco e del proiettile. In definitiva, dunque

    \[\boxcolorato{fisica}{ W= \frac{1}{2}I_f\omega_f^2 - \frac{1}{2}I_i\omega_i^2 - \frac{1}{2}mv_i^2=-12.87\ \text{J},}\]

che rappresenta la soluzione al punto b) del problema. Si osserva che il lavoro W è dato dalla somma del lavoro delle forze interne generata dall’urto tra m e il disco, e dalla forze esterne generate dal vincolo. Si ricorda che in generale la somma delle forze interne e dei momenti interni di un sistema è complessivamente nullo, ma la somma dei lavori delle forze interne no.

 

 

Approfondimento. Cerchiamo di capire come mai le forze generate dal vincolo abbiano la direzione illustrata in figura 2. Il sistema di riferimento O^\prime x y z in figura 2 è fisso; l’asse z è parallelo all’asse di rotazione del disco e all’istante dell’urto l’asse x è parallelo ad un vettore tangente alla circonferenza nel punto dell’urto di m con M. Consideriamo il sistema composto solo dal disco e pertanto su di esso le forze esterne sono le forze generate dal vincolo e le forze generate dall’urto con la massa m. Scriviamo la prima legge cardinale in forma impulsiva per il corpo m:

(6)   \begin{equation*} \vec{J}=J_x\,\hat{x}+\hat{J}_z\,\hat{z}=\Delta \vec{p}_m=m\left(\vec{v}_f-\vec{v}_i\right)=m\left(-\omega_fR\,\hat{x}+v_i\,\hat{z}\right) \end{equation*}

dove \vec{J} è l’impulso generato nell’urto tra m, \vec{v}_f=-\omega R\,\hat{x} è la velocità dopo l’urto [1] e \vec{v}_i=-v_i\,\hat{z} è la velocità un istante prima dell’urto di m. Dall’equazione (6) si ha

(7)   \begin{equation*} J_x=-m\omega_f R\quad \text{e}\quad J_z=mv_i. \end{equation*}

Gli impulsi applicati sul disco nel punto dell’urto con m sono -J_x e -J_z per il terzo principio della dinamica. Dunque, gli impulsi generati sul vincolo O sono opposti (attenzione solo opposti non uguali) ad -J_x e -J_z e questo spiega la direzione delle forze impulsive illustrate in figura 2; si ricorda che per definizione di impulso le forze impulsive devono avere la stessa direzione degli impulsi.

 

 

1. Si osservi che la velocità è tangenziale alla circonferenza perché dopo l’urto il punto m si muove all’unisono con il disco. Inoltre il disco ruota in senso antiorario pertanto la velocità finale di m un istante dopo l’urto è diretta nell’asse negativo delle x.

 

Fonte: esercizio tratto dal libro elementi di fisica meccanica e termodinamica di P.Mazzoldi-M.Nigro e C.Voci.