Esercizio urti 12

Urti in Meccanica classica

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Esercizio 12  (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Una palla di massa M viene fatta cadere da ferma da un’altezza h_i e, dopo aver rimbalzato sul pavimento, risale fino ad un’altezza h_f<h_i. Sapendo che nel contatto con il piano agisce una forza media F_m, determinare:

a) il tempo di contatto della palla con il piano;

b) l’energia dissipata nell’urto.

 

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Svolgimento punto a.  La palla viene fatta cadere da un’altezza h_i poiché soggetta alla sua forza peso m\vec{g} sarà accelerata verso il baso con un accelerazione \vec{g} e sbatterà a terra con una velocità \vec{v}_1 diretta lungo la verticale orientata verso il basso. Quello che succede è sostanzialmente questo: la palla è stata portata inizialmente ad una quota h_i quindi fissando come zero dell’energia potenziale il terreno essa possiederà un’energia potenziale mgh_i, che ad ogni urto con il terreno diminuirà, fino a quando sarà nulla e la palla smetterà di rimbalzare e si fermerà a terra, infatti, per convincersi di questo, si può notare che nel secondo rimbalzo l’altezza h_f sarà minore dell’altezza h_i[1]. In figura 1 rappresentiamo il corpo prima dell’impatto con il suolo avente velocità \vec{v}_1.

 

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Siccome la forza peso è una forza conservativa possiamo applicare il principio di conservazione dell’energia meccanica[2] per determinare il modulo della velocità v_1 prima dell’urto con il suolo

    \[\dfrac{1}{2}mv_1^2 = mgh_i \quad \Leftrightarrow \quad v_1 = \sqrt{2gh_i}.\]

Dopo di che, nell’urto[3] con il terreno, per via della forza impulsiva[4] la palla rimbalza, tornando indietro e raggiungendo la quota h_2. Applicando il principio di conservazione dell’energia, tenendo conto che dopo l’urto la palla avrà una velocità \vec{v}_2 diretta verticalmente verso l’alto e che alla quota h_2 essa si fermerà, abbiamo

    \[\dfrac{1}{2}mv_2^2 = mgh_f \quad \Leftrightarrow \quad v_2 = \sqrt{2gh_f}.\]

Vogliamo ora determinare l’intervallo di tempo durante il quale la palla è stata a contatto con il piano orizzontale applicando il teorema dell’impulso[5]

    \[\left(t_2-t_1 \right)\dfrac{\int_{t_1}^{t_2}\vec{F}\, dt}{\left(t_2-t_1 \right)}=\Delta t\,\vec{F}_m=\Delta \vec{p}\]

dove t_2 e t_1 sono rispettivamente istante prima e dopo l’urto. Moltiplicando e dividendo per t_2-t_1, si ottiene[6]

    \[\left(t_2-t_1 \right)\dfrac{\int_{t_1}^{t_2}\vec{F}\, dt}{\left(t_2-t_1 \right)}=\Delta t\,\vec{F}_m=\Delta \vec{p}\]

da cui[7]

    \[\Delta t = \dfrac{\Delta p}{F_m} = \dfrac{ m \left \vert (v_2-v_1)\right \vert }{F_m}= \dfrac{m\left \vert\sqrt{2gh_f}-\sqrt{2gh_i}\right \vert}{F_m}=\dfrac{m\sqrt{2g}\left(\sqrt{h_i}-\sqrt{h_f} \right)}{F_m}.\]

Si conclude che l’intervallo di tempo cercato è quello che segue

    \[\boxcolorato{fisica}{ \Delta t = \dfrac{m\left \vert\sqrt{2gh_f}-\sqrt{2gh_i}\right \vert}{F_m}.}\]

 

Punto b.  L’energia dissipata nell’urto si può determinare applicando il teorema delle forze vive[8] per cui la variazione di energia cinetica prima e dopo l’urto corrisponde al lavoro della forza impulsiva che si è generata nell’urto della pallina con il piano orizzontale

    \[E_{diss} = \dfrac{1}{2}m(v_2^2-v_1^2) = \dfrac{1}{2}m (2gh_f-2gh_i) = mg (h_f-h_i) <0\]

essendo h_i>h_f.
Si conclude che l’energia dissipata è quella che segue

    \[\boxcolorato{fisica}{ E_{diss} = mg(h_f-h_i).}\]

 

Osservazioni e richiami di teoria.

1. Se l’urto con il terreno fosse stato elastico si sarebbe conservata l’energia e la quota sarebbe stata la stessa e la pallina avrebbe rimbalzato per un tempo indefinito senza fermarsi mai, questo potrebbe succedere se e solo se la forza impulsiva che si genera ad ogni urto è di natura conservativa.

 

2. Conservazione dell’energia. Se su un punto materiale agiscono solo forze conservative, allora la somma dell’energia cinetica e potenziale rimane costante durante il suo moto, ovvero

(1)   \begin{equation*} K+U=costante \end{equation*}

dove K=\dfrac{1}{2}mv^2 con v modulo della velocità in un generico istante ed U energia potenziale associata al punto materiale in quell’istante può essere espressa analiticamente in vari modi a seconda dell’entità della forza conservativa.

 

3. In un urto si generano delle forze molto forti di natura impulsiva.

 

4. Forza che agisce per un lasso di tempo molto breve.

 

5. Teorema dell’impulso. Dato un punto materiale, se su di esso è applicata una forza, ad esempio di natura impulsiva, l’integrale di tale forza in un intervallo di tempo genera una variazione della quantità di moto e tale integrale si definisce come impulso

(2)   \begin{equation*} \vec{j}=\int_{t_1}^{t_2}\vec{F}\, dt=\Delta \vec{p}. \end{equation*}

}

 

6. Si definisce forma media \vec{F}_m=\dfrac{\displaystyle\int_{t_1}^{t_2}\vec{F}(t)\,dt}{t_2-t_1}.

 

7. Ovvio è che \sqrt{h_i}-\sqrt{h_f} >0 per ipotesi.

 

8.Teorema delle forze vive. Dato un punto materiale di massa m soggetto a n \in \mathbb{N} forze, la somma del lavoro di tutte le forze agenti su di esso lungo un percorso \gamma uguaglia la variazione di energia cinetica ovvero

    \[K_f - K_0 = \sum_{k=1}^n L_k,\]

dove K è l’energia cinetica definita come K=\dfrac{1}{2}mv^2, L_k è il lavoro della forza \vec{F}_k, quindi

    \[\dfrac{1}{2}mv_f^2 - \dfrac{1}{2}mv_0^2 = L_1 + \dots + L_n.\]

Nota: le forze posso essere sia di natura conservativa che non conservativa.

 

 

Fonte:Paolo Sartori -Esercizi e problemi di fisica