Esercizio urti 12

Urti in Meccanica classica

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Esercizio 12 (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Una palla di massa M viene fatta cadere da ferma da un’altezza h_i e, dopo aver rimbalzato sul pavimento, risale fino ad un’altezza h_f<h_i. Sapendo che nel contatto con il piano agisce una forza media F_m, determinare:

a) il tempo di contatto della palla con il piano;

b) l’energia dissipata nell’urto.

 

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Svolgimento punto a.  La palla viene fatta cadere da un’altezza h_i poiché soggetta alla sua forza peso m\vec{g} sarà accelerata verso il baso con un accelerazione \vec{g} e sbatterà a terra con una velocità \vec{v}_1 diretta lungo la verticale orientata verso il basso. Quello che succede è sostanzialmente questo: la palla è stata portata inizialmente ad una quota h_i quindi fissando come zero dell’energia potenziale il terreno essa possiederà un’energia potenziale mgh_i, che ad ogni urto con il terreno diminuirà, fino a quando sarà nulla e la palla smetterà di rimbalzare e si fermerà a terra, infatti, per convincersi di questo, si può notare che nel secondo rimbalzo l’altezza h_f sarà minore dell’altezza h_i[1]. In figura 1 rappresentiamo il corpo prima dell’impatto con il suolo avente velocità \vec{v}_1.

 

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Siccome la forza peso è una forza conservativa possiamo applicare il principio di conservazione dell’energia meccanica[2] per determinare il modulo della velocità v_1 prima dell’urto con il suolo

    \[\dfrac{1}{2}mv_1^2 = mgh_i \quad \Leftrightarrow \quad v_1 = \sqrt{2gh_i}.\]

Dopo di che, nell’urto[3] con il terreno, per via della forza impulsiva[4] la palla rimbalza, tornando indietro e raggiungendo la quota h_2. Applicando il principio di conservazione dell’energia, tenendo conto che dopo l’urto la palla avrà una velocità \vec{v}_2 diretta verticalmente verso l’alto e che alla quota h_2 essa si fermerà, abbiamo

    \[\dfrac{1}{2}mv_2^2 = mgh_f \quad \Leftrightarrow \quad v_2 = \sqrt{2gh_f}.\]

Vogliamo ora determinare l’intervallo di tempo durante il quale la palla è stata a contatto con il piano orizzontale applicando il teorema dell’impulso[5]

    \[\left(t_2-t_1 \right)\dfrac{\int_{t_1}^{t_2}\vec{F}\, dt}{\left(t_2-t_1 \right)}=\Delta t\,\vec{F}_m=\Delta \vec{p}\]

dove t_2 e t_1 sono rispettivamente istante prima e dopo l’urto. Moltiplicando e dividendo per t_2-t_1, si ottiene[6]

    \[\left(t_2-t_1 \right)\dfrac{\int_{t_1}^{t_2}\vec{F}\, dt}{\left(t_2-t_1 \right)}=\Delta t\,\vec{F}_m=\Delta \vec{p}\]

da cui[7]

    \[\Delta t = \dfrac{\Delta p}{F_m} = \dfrac{ m \left \vert (v_2-v_1)\right \vert }{F_m}= \dfrac{m\left \vert\sqrt{2gh_f}-\sqrt{2gh_i}\right \vert}{F_m}=\dfrac{m\sqrt{2g}\left(\sqrt{h_i}-\sqrt{h_f} \right)}{F_m}.\]

Si conclude che l’intervallo di tempo cercato è quello che segue

    \[\boxcolorato{fisica}{ \Delta t = \dfrac{m\left \vert\sqrt{2gh_f}-\sqrt{2gh_i}\right \vert}{F_m}.}\]

 

Punto b.  L’energia dissipata nell’urto si può determinare applicando il teorema delle forze vive[8] per cui la variazione di energia cinetica prima e dopo l’urto corrisponde al lavoro della forza impulsiva che si è generata nell’urto della pallina con il piano orizzontale

    \[E_{diss} = \dfrac{1}{2}m(v_2^2-v_1^2) = \dfrac{1}{2}m (2gh_f-2gh_i) = mg (h_f-h_i) <0\]

essendo h_i>h_f.
Si conclude che l’energia dissipata è quella che segue

    \[\boxcolorato{fisica}{ E_{diss} = mg(h_f-h_i).}\]

 

Osservazioni e richiami di teoria.

1. Se l’urto con il terreno fosse stato elastico si sarebbe conservata l’energia e la quota sarebbe stata la stessa e la pallina avrebbe rimbalzato per un tempo indefinito senza fermarsi mai, questo potrebbe succedere se e solo se la forza impulsiva che si genera ad ogni urto è di natura conservativa. ↩

 

2. Conservazione dell’energia. Se su un punto materiale agiscono solo forze conservative, allora la somma dell’energia cinetica e potenziale rimane costante durante il suo moto, ovvero

(1)   \begin{equation*} K+U=costante \end{equation*}

dove K=\dfrac{1}{2}mv^2 con v modulo della velocità in un generico istante ed U energia potenziale associata al punto materiale in quell’istante può essere espressa analiticamente in vari modi a seconda dell’entità della forza conservativa. ↩

 

3. In un urto si generano delle forze molto forti di natura impulsiva. ↩

 

4. Forza che agisce per un lasso di tempo molto breve. ↩

 

5. Teorema dell’impulso. Dato un punto materiale, se su di esso è applicata una forza, ad esempio di natura impulsiva, l’integrale di tale forza in un intervallo di tempo genera una variazione della quantità di moto e tale integrale si definisce come impulso

(2)   \begin{equation*} \vec{j}=\int_{t_1}^{t_2}\vec{F}\, dt=\Delta \vec{p}. \end{equation*}

}
↩

 

6. Si definisce forma media \vec{F}_m=\dfrac{\displaystyle\int_{t_1}^{t_2}\vec{F}(t)\,dt}{t_2-t_1}. ↩

 

7. Ovvio è che \sqrt{h_i}-\sqrt{h_f} >0 per ipotesi. ↩

 

8.Teorema delle forze vive. Dato un punto materiale di massa m soggetto a n \in \mathbb{N} forze, la somma del lavoro di tutte le forze agenti su di esso lungo un percorso \gamma uguaglia la variazione di energia cinetica ovvero

    \[K_f - K_0 = \sum_{k=1}^n L_k,\]

dove K è l’energia cinetica definita come K=\dfrac{1}{2}mv^2, L_k è il lavoro della forza \vec{F}_k, quindi

    \[\dfrac{1}{2}mv_f^2 - \dfrac{1}{2}mv_0^2 = L_1 + \dots + L_n.\]

Nota: le forze posso essere sia di natura conservativa che non conservativa.↩

 

 

Fonte:Paolo Sartori -Esercizi e problemi di fisica