Esercizio urti 12

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Esercizio 12 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Una palla di massa $M$ viene fatta cadere da ferma da un’altezza $h_i$ e, dopo aver rimbalzato sul pavimento, risale fino ad un’altezza $h_f<h_i$ . Sapendo che nel contatto con il piano agisce una forza media $F_m$ , determinare:

a) il tempo di contatto della palla con il piano;

b) l’energia dissipata nell’urto.

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Svolgimento punto a. La palla viene fatta cadere da un’altezza $h_i$ poiché soggetta alla sua forza peso $m\vec{g}$ sarà accelerata verso il baso con un accelerazione $\vec{g}$ e sbatterà a terra con una velocità $\vec{v}_1$ diretta lungo la verticale orientata verso il basso. Quello che succede è sostanzialmente questo: la palla è stata portata inizialmente ad una quota $h_i$ quindi fissando come zero dell’energia potenziale il terreno essa possiederà un’energia potenziale $mgh_i$ , che ad ogni urto con il terreno diminuirà, fino a quando sarà nulla e la palla smetterà di rimbalzare e si fermerà a terra, infatti, per convincersi di questo, si può notare che nel secondo rimbalzo l’altezza $h_f$ sarà minore dell’altezza $h_i$ [1]. In figura 1 rappresentiamo il corpo prima dell’impatto con il suolo avente velocità $\vec{v}_1$ .

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Siccome la forza peso è una forza conservativa possiamo applicare il principio di conservazione dell’energia meccanica[2] per determinare il modulo della velocità $v_1$ prima dell’urto con il suolo

$\dfrac{1}{2}mv_1^2 = mgh_i \quad \Leftrightarrow \quad v_1 = \sqrt{2gh_i}.$

Dopo di che, nell’urto[3] con il terreno, per via della forza impulsiva[4] la palla rimbalza, tornando indietro e raggiungendo la quota $h_2$ . Applicando il principio di conservazione dell’energia, tenendo conto che dopo l’urto la palla avrà una velocità $\vec{v}_2$ diretta verticalmente verso l’alto e che alla quota $h_2$ essa si fermerà, abbiamo

$\dfrac{1}{2}mv_2^2 = mgh_f \quad \Leftrightarrow \quad v_2 = \sqrt{2gh_f}.$

Vogliamo ora determinare l’intervallo di tempo durante il quale la palla è stata a contatto con il piano orizzontale applicando il teorema dell’impulso[5]

$\left(t_2-t_1 \right)\dfrac{\int_{t_1}^{t_2}\vec{F}\, dt}{\left(t_2-t_1 \right)}=\Delta t\,\vec{F}_m=\Delta \vec{p}$

dove $t_2$ e $t_1$ sono rispettivamente istante prima e dopo l’urto. Moltiplicando e dividendo per $t_2-t_1$ , si ottiene[6]

$\left(t_2-t_1 \right)\dfrac{\int_{t_1}^{t_2}\vec{F}\, dt}{\left(t_2-t_1 \right)}=\Delta t\,\vec{F}_m=\Delta \vec{p}$

da cui[7]

$\Delta t = \dfrac{\Delta p}{F_m} = \dfrac{ m \left \vert (v_2-v_1)\right \vert }{F_m}= \dfrac{m\left \vert\sqrt{2gh_f}-\sqrt{2gh_i}\right \vert}{F_m}=\dfrac{m\sqrt{2g}\left(\sqrt{h_i}-\sqrt{h_f} \right)}{F_m}.$

Si conclude che l’intervallo di tempo cercato è quello che segue

$\boxcolorato{fisica}{ \Delta t = \dfrac{m\left \vert\sqrt{2gh_f}-\sqrt{2gh_i}\right \vert}{F_m}.}$

Punto b. L’energia dissipata nell’urto si può determinare applicando il teorema delle forze vive[8] per cui la variazione di energia cinetica prima e dopo l’urto corrisponde al lavoro della forza impulsiva che si è generata nell’urto della pallina con il piano orizzontale

$E_{diss} = \dfrac{1}{2}m(v_2^2-v_1^2) = \dfrac{1}{2}m (2gh_f-2gh_i) = mg (h_f-h_i) <0$

essendo $h_i>h_f$ .
Si conclude che l’energia dissipata è quella che segue

$\boxcolorato{fisica}{ E_{diss} = mg(h_f-h_i).}$

Osservazioni e richiami di teoria.

1. Se l’urto con il terreno fosse stato elastico si sarebbe conservata l’energia e la quota sarebbe stata la stessa e la pallina avrebbe rimbalzato per un tempo indefinito senza fermarsi mai, questo potrebbe succedere se e solo se la forza impulsiva che si genera ad ogni urto è di natura conservativa. ↩

2. Conservazione dell’energia. Se su un punto materiale agiscono solo forze conservative, allora la somma dell’energia cinetica e potenziale rimane costante durante il suo moto, ovvero

(1) $\begin{equation*} K+U=costante \end{equation*}$

dove $K=\dfrac{1}{2}mv^2$ con $v$ modulo della velocità in un generico istante ed $U$ energia potenziale associata al punto materiale in quell’istante può essere espressa analiticamente in vari modi a seconda dell’entità della forza conservativa. ↩

3. In un urto si generano delle forze molto forti di natura impulsiva. ↩

4. Forza che agisce per un lasso di tempo molto breve. ↩

5. Teorema dell’impulso. Dato un punto materiale, se su di esso è applicata una forza, ad esempio di natura impulsiva, l’integrale di tale forza in un intervallo di tempo genera una variazione della quantità di moto e tale integrale si definisce come impulso

(2) $\begin{equation*} \vec{j}=\int_{t_1}^{t_2}\vec{F}\, dt=\Delta \vec{p}. \end{equation*}$

}
↩

6. Si definisce forma media $\vec{F}_m=\dfrac{\displaystyle\int_{t_1}^{t_2}\vec{F}(t)\,dt}{t_2-t_1}$ . ↩

7. Ovvio è che $\sqrt{h_i}-\sqrt{h_f} >0$ per ipotesi. ↩

8.Teorema delle forze vive. Dato un punto materiale di massa $m$ soggetto a $n \in \mathbb{N}$ forze, la somma del lavoro di tutte le forze agenti su di esso lungo un percorso $\gamma$ uguaglia la variazione di energia cinetica ovvero