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Esercizio urti 12

Urti in Meccanica classica

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L’Esercizio Urti 12 è il dodicesimo della raccolta dedicata agli esercizi misti sugli urti. Questo esercizio segue l’Esercizio Urti 11. Successivamente, gli studenti potranno affrontare l’Esercizio Urti 13. Pensato per gli studenti di Fisica 1, è particolarmente utile per coloro che studiano ingegneria, fisica o matematica.

L’argomento successivo agli urti riguarda gli esercizi sulla gravitazione, mentre l’argomento precedente tratta gli esercizi svolti sulla dinamica del corpo rigido.

 

Testo esercizio urti 12

Esercizio 12 (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Una palla di massa M viene fatta cadere da ferma da un’altezza h_i e, dopo aver rimbalzato sul pavimento, risale fino ad un’altezza h_f<h_i. Sapendo che nel contatto con il piano agisce una forza media F_m, determinare:

a) il tempo di contatto della palla con il piano;

b) l’energia dissipata nell’urto.

 

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Figura 1: schema del problema.

 

Svolgimento punto a.

La palla viene fatta cadere da un’altezza h_i poiché soggetta alla sua forza peso m\vec{g} sarà accelerata verso il baso con un accelerazione \vec{g} e sbatterà a terra con una velocità \vec{v}_1 diretta lungo la verticale orientata verso il basso. Quello che succede è sostanzialmente questo: la palla è stata portata inizialmente ad una quota h_i quindi fissando come zero dell’energia potenziale il terreno essa possiederà un’energia potenziale mgh_i, che ad ogni urto con il terreno diminuirà, fino a quando sarà nulla e la palla smetterà di rimbalzare e si fermerà a terra, infatti, per convincersi di questo, si può notare che nel secondo rimbalzo l’altezza h_f sarà minore dell’altezza h_i[1]. In figura 1 rappresentiamo il corpo prima dell’impatto con il suolo avente velocità \vec{v}_1.

 

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Figura 2: rappresentazione della situazione fisica un istante prima dell’urto.

 

Siccome la forza peso è una forza conservativa possiamo applicare il principio di conservazione dell’energia meccanica[2] per determinare il modulo della velocità v_1 prima dell’urto con il suolo

\[\dfrac{1}{2}mv_1^2 = mgh_i \quad \Leftrightarrow \quad v_1 = \sqrt{2gh_i}.\]

Dopo di che, nell’urto[3] con il terreno, per via della forza impulsiva[4] la palla rimbalza, tornando indietro e raggiungendo la quota h_2. Applicando il principio di conservazione dell’energia, tenendo conto che dopo l’urto la palla avrà una velocità \vec{v}_2 diretta verticalmente verso l’alto e che alla quota h_2 essa si fermerà, abbiamo

\[\dfrac{1}{2}mv_2^2 = mgh_f \quad \Leftrightarrow \quad v_2 = \sqrt{2gh_f}.\]

Vogliamo ora determinare l’intervallo di tempo durante il quale la palla è stata a contatto con il piano orizzontale applicando il teorema dell’impulso[5]

\[\left(t_2-t_1 \right)\dfrac{\int_{t_1}^{t_2}\vec{F}\, dt}{\left(t_2-t_1 \right)}=\Delta t\,\vec{F}_m=\Delta \vec{p}\]

dove t_2 e t_1 sono rispettivamente istante prima e dopo l’urto. Moltiplicando e dividendo per t_2-t_1, si ottiene[6]

\[\left(t_2-t_1 \right)\dfrac{\int_{t_1}^{t_2}\vec{F}\, dt}{\left(t_2-t_1 \right)}=\Delta t\,\vec{F}_m=\Delta \vec{p}\]

da cui[7]

\[\Delta t = \dfrac{\Delta p}{F_m} = \dfrac{ m \left \vert (v_2-v_1)\right \vert }{F_m}= \dfrac{m\left \vert\sqrt{2gh_f}-\sqrt{2gh_i}\right \vert}{F_m}=\dfrac{m\sqrt{2g}\left(\sqrt{h_i}-\sqrt{h_f} \right)}{F_m}.\]

Si conclude che l’intervallo di tempo cercato è quello che segue

\[\boxcolorato{fisica}{ \Delta t = \dfrac{m\left \vert\sqrt{2gh_f}-\sqrt{2gh_i}\right \vert}{F_m}.}\]

 


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