Esercizio urti 13

Urti in Meccanica classica

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Esercizio 13  (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Un cannoncino inizialmente in quiete, di massa M e dimensioni trascurabili, è vincolato ad una molla di costante elastica k su un piano orizzontale senza attrito. All’istante t=0 viene sparato un proiettile di massa m con velocità iniziale \vec{v}_0 e angolo \theta rispetto all’orizzonte. Il proiettile tocca terra dopo un tempo t_0 dallo sparo e il cannoncino si muove di moto armonico con periodo T. Determinare:

a) la velocità iniziale \vec{v}_0 del proiettile;

b) la velocità di rinculo del cannoncino;

c) la compressione massimale della molla.

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Svolgimento punto a.

Il proiettile dopo essere stato sparato si muove di moto parabolico[1]. Scegliamo un sistema di riferimento Oxy come in figura

 

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Le leggi orarie lungo x e y sono[2]:

(1)   \begin{equation*} \begin{cases} y(t)=v_0 \sin \theta \; t - \frac{1}{2}gt^2\\ x(t)=v_0\cos\theta \; t \end{cases} \end{equation*}

e posto y(t_0)=0\, \text{m} da (1)_1abbiamo

    \[v_0\sin \theta -\dfrac{1}{2}gt_0=0 \quad \Leftrightarrow \quad v_0 = \dfrac{gt_0}{2\sin\theta}.\]

Si conclude che la velocità del proiettile dopo l’esplosione è

    \[\boxcolorato{fisica}{ v_0 = \dfrac{gt_0}{2\sin\theta}.}\]

 


Svolgimento punto b.

Nell’esplosione si generano forze di natura impulsiva. Lungo l’asse y si ha una forza esterna di natura impulsiva dovuta al terreno, mentre lungo l’asse x non si hanno forze esterne quindi si conserva parzialmente la quantità di moto del sistema[3]. Determiniamo il modulo della quantità di moto prima dell’esplosione lungo l’asse x[4]

    \[p_{i,x}=0\, \text{kg}\cdot\text{m}\cdot {s}^{-1}\]

e dopo l’esplosione[5]

    \[p_{f,x}=-Mv^\star+mv_0\cos \theta,\]

dove v^\star è il modulo della velocità di M dopo l’esplosione. Dalla conservazione della quantità di moto abbiamo

    \[p_{i,x}=p_{f,x}\quad \Leftrightarrow \quad -Mv^\star+mv_0\cos \theta=0\,\text{kg}\cdot\text{m}\cdot {s}^{-1} \quad \Leftrightarrow \quad v^\star = \dfrac{m}{M}v_0\cos\theta .\]

Si conclude che la velocità di rinculo del cannone M è

    \[\boxcolorato{fisica}{ v^\star = \dfrac{m}{M}v_0\cos\theta . }\]

 


Svolgimento punto c.

Dopo l’esplosione, per il rinculo, il cannone si muove nel verso negativo delle x e dal momento che è attaccato ad una molla e trascurando ogni possibile attrito, si muove di moto armonico. Applichiamo la seconda legge della dinamica[6] e abbiamo[7]:

(2)   \begin{equation*} M \ddot{x}=-kx \quad \Leftrightarrow \quad \ddot{x} = -\dfrac{k}{M}x. \end{equation*}

La soluzione di (2) è

(3)   \begin{equation*} x(t)=A\sin (\omega t +\phi) \end{equation*}

dove \omega = \sqrt{\dfrac{k}{M}}.

Deriviamo (3) rispetto al tempo

    \[v(t)=A\omega\cos( \omega t+ \phi)\]

valutando (2) e (3) per t=0\,\text{s} si ha

    \[\begin{cases} x(0)=0\,\text{m}\\ v(0)=-v^\star \end{cases}\]

dal quale

    \[\begin{cases} \phi =0 \, \text{rad}\\ A\omega=-v^\star. \end{cases}\]

Dunque

    \[A=-\dfrac{v^\star}{\omega}=-\dfrac{m}{M}v_0\cos\theta\cdot \sqrt{\dfrac{M}{k}}=-\dfrac{mv_0\cos \theta \sqrt{Mk}}{Mk}=-x_{max} .\]

Altresì, si poteva applicare la conservazione dell’energia[8]

(4)   \begin{equation*} \dfrac{1}{2}mv_f^2-\dfrac{1}{2}mv^\star=\dfrac{1}{2}k\left(x^2_i-x^2_f\right) \end{equation*}

dove v_f è la velocità finale in un generico istante, x_i è la posizione iniziale che con il sistema di riferimento scelto è x_i=0\,\text{m} e x_f è la posizione in un generico istante. Siccome il moto della molla è armonico la molla raggiunge la compressione massima quando la velocità è nulla. Poniamo v_f=0\,\text{m}\cdot \text{s} e (4) diventa

    \[\dfrac{1}{2}k x_{f}^2 = \dfrac{1}{2}k x_{max}^2 = \dfrac{1}{2}M{v^\star}^2 \quad \Leftrightarrow \quad x_{max} = v^\star \sqrt{\dfrac{M}{k}}=\dfrac{mv_0\cos \theta \sqrt{Mk}}{Mk}.\]

Pertanto concludiamo che la massima compressione è

    \[\boxcolorato{fisica}{x_{max} = \dfrac{mv_0\cos \theta \sqrt{Mk}}{Mk}.}\]

 


Osservazioni e richiami di teoria.

1. Composizione di due moti indipendenti: lungo l’orizzontale abbiamo un moto rettilineo uniforme e lungo la verticale abbiamo un moto rettilineo uniformemente accelerato.

 

2. La velocità iniziale si può scomporre come segue \vec{v}_0=v_0\cos \theta \, \hat{x}+v_0 \sin \theta \, \hat{y}. 

 

3. Per conservazione parziale dalla quantità di moto intendiamo solo lungo una determinata direzione, in questo caso lungo l’asse x. Inoltre l’esplosione si può assumere come un urto tra M e m. In generale, in un urto tra due o più corpi, se non agiscono forze esterne di natura impulsiva si conserva sempre la quantità di moto. Vogliamo far notare che nell’esplosione si genera una forza interna di natura impulsiva uguale ed opposta su M e su m, che fa uscire m fuori dal cannone e fa andare indietro M (per il rinculo). Siccome è presente il terreno, la componente verticale della forza interna di natura impulsiva agente su M è annullata dalla reazione vincolare (forza esterna impulsiva) del terreno, infatti lungo la verticale non si conserva la quantità di moto.

 

4. Siccome tutto è in quiete la quantità di moto è nulla.

 

5. La massa M arretra quindi mettiamo il segno negativo davanti alla velocità, mentre per m sappiamo che il modulo della velocità iniziale lungo l’orizzontale è v_0\cos \theta ed è diretta nel verso positivo delle x.

 

6. Secondo principio della dinamica. In un sistema di riferimento inerziale la somma di tutte le forze agenti su un punto materiale uguaglia la derivata della quantità di moto rispetto al tempo:

(5)   \begin{equation*} \sum_{k=1}^{n}\vec{F}_k=\dfrac{d\vec{P}}{dt} \end{equation*}

dove \vec{P}=m\vec{v}. Inoltre la condizione necessaria e sufficiente affinché un corpo si muova di moto armonico è che la sua legge oraria sia soluzione dalla seguente equazione differenziale omogenea a coefficienti costanti

    \[\dfrac{d^2x}{dt^2}(t)+\omega^2x(t)=0\]

dove \omega è la pulsazione.

 

7. Condizione necessaria e sufficiente affinché un moto sia armonico. La condizione necessaria e sufficiente affinché un corpo si muova di moto armonico è che la sua legge oraria sia soluzione dalla seguente equazione differenziale omogenea a coefficienti costanti

    \[\dfrac{d^2x}{dt^2}(t)+\omega^2x(t)=0\]

dove \omega è la pulsazione.

 

8.Conservazione dell’energia. Se su un punto materiale agiscono solo forze conservative, allora la somma dell’energia cinetica e potenziale rimane costante durante il suo moto, ovvero

(6)   \begin{equation*} K+U=costante \end{equation*}

dove K=\frac{1}{2}mv^2 con v modulo della velocità in un generico istante ed U energia potenziale associata al punto materiale che analiticamente può essere espressa in vari modi a seconda dell’entità della forza conservativa.

 

 


Fonte.

Paolo Sartori -Esercizi e problemi di fisica.