Esercizio urti 14

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Esercizio 14 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Un disco di raggio $R$ è mantenuto fermo in un piano verticale; all’istante $t=0$ esso viene lasciato cadere. Quando ha percorso una distanza $h$ il disco viene agganciato sul bordo ad un asse fisso orizzontale, ortogonale al disegno e passante per $O$ , attorno al quale il disco ruota senza attrito. Calcolare il valore di $h$ necessario affinché il disco compia una rotazione di $270^\circ$ , fermandosi in tale posizione.

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Figura 1: schema del problema.

Svolgimento.

Sia $m$ la massa del disco, in figura 2 rappresentiamo il disco all’istante $t=0$ .

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Figura 2: rappresentazione del disco all’istante $t=0$ .

Il disco è soggetto solamente alla forza peso $m\vec{g}$ diretta vero il basso che lo fa spostare in verticale di una quota $h$ . Inoltre, dal momento che la forza peso è una forza conservativa, si conserva l’energia. Rappresentiamo in figura 3 il disco che scende di una quota $h$ e la sua velocità $\vec{v}$ diretta verso il basso in tale istante.

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Figura 3: rappresentiamo il disco che scende di una quota $h$ e la sua velocità $\vec{v}$ in tale istante.

Ponendo l’energia potenziale uguale a zero alla quota in $O$ (si veda figura 2), l’energia iniziale $E_i$ è solamente potenziale, in quanto il disco, all’istante $t=0$ , è in quiete:

$E_i=mgh.$

Quando il disco ha percorso una distanza pari ad $h$ , ovvero si trova alla quota nulla, ha una velocità pari a $\vec{v}$ (vedi figura 2) e quindi l’energia finale $E_f$ è solamente cinetica:

$E_f = \dfrac{1}{2} m v^2.$

Dalla conservazione dell’energia abbiamo

(1) $\begin{equation*} E_i = E_f \quad\Leftrightarrow \quad mgh = \dfrac{1}{2} m v^2\quad \Leftrightarrow \quad v = \sqrt{2gh}. \end{equation*}$

In tale istante, l’estremo del disco coincidente con $O$ viene agganciato ad un asse fisso orizzontale. Il disco cambia moto e comincia a ruotare attorno a tale asse.\\ Ricordiamo la seconda legge cardinale dei corpi rigidi

(2) $\begin{equation*} \vec{M}^{\text{ext}} = \dfrac{d\vec{L}}{dt} - m\vec{v}_{O^\prime} \wedge \vec{v}_{CM}, \end{equation*}$

dove $\vec{M}^{\text{ext}}$ è la somma dei momenti esterni applicati al corpo rigido rispetto ad un polo generico $O^\prime$ , $\dfrac{d\vec{L}}{dt}$ è la derivata del momento angolare totale del corpo rigido rispetto al polo $O^\prime$ e $\vec{v}_{O^\prime} \wedge \vec{v}_{CM}$ è il prodotto vettoriale tra la velocità del polo $O^\prime$ e del centro di massa del corpo rigido rispetto ad un sistema di riferimento inerziale. Facendo coincidere il polo generico $O^\prime$ con $O$ (punto fisso), osserviamo che il prodotto vettoriale tra la velocità del centro di massa del disco e la velocità del polo $O$ è nulla perchè il polo $O$ è fisso. Inoltre, la forza esterna di natura impulsiva che si genera nell’istante in cui viene agganciato il disco è applicata proprio sul polo $O$ , quindi il suo momento è nullo. La forza esterna $m \vec{g}$ non ha momento nullo ma, siccome non è una forza di natura impulsiva e l’agganciare il disco ha una durata piccolissima, possiamo trascurare il momento esterno della forza peso rispetto al polo $O$ . Con le considerazioni fatte, concludiamo che (2), applicata al nostro caso diventa

$\vec{M}^{\text{ext}} = \vec{0} = \dfrac{d\vec{L}}{dt} \quad\Leftrightarrow \quad \dfrac{d\vec{L}}{dt} = \vec{0},$

quindi $\vec{L}$ è costante rispetto al polo $O$ [1].

Il momento angolare iniziale è dato da

$L_0 = mvR,$

mentre quello finale è

$L_f = I_0 \omega_0$

dove, per il teorema di Huygens-Steiner[2],

$I_0 = \dfrac{1}{2}mR^2+mR^2=\dfrac{3}{2}mR^2.$

Dalla conservazione del momento angolare abbiamo

(3) $\begin{equation*} L_0 = L_f \quad\Leftrightarrow\quad mvR=\dfrac{3}{2}mR^2\omega_0 \quad \Leftrightarrow \quad \boxed{\omega_0 = \dfrac{2v}{3R}.} \end{equation*}$

Subito dopo essere stato agganciato, l’energia cinetica del disco è

(4) $\begin{equation*} E_1 = \dfrac{1}{2}I_0\omega_0^2=\dfrac{1}{2} \left(\dfrac{3}{2}mR^2\right) \omega_0^2. \end{equation*}$

Sostituendo la forma esplicita di $\omega_0$ data da 3 in (4) e utilizzando infine anche (1) abbiamo

$E_1=\dfrac{1}{2} \left(\dfrac{3}{2}mR^2\right) \omega_0^2=\dfrac{1}{2} \left(\dfrac{3}{2}mR^2\right)\left(\dfrac{2v}{3R} \right)^2=\dfrac{mv^2}{3}=\dfrac{2\,g\,h\,m}{3}.$

A questo punto il disco ruota di $270^\circ$ fino a fermarsi e il suo centro si trova alla quota $R$ (si veda la figura 4).

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Figura 4: rappresentazione il disco ruotato di $270^\circ$ .

L’energia è data da $E_2 = mgR$ e, poichè tutti gli attriti sono trascurabili, anche in questo caso si conserva l’energia. Dunque abbiamo

$E_1 = E_2 \quad\Leftrightarrow\quad\dfrac{2\,g\,h\,m}{3} = mgR \quad \Leftrightarrow \quad h = \dfrac{3R}{2}$

e concludiamo che quanto richiesto dall’esercizio è

$\boxcolorato{fisica}{h = \dfrac{3R}{2}.}$

Osservazioni e Richiami di Teoria.

1. Con il termine costante si intende che il momento angolare si conserva finché il disco non viene agganciato. Dopo essere stato agganciato non abbiamo più la conservazione del momento angolare.

In generale questa situazione si può pensare come ad un urto tra due corpi e la domanda che viene naturale farsi è se si può conservare il momento angolare anche in presenza di momenti esterni. Se la durata dell’urto è molto breve e le forze esterne non sono di natura impulsiva, la risposta è affermativa. ↩

2. Teorema di Huygens-Steiner. Il momento d’inerzia di un corpo di massa $m$ rispetto ad un asse che si trova a una distanza $k$ da centro di massa del corpo è dato da

$I=I_C+mk^2$

dove $I_C$ è il momento d’inerzia del corpo rispetto ad un asse parallelo al primo e passante per il centro di massa. ↩

Fonte Esercizio.

Fonte: P. Mazzoldi, M. Nigro e C. Voci – Elementi di fisica, EdiSES

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