Esercizio urti 35

Urti in Meccanica classica

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Esercizio 35  (\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar).Consideriamo un disco omogeneo di massa M e raggio R che ruota su un piano verticale attorno a un asse orizzontale passante per il suo centro. Questo asse oppone alla rotazione un momento di attrito \tau_0 costante. Una massa m, di dimensioni trascurabili, cade verticalmente sul bordo del disco e vi rimane attaccata. La traiettoria della massa passa esattamente per l’asse di rotazione del disco, come si può dedurre dalla figura 2. Data la velocità angolare \omega_1 del disco immediatamente prima dell’urto, si determini:

  1. la velocità angolare \omega_2 del disco immediatamente dopo l’urto in funzione di M, \omega_1 e m;
  2. il momento di attrito \tau_0, sapendo che \tilde{t} secondi prima dell’urto il disco ruotava con una velocità angolare \omega_0, in funzione di \omega_0, \omega_1, \tilde{t}, M e R;
  3. la velocità angolare \omega^\star del disco nell’istante in cui la massa m raggiunge la posizione più bassa, in funzione di M, \omega_1, m, g, \tau_0.

Si supponga che \omega_1 < \omega_0.

 

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Prerequisiti.

  1. Per un sistema fisico composto da n masse, se la somma dei momenti delle forze esterne applicate è nulla rispetto a un punto fisso (o polo), allora il momento angolare totale del sistema rimane conservato.
  2. Nel caso in cui un corpo rigido effettui una rotazione attorno a un asse fisso, e il momento angolare totale \vec{L} del sistema sia parallelo al vettore velocità angolare \vec{\omega}, allora si ha che

        \[ \vec{L} = I\vec{\omega}, \]

    dove I rappresenta il momento d’inerzia del corpo rigido rispetto all’asse di rotazione.

  3. Se un corpo rigido è costituito dall’unione di due o più corpi rigidi di geometria conosciuta (ad esempio, un disco o un anello), il momento d’inerzia totale del sistema rispetto ad uno specifico asse si ottiene sommando i momenti d’inerzia di ciascun componente.
  4. Il momento angolare \vec{L} di un punto materiale rispetto a un punto di riferimento è definito dal prodotto vettoriale tra il vettore posizione \vec{r}, che connette il punto di riferimento al punto materiale, e il suo momento lineare \vec{p} = m\vec{v}, dove m è la massa del punto materiale e \vec{v} la sua velocità. In forma matematica, il momento angolare è espresso come:

        \[ \vec{L} = \vec{r} \wedge \vec{p} = \vec{r}\wedge m\vec{v}, \]

    dove \wedge denota il prodotto vettoriale.

  5. Seconda Legge Cardinale per Corpi Rigidi: La seconda legge cardinale per i corpi rigidi stabilisce che

        \[ \sum_{k=1}^n \vec{M}_k^{\text{ext}} - m \vec{v}_{O'} \wedge \vec{v}_{CM} = \frac{d\vec{L}_{O'}}{dt}, \]

    dove \sum_{k=1}^n \vec{M}_k^{\text{ext}} rappresenta la somma di tutti i momenti esterni applicati al sistema rispetto al polo O', \vec{v}_{O'} è la velocità del punto di riferimento O' utilizzato per calcolare il momento angolare totale del sistema, \vec{v}_{CM} è la velocità del centro di massa e \vec{L}_{O'} indica il momento angolare totale del sistema rispetto al punto O'. Quando si sceglie un punto fisso come punto di riferimento, si verifica che \vec{v}_{O'} \wedge \vec{v}_{CM} = \vec{0}, semplificando l’equazione a:

        \[ \sum_{k=1}^n \vec{M}_k^{\text{ext}} = \frac{d\vec{L}_{O'}}{dt}. \]

    Se il momento angolare \vec{L} e la velocità angolare \vec{\omega} sono paralleli, allora diventa \sum_{k=1}^n \vec{M}_k^{\text{ext}} = I\vec{\alpha}, dove \vec{\alpha} è l’accelerazione angolare e I è il momento d’inerzia del corpo rigido rispetto all’asse di rotazione.

  6. Nel caso di rotazione pura di un corpo rigido, l’energia cinetica E è interamente rotazionale, espressa come E = \frac{1}{2}I\omega^2, dove I è il momento d’inerzia rispetto all’asse di rotazione e \omega è la velocità angolare.
  7. Teorema dell’Energia Cinetica in Contesto Rotazionale: Prendiamo in considerazione un corpo rigido che compie una rotazione attorno a un asse fisso. Quando il momento angolare totale \vec{L} del corpo e la sua velocità angolare \vec{\omega} sono allineati, vale la relazione:

        \[ M^{\text{ext}} = I\alpha, \]

    dove M^{\text{ext}} rappresenta la somma dei momenti delle forze esterne agente sul corpo, I indica il momento d’inerzia del corpo rispetto all’asse di rotazione, e \alpha denota l’accelerazione angolare. Sfruttando la relazione \alpha = \omega \frac{d\omega}{d\theta}, possiamo scrivere:

        \[ M^{\text{ext}} d\theta = \omega d\omega. \]

    Integrando questa espressione per \theta che varia da un angolo iniziale \theta_i a un angolo finale \theta_f, e per \omega che varia da una velocità angolare iniziale \omega_i a una finale \omega_f, otteniamo:

        \[ \int_{\theta_i}^{\theta_f} M^{\text{ext}} d\theta = \frac{1}{2}I(\omega_f^2 - \omega_i^2), \]

    Questo risultato dimostra che l’integrale dei momenti delle forze esterne applicati tra due angoli specifici corrisponde alla variazione dell’energia cinetica rotazionale del corpo rigido, passando da uno stato iniziale a uno finale.

  8. Una forza si definisce conservativa se il lavoro compiuto da questa forza per spostare un oggetto tra due punti è indipendente dal percorso seguito. Equivalentemente, una forza è conservativa se il lavoro compiuto per muovere l’oggetto in un percorso chiuso è nullo. Le forze conservative sono strettamente legate al concetto di energia potenziale; infatti, per ogni forza conservativa esiste un’energia potenziale associata tale che il lavoro compiuto dalla forza è uguale alla diminuzione dell’energia potenziale del sistema.
  1. Il potenziale della forza peso è un esempio di energia potenziale associata alla forza gravitazionale. Per un oggetto di massa m vicino alla superficie terrestre, dove la forza peso può essere considerata costante, l’energia potenziale gravitazionale U a un’altezza h è data da:

        \[ U = mgh+\text{costante}, \]

    dove g è l’accelerazione dovuta alla gravità. Questa formula implica che l’energia potenziale gravitazionale dipende linearmente dall’altezza dell’oggetto: più l’oggetto è elevato, maggiore è la sua energia potenziale. La forza peso è un esempio classico di forza conservativa, poiché il lavoro compiuto dalla forza peso nell’alzare o abbassare un oggetto tra due punti dipende solo dalle altezze iniziali e finali, e non dal percorso specifico seguito tra questi due punti.

  2. Un urto anelastico è un tipo di collisione tra due o più corpi in cui parte dell’energia cinetica del sistema non si conserva come energia cinetica dopo l’urto. A differenza degli urti elastici, dove l’energia cinetica totale del sistema rimane invariata prima e dopo la collisione, negli urti anelastici una parte di questa energia viene trasformata in altre forme di energia, come energia interna, calore, o contribuisce a deformazioni permanenti dei corpi coinvolti.
    • Non conservazione dell’energia cinetica: La somma delle energie cinetiche dei corpi prima dell’urto è maggiore rispetto a quella dopo l’urto. La differenza di energia si trasforma in altre forme, come espresso dalla formula:

          \[ \sum_{i} \frac{1}{2} m_i v_{i,\text{prima}}^2 > \sum_{i} \frac{1}{2} m_i v_{i,\text{dopo}}^2 \]

    • Conservazione della quantità di moto: La quantità di moto totale del sistema si conserva durante l’urto. Questo principio è valido per tutti i tipi di collisioni e si esprime come:

          \[ \sum_{i} m_i v_{i,\text{prima}} = \sum_{i} m_i v_{i,\text{dopo}} \]

      Questo vale se e solo se non ci sono vincoli esterni.

    • Possibili deformazioni permanenti: I corpi coinvolti nell’urto possono subire deformazioni permanenti a causa dell’energia assorbita durante la collisione.
  3. Un urto completamente anelastico è un caso specifico di urto anelastico in cui i corpi coinvolti nella collisione si uniscono, formando un unico corpo che si muove con una velocità comune dopo l’urto. Se non agiscono vincoli, cioè forze esterne di natura impulsiva nell’urto, si conserva la quantità di moto. Un classico esempio di urto completamente anelastico si verifica quando un proiettile viene sparato in un blocco di legno sospeso e rimane incastrato al suo interno. Dopo l’urto, il proiettile e il blocco si muovono insieme come un unico corpo. La quantità di moto totale è conservata, mentre parte dell’energia cinetica iniziale viene dissipata in forme non recuperabili, come calore o energia interna del sistema combinato. Se nell’urto in questione è presente un vincolo non si conserva la quantità di moto del sistema fisico in esame.
  4. Il termine “collineare” si riferisce a punti, vettori, o segmenti che giacciono sulla stessa linea retta. Nel contesto della matematica e della fisica, se diciamo che due vettori sono “collineari”, significa che sono paralleli l’uno all’altro e possono essere espressi come multipli scalari l’uno dell’altro. Questa proprietà è importante in molte aree della fisica, come nella dinamica, dove la collinearità di forze può influenzare il movimento di un oggetto, o nella geometria, per descrivere relazioni tra punti e linee nello spazio.
  5. Il principio di sovrapposizione degli effetti è un pilastro fondamentale in diverse aree della fisica, affermando che, in sistemi lineari, l’effetto netto prodotto da un insieme di cause è equivalente alla somma degli effetti prodotti da ciascuna causa singolarmente. Quando applicato al concetto di energia, il principio indica che l’energia totale in un punto, dovuta alla presenza di più sorgenti, può essere calcolata come la somma delle energie che ogni singola sorgente avrebbe prodotto operando in isolamento. Formalmente, se consideriamo n sorgenti di energia E_1, E_2, \ldots, E_n, l’energia totale E_{\text{tot}} in un punto è data da:

        \[ E_{\text{tot}} = \sum_{i=1}^{n} E_i, \]

    dove E_i rappresenta l’energia fornita dalla i-esima sorgente. Questo principio si rivela particolarmente utile nell’analisi di campi elettromagnetici, potenziali gravitazionali e sistemi in meccanica quantistica, dove le interazioni e gli effetti possono essere complessi e non intuitivi.

   


Svolgimento punto 1.

Definiamo come nostro sistema fisico l’insieme costituito dal disco e dalla massa m. Nella figura 2 è illustrato questo sistema esattamente un istante prima dell’impatto. Adottiamo un sistema di riferimento fisso Oz, in cui l’asse z coincide con l’asse di rotazione del disco.    

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    Durante l’impatto, l’unico impulso di forza esterna proviene dal vincolo, che agisce direttamente sul centro del disco. Scegliendo questo polo per il calcolo dei momenti esterni si ha che tale forza ha momento nullo, perché è applicata direttamente nel centro dello stesso. Possiamo ignorare il momento di attrito \tau_0, in quanto è non impulsivo e, vista l’infima durata dell’urto, non influisce sulla conservazione del momento angolare. Di conseguenza, è ragionevole assumere che il momento angolare rimanga costante rispetto al centro del disco. Il momento angolare della massa m immediatamente prima dell’urto è nullo poiché la sua velocità è collineare con il vettore posizione che congiunge il centro del disco con la posizione iniziale della massa m, risultando in un vettore momento angolare nullo rispetto a quel punto. Il momento angolare totale del sistema prima dell’urto è dato da:

(1)   \begin{equation*} L_i = I_i \omega_1, \end{equation*}

dove I_i = \frac{1}{2} MR^2 è il momento d’inerzia del disco rispetto al suo asse di rotazione. Il momento d’inerzia L_i è diretto l’ungo il semiasse positivo delle z, dato che Con l’urto, la massa m aderisce alla massa M, formando un sistema unico che ruota congiuntamente attorno al centro di massa del disco, come illustrato in Figura 3.    

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    Il momento angolare del sistema dopo l’urto è rappresentato da:

(2)   \begin{equation*} L_f = I_f \omega_2, \end{equation*}

dove I_f = \frac{1}{2} MR^2 + mR^2 indica il momento d’inerzia combinato di disco e massa m rispetto all’asse di rotazione.

Applicando il principio di conservazione del momento angolare e mettendo a confronto i momenti angolari iniziale e finale, otteniamo:

(3)   \begin{equation*} \begin{aligned} &L_i = L_f \quad \Leftrightarrow \quad I_i \omega_1 = I_f \omega_2 \quad \Leftrightarrow \quad \frac{1}{2}MR^2 \omega_1 = \left(\frac{1}{2}MR^2 + mR^2\right) \omega_2 \quad \Leftrightarrow \quad \omega_2 = \frac{M \omega_1}{M + 2m}. \end{aligned} \end{equation*}

Di conseguenza, la velocità angolare finale \omega_2 del sistema è data da:

    \[\boxcolorato{fisica}{	\omega_2 = \dfrac{M\omega_1}{M+2m}.}\]

 


Svolgimento punto 2.

Definiamo l’istante t=0 come il momento in cui il disco presenta una velocità angolare iniziale \omega_0. A un istante successivo t=\tilde{t}>0, la velocità angolare del disco diventa \omega_1. Dato che il disco è soggetto a un momento di attrito costante, dalla seconda legge del moto per i corpi rigidi deduciamo che l’accelerazione angolare \alpha del disco rimane costante.

La relazione che governa la velocità angolare del disco in funzione del tempo è quindi:

    \[\omega(t) = \omega_0 + \alpha t,\]

e, ponendo t=\tilde{t}, otteniamo

(4)   \begin{equation*} \omega(\tilde{t}) = \omega_1 = \omega_0 + \alpha \tilde{t} \quad \Leftrightarrow \quad \alpha = \frac{\omega_1 - \omega_0}{\tilde{t}} < 0, \end{equation*}

indicando che il disco rallenta a causa dell’accelerazione angolare negativa.

Applicando la seconda cardinale per il corpi rigidi al disco, troviamo che:

(5)   \begin{equation*} I_i \alpha = \tau_0 \quad \Leftrightarrow \quad \tau_0 = \frac{1}{2} MR^2 \alpha. \end{equation*}

Combinando le equazioni ottenute, deriviamo che:

(6)   \begin{equation*} \tau_0 = \frac{1}{2} MR^2 \left( \frac{\omega_1 - \omega_0}{\tilde{t}} \right) < 0. \end{equation*}

Il segno negativo di \tau_0 conferma che si tratta di un momento di attrito che agisce per rallentare il disco. Se ne conclude che il modulo del momento di attrito è

    \[\boxcolorato{fisica}{\tau_0 = \frac{1}{2} MR^2 \left( \frac{\omega_1 - \omega_0}{\tilde{t}} \right).}\]

 


Svolgimento punto 3.

In un sistema costituito da una collezione di punti materiali, sia esso discreto o continuo, il principio di sovrapposizione permette di affermare che l’energia totale del sistema è equivalente alla somma delle energie cinetiche dei singoli punti. Durante l’impatto, le masse m e M si fondono in un unico oggetto che inizia a ruotare attorno a un asse che passa per il centro di massa del disco e che è perpendicolare al piano di appoggio. Di conseguenza, l’energia cinetica immediatamente dopo l’impatto può essere espressa come:

(7)   \begin{equation*} E_i = \frac{1}{2} I_f \omega_2^2, \end{equation*}

considerando che tale energia è interamente di natura rotazionale. La Figura 4 illustra il disco ruotato di 180^\circ rispetto al momento dell’impatto.

   

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    Al momento in cui il disco ha compiuto una rotazione di 180^\circ, la sua energia cinetica è espressa da:

(8)   \begin{equation*} E_f = \frac{1}{2} I_f (\omega^\star)^2. \end{equation*}

Dato il momento di attrito, l’energia cinetica non si conserva, consentendoci di applicare il teorema dell’energia cinetica, noto anche come teorema delle forze vive, per calcolare \omega^\star.

Per determinare \omega^\star, calcoliamo il lavoro compiuto dalla forza peso e dal momento di attrito durante la rotazione di 180^\circ del disco:

(9)   \begin{equation*} \text{Lavoro forza peso} + \text{Lavoro momento di attrito} = 2mgR - \int_{0}^{\pi} \tau\,d\theta = 2mgR - \pi\tau. \end{equation*}

Dall’applicazione del teorema delle forze vive e dalle equazioni (7) e (8), otteniamo:

(10)   \begin{equation*} \frac{1}{2}I_f (\omega^\star)^2 - \frac{1}{2}I_f \omega_2^2 = 2mgR - \pi\tau, \end{equation*}

da cui segue

(11)   \begin{equation*} \omega^\star = \sqrt{\omega_2^2 + \frac{2}{I_f} (2mgR - \tau\pi)}. \end{equation*}

Ricordando, dai due punti precedenti, che:

(12)   \begin{equation*} \omega_2 = \frac{M\omega_1}{M+2m} \quad \text{e} \quad I_f = \frac{1}{2}MR^2 + mR^2, \end{equation*}

l’equazione (11) diventa:

(13)   \begin{equation*} \omega^\star = \sqrt{\left(\frac{M\omega_1}{M+2m}\right)^2 + 2\left(\frac{2mgR - \tau\pi}{\frac{1}{2}MR^2 + mR^2}\right)}. \end{equation*}

Pertanto, la velocità angolare del disco quando la massa raggiunge la posizione più bassa è data da:

    \[\boxcolorato{fisica}{	\omega^\star=\sqrt{\left(\dfrac{M\omega_1}{M+2m}\right)^2+2\left(\dfrac{2mgR-\tau\pi}{\dfrac{1}{2}MR^2+mR^2}\right)}.}\]