Login Abbonati
Accedi ai contenuti scaricabili
a

Menu

M

Chiudi

Esercizio urti 36

Urti in Meccanica classica

Home » Esercizio urti 36

L’Esercizio Urti 36 è il trentaseiesimo della raccolta dedicata agli esercizi misti sugli urti. Questo esercizio segue l’Esercizio Urti 35. Successivamente, gli studenti potranno affrontare l’Esercizio Urti 37. Pensato per gli studenti di Fisica 1, è particolarmente utile per coloro che studiano ingegneria, fisica o matematica.

L’argomento successivo agli urti riguarda gli esercizi sulla gravitazione, mentre l’argomento precedente tratta gli esercizi svolti sulla dinamica del corpo rigido.

 

Testo esercizio urti 36

Esercizio 36 (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Consideriamo un proiettile di massa m che impatta perpendicolarmente su una porta a una distanza d dai cardini, con una velocità iniziale \vec{v}_0. La porta ha un momento d’inerzia I_0 rispetto all’asse passante per i cardini. Dopo l’impatto, il proiettile prosegue nel suo cammino con una velocità \vec{v}_1, mentre la porta inizia a ruotare con una velocità angolare \vec{\omega}_1. Con v_0 e \omega_1 indichiamo rispettivamente i moduli di \vec{v}_0 e \vec{v}_1. Si desidera determinare:

  1. la velocità finale \vec{v}_1 del proiettile, espressa in funzione di m, v_0, d, I_0, e \omega_1;
  2. l’energia meccanica dissipata durante l’evento, espressa in funzione di I_0, \omega_1, m, v_0, e d;
  3. la forza media esercitata sulla porta, se il proiettile impiega un tempo \tilde{t} > 0 per attraversarla, espressa in funzione di m, \tilde{t}, v_0, d, I_0, e \omega_1.

Si assume che m v_0 d > I_0 \omega_1.

 

 

Rendered by QuickLaTeX.com

 

Figura 1: schema del problema.

 

Prerequisiti.

  1. Dato un sistema fisico se la somma dei momenti esterni è nulla rispetto a un polo fisso, allora il momento angolare totale del sistema fisico in esame si conserva.
  2. Il momento angolare di un punto materiale di massa m rispetto a un polo O è dato da \vec{L} = m \vec{r} \wedge \vec{v}, dove \vec{r} è il vettore posizione che congiunge il polo O con il punto materiale, e \vec{v} è la velocità rispetto a un sistema di riferimento inerziale.
  3. Quando un corpo rigido ruota attorno a un asse fisso, tale che il momento angolare totale \vec{L} sia parallelo a \vec{\omega}, allora si ha che:

        \[ \vec{L} = I \vec{\omega}, \]

    dove I è il momento d’inerzia del corpo rispetto all’asse di rotazione.

  4. Si definisce forza media \vec{F}_m il rapporto tra l’integrale della forza \vec{F}(t) nel tempo e l’intervallo di tempo durante il quale la forza agisce. Matematicamente, è espressa dalla formula:

        \[ \vec{F}_m = \frac{\displaystyle \int_{t_i}^{t_f} \vec{F}(t)\, dt}{t_f - t_i}, \]

    dove t_i e t_f rappresentano, rispettivamente, gli istanti iniziale e finale dell’intervallo temporale considerato. Esempio Pratico: Consideriamo un corpo di massa m su cui agisce una forza variabile nel tempo \vec{F}(t) = k t\, \hat{i}, dove k è una costante e \hat{i} è il versore della direzione di applicazione della forza. Vogliamo calcolare la forza media che agisce sul corpo nell’intervallo di tempo da 0 a T. Sostituendo \vec{F}(t) nella formula della forza media, otteniamo:

        \[ \vec{F}_m = \dfrac{\displaystyle \int_{0}^{T} k t \, dt}{T - 0}\hat{i} = \frac{\displaystyle k \left[ \frac{1}{2} t^2 \right]_{0}^{T}}{T} \hat{i} = \frac{k T^2}{2T}\hat{i} = \frac{k T}{2} \,\hat{i}. \]

    La forza media che agisce sul corpo nell’intervallo considerato è quindi \frac{k T}{2} \,\hat{i}, indicando che la forza media cresce linearmente con l’aumentare dell’intervallo di tempo T.

  5. Teorema dell’impulso: Dato un punto materiale su cui agisce una forza, ad esempio di natura impulsiva, l’integrale di tale forza su un intervallo di tempo determina una variazione della quantità di moto (\Delta \vec{p}) del punto materiale. Questo integrale è definito come impulso (\vec{J}) e può essere espresso matematicamente come:

        \[ \vec{J} = \int_{t_i}^{t_f} \vec{F}\, dt = \Delta \vec{p}, \]

    dove \vec{F} rappresenta la forza variabile nel tempo, t_i e t_f sono, rispettivamente, gli istanti iniziale e finale dell’intervallo di tempo considerato, e \Delta \vec{p} è la variazione della quantità di moto del punto materiale, definita come \Delta \vec{p} = m(\vec{v}_f - \vec{v}_i), con m che indica la massa del punto materiale, \vec{v}_i la sua velocità iniziale e \vec{v}_f la sua velocità finale. Applicazione del Teorema dell’Impulso: Consideriamo un esempio pratico in cui una palla di massa m viene colpita da una racchetta, esercitando una forza che varia nel tempo durante l’impatto. Se la palla entra in contatto con la racchetta a una velocità \vec{v}_i e la lascia con una velocità \vec{v}_f dopo un tempo \Delta t = t_f - t_i, l’impulso impartito dalla racchetta alla palla può essere calcolato come:

        \[ \vec{J} = \Delta \vec{p} = m \vec{v}_f - m \vec{v}_i. \]

    Misurando le velocità iniziale e finale della palla e conoscendo la sua massa, possiamo determinare l’impulso totale esercitato sulla palla durante l’impatto. Il teorema dell’impulso offre quindi uno strumento prezioso per comprendere e prevedere l’effetto delle forze impulsive in una vasta gamma di fenomeni fisici.

   


Svolgimento punto 1.

I cardini sono cerniere o perni che permettono l’apertura e la chiusura di una porta, consentendole di ruotare attorno al telaio. Tipicamente, si trovano in posizione verticale lungo un bordo della porta, di solito sul lato opposto rispetto alla maniglia. In ambito fisico e ingegneristico, durante l’analisi del movimento di una porta, i cardini definiscono l’asse di rotazione, attorno al quale vengono effettuati i calcoli del momento torcente e del momento d’inerzia. Il punto O, mostrato nella figura di sopra, corrisponde al punto al quale passa l’asse di rotazione della porta. Per l’analisi dell’evento consideriamo il sistema composto dalla massa m e dalla porta.

Durante l’impatto, l’unica forza esterna impulsiva è quella esercitata dal vincolo in O, che perciò non esercita alcun momento rispetto a questo polo. Le forze di gravità agiscono sui corpi ma, in quanto non impulsive e vista l’infima durata dell’urto, il loro effetto può essere ignorato, permettendoci di assumere la conservazione del momento angolare intorno a O. Inoltre, adottiamo un sistema di riferimento fisso Oxz, con l’asse z allineato all’asse di rotazione della porta e l’asse delle x parallelo alla velocità \vec{v}_0\parallel \vec{v}_1, per osservare l’evento fisico in questione. Il momento angolare iniziale del sistema è dovuto unicamente alla massa puntiforme m, poiché la porta è inizialmente ferma. Esso è dato da:

(1)   \begin{equation*} L_i = m v_0 d. \end{equation*}

Dopo l’urto, la porta inizia a ruotare con una velocità angolare \omega_1 mentre la massa m esce dalla porta con una velocità di modulo v_1 nella direzione dell’asse delle x. Il momento angolare finale del sistema è quindi:

(2)   \begin{equation*} L_f = I_0 \omega_1 + m v_1 d. \end{equation*}

Entrambi i momenti angolare L_i e L_f sono diretti nella direzione dell’asse delle z. Applicando la conservazione del momento angolare e uguagliando L_i a L_f, calcolate rispettivamente nelle due precedenti equazioni, otteniamo:

(3)   \begin{equation*} mv_0 d = I_0 \omega_1 + m v_1 d \end{equation*}

cioè

    \[\boxcolorato{fisica}{ v_1 = \dfrac{mv_0d-I_0\omega_1}{md}.}\]

 


Svolgimento punto 2.

Per determinare l’energia dissipata durante l’urto, calcoliamo l’energia cinetica del sistema prima e dopo l’urto e ne troviamo la differenza. In un sistema composto da punti materiali, sia discreti che continui, l’energia cinetica totale è la somma delle energie cinetiche di ciascun componente.

Prima dell’urto, l’energia è interamente dovuta al punto materiale, poiché la porta è ferma. Pertanto, l’energia cinetica iniziale è:

(4)   \begin{equation*} E_i = \frac{1}{2} m v_0^2. \end{equation*}

Dopo l’urto, la porta, che ruota con una velocità angolare \omega_1, e il punto materiale, che si muove con velocità v_1, contribuiscono entrambi all’energia cinetica totale del sistema, che diventa:

(5)   \begin{equation*} E_f = \frac{1}{2} I_0 \omega_1^2 + \frac{1}{2} m v_1^2. \end{equation*}

La variazione dell’energia cinetica, \Delta E, è data da:

(6)   \begin{equation*} \Delta E = E_f- E_i = \left(\frac{1}{2} I_0 \omega_1^2 + \frac{1}{2} m v_1^2\right)-\frac{1}{2} m v_0^2 , \end{equation*}

dove abbiamo sfruttato le due precedenti equazioni. Dall’equazione trovata nel punto precedente:

(7)   \begin{equation*} v_1 = \frac{m v_0 d - I_0 \omega_1}{m d}, \end{equation*}

sostituendo v_1 nell’equazione di \Delta E otteniamo il valore dell’energia dissipata nell’urto, cioè

    \[\boxcolorato{fisica}{ \Delta E =\dfrac{1}{2}I_0\omega_1^2+\dfrac{1}{2}m\left(\dfrac{mv_0d-I_0\omega_1}{md} \right)^2-\dfrac{1}{2}mv_0^2.}\]

Si osserva che \Delta E risulta essere negativa. Questo è indicativo del fatto che l’energia cinetica totale del sistema dopo l’urto è minore rispetto a quella iniziale. La riduzione di energia cinetica è dovuta alla trasformazione di parte di quest’energia in altre forme durante l’urto, quali energia termica, sonora e potenziale di deformazione. In particolare, l’energia viene dissipata a causa dell’inelasticità dell’urto, che non permette una conservazione totale dell’energia cinetica. L’energia non scompare, ma viene convertita in forme che non contribuiscono al movimento macroscopico dei corpi coinvolti nell’evento. In termini fisici, l’energia dissipata rappresenta il lavoro necessario per modificare la struttura interna dei corpi e generare calore durante l’impatto. Il termine -\dfrac{1}{2}mv_0^2 rappresenta l’energia cinetica iniziale del proiettile, mentre il termine \dfrac{1}{2}I_0\omega_1^2 rappresenta l’energia cinetica rotazionale acquisita dalla porta, e il termine complesso \dfrac{1}{2}m\left(\dfrac{mv_0d-I_0\omega_1}{md} \right)^2 rappresenta l’energia cinetica traslazionale residua del proiettile e della porta dopo l’urto. La differenza tra l’energia cinetica iniziale e l’energia cinetica totale post-urto (somma delle due forme di energia cinetica post-urto) è quindi l’energia dissipata durante l’urto, che è stata trasferita all’ambiente circostante e ai corpi stessi sotto forme non meccaniche.  


Svolgimento punto 3.

Applicando il teorema dell’impulso e utilizzando la definizione di forza media, descritti rispettivamente dalle equazioni (??) e (??), otteniamo:

(8)   \begin{equation*} \begin{cases} \vec{J} = \displaystyle \int_{t_i}^{t_f} \vec{F}\, dt = \Delta \vec{p}, \\[10pt] \vec{F}_m = \frac{\displaystyle\int_{t_i}^{t_f} \vec{F}(t)\, dt}{\displaystyle t_f -\displaystyle t_i}. \end{cases} \end{equation*}

Dal precedente sistema combinando le due equazioni si trova:

(9)   \begin{equation*} \vec{F}_m (t_f - t_i) = m (\vec{v}_f - \vec{v}_i). \end{equation*}

Nel nostro problema la forza media, insieme alle velocità iniziale \vec{v}_i e finale \vec{v}_f, agisce nella stessa direzione (cioè l’asse delle x), possiamo semplificare l’analisi alle loro componenti scalari. Di conseguenza, otteniamo:

(10)   \begin{equation*} F_m (t_f - t_i) = m (v_f - v_i). \end{equation*}

Poniamo: t_f = \tilde{t}, t_i = 0, v_f = v_1 e v_i = v_0, semplificando ulteriormente l’espressione a:

(11)   \begin{equation*} F_m \tilde{t} = \Delta p = m (v_1 - v_0). \end{equation*}

Facendo riferimento al risultato ottenuto nel primo punto, possiamo riscrivere l’equazione come:

(12)   \begin{equation*} F_m \tilde{t} = m \left(\frac{mv_0d - I_0 \omega_1}{md} - v_0 \right), \end{equation*}

da cui

    \[\boxcolorato{fisica}{F_M=\dfrac{m}{\tilde{t}}\left(\dfrac{mv_0d-I_0\omega_1}{md}-v_0 \right).}\]

 

Scarica gli esercizi svolti

Ottieni il documento contenente 39 esercizi risolti, contenuti in 154 pagine ricche di dettagli, per migliorare la tua comprensione degli urti in meccanica classica.

 
 

Esercizi di Meccanica classica

Se siete interessati ad approfondire argomenti inerenti alla Meccanica Classica, di seguito troverete tutte le cartelle relative presenti sul sito Qui Si Risolve. Ciascuna cartella contiene numerosi esercizi con spiegazioni dettagliate, progettate per offrire una preparazione solida e una conoscenza approfondita della materia.

Leggi..


 
 

Tutti gli esercizi di elettromagnetismo

Se si desidera proseguire con gli esercizi, di seguito è disponibile una vasta raccolta che copre interamente gli argomenti del programma di

  • Elettromagnetismo. Questa raccolta include spiegazioni dettagliate e gli esercizi sono organizzati in base al livello di difficoltà, offrendo un supporto completo per lo studio e la pratica.

    Leggi...

    Per chi intende verificare le proprie competenze, è stata predisposta una raccolta di esercizi misti di elettromagnetismo.


     
     

    Esercizi di Meccanica razionale

    Se siete interessati ad approfondire argomenti inerenti alla Meccanica razionale, di seguito troverete tutte le cartelle relative presenti sul sito Qui Si Risolve. Ciascuna cartella contiene numerosi esercizi con spiegazioni dettagliate, progettate per offrire una preparazione solida e una conoscenza approfondita della materia.

    Leggi...


     
     

    Ulteriori risorse didattiche per la fisica

    Leggi...

    • Physics Stack Exchange – Parte della rete Stack Exchange, questo sito è un forum di domande e risposte specificamente dedicato alla fisica. È un’ottima risorsa per discutere e risolvere problemi di fisica a tutti i livelli, dall’elementare all’avanzato.
    • ArXiv – ArXiv è un archivio di preprint per articoli di ricerca in fisica (e in altre discipline scientifiche). Gli articoli non sono peer-reviewed al momento della pubblicazione su ArXiv, ma rappresentano un’importante risorsa per rimanere aggiornati sugli sviluppi più recenti nella ricerca fisica.
    • Phys.org – Questo sito offre notizie e aggiornamenti su una vasta gamma di argomenti scientifici, con un focus particolare sulla fisica. È una risorsa utile per rimanere aggiornati sugli ultimi sviluppi nella ricerca e nelle scoperte fisiche.
    • Physics Forums – Una delle comunità online più grandi per la fisica e la scienza in generale. Offre discussioni su vari argomenti di fisica, aiuto con i compiti, e discussioni su articoli di ricerca.
    • The Feynman Lectures on Physics – Questo sito offre accesso gratuito alla famosa serie di lezioni di fisica di Richard Feynman, un’ottima risorsa per studenti di fisica di tutti i livelli.
    • American Physical Society (APS) – La APS è una delle organizzazioni più importanti per i fisici. Il sito offre accesso a pubblicazioni, conferenze, risorse educative e aggiornamenti sulle novità del mondo della fisica.
    • Institute of Physics (IOP) – L’IOP è un’importante organizzazione professionale per i fisici. Il sito offre risorse per l’apprendimento, accesso a riviste scientifiche, notizie e informazioni su eventi e conferenze nel mondo della fisica.
    • Physics World – Physics World è una rivista online che offre notizie, articoli, interviste e approfondimenti su vari argomenti di fisica. È una risorsa preziosa per chiunque sia interessato agli sviluppi contemporanei nella fisica.
    • Quanta Magazine (sezione Fisica) – Quanta Magazine è una pubblicazione online che copre notizie e articoli di approfondimento su matematica e scienze. La sezione fisica è particolarmente interessante per i contenuti di alta qualità e le spiegazioni approfondite.
    • Perimeter Institute – Il Perimeter Institute è un importante centro di ricerca in fisica teorica. Il sito offre accesso a conferenze, workshop e materiale educativo, ed è un’ottima risorsa per chi è interessato alla fisica teorica avanzata.

     
     






    Document