Esercizio urti 36

Urti in Meccanica classica

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Esercizio 36  (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Consideriamo un proiettile di massa m che impatta perpendicolarmente su una porta a una distanza d dai cardini, con una velocità iniziale \vec{v}_0. La porta ha un momento d’inerzia I_0 rispetto all’asse passante per i cardini. Dopo l’impatto, il proiettile prosegue nel suo cammino con una velocità \vec{v}_1, mentre la porta inizia a ruotare con una velocità angolare \vec{\omega}_1. Con v_0 e \omega_1 indichiamo rispettivamente i moduli di \vec{v}_0 e \vec{v}_1. Si desidera determinare:

  1. la velocità finale \vec{v}_1 del proiettile, espressa in funzione di m, v_0, d, I_0, e \omega_1;
  2. l’energia meccanica dissipata durante l’evento, espressa in funzione di I_0, \omega_1, m, v_0, e d;
  3. la forza media esercitata sulla porta, se il proiettile impiega un tempo \tilde{t} > 0 per attraversarla, espressa in funzione di m, \tilde{t}, v_0, d, I_0, e \omega_1.

Si assume che m v_0 d > I_0 \omega_1.

 

 

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Figura 1: schema del problema.

 

Prerequisiti.

  1. Dato un sistema fisico se la somma dei momenti esterni è nulla rispetto a un polo fisso, allora il momento angolare totale del sistema fisico in esame si conserva.
  2. Il momento angolare di un punto materiale di massa m rispetto a un polo O è dato da \vec{L} = m \vec{r} \wedge \vec{v}, dove \vec{r} è il vettore posizione che congiunge il polo O con il punto materiale, e \vec{v} è la velocità rispetto a un sistema di riferimento inerziale.
  3. Quando un corpo rigido ruota attorno a un asse fisso, tale che il momento angolare totale \vec{L} sia parallelo a \vec{\omega}, allora si ha che:

        \[             \vec{L} = I \vec{\omega},             \]

    dove I è il momento d’inerzia del corpo rispetto all’asse di rotazione.

  4. Si definisce forza media \vec{F}_m il rapporto tra l’integrale della forza \vec{F}(t) nel tempo e l’intervallo di tempo durante il quale la forza agisce. Matematicamente, è espressa dalla formula:

        \[             \vec{F}_m = \frac{\displaystyle \int_{t_i}^{t_f} \vec{F}(t)\, dt}{t_f - t_i},             \]

    dove t_i e t_f rappresentano, rispettivamente, gli istanti iniziale e finale dell’intervallo temporale considerato. Esempio Pratico: Consideriamo un corpo di massa m su cui agisce una forza variabile nel tempo \vec{F}(t) = k t\, \hat{i}, dove k è una costante e \hat{i} è il versore della direzione di applicazione della forza. Vogliamo calcolare la forza media che agisce sul corpo nell’intervallo di tempo da 0 a T. Sostituendo \vec{F}(t) nella formula della forza media, otteniamo:

        \[             \vec{F}_m = \dfrac{\displaystyle \int_{0}^{T} k t \, dt}{T - 0}\hat{i}  = \frac{\displaystyle k \left[ \frac{1}{2} t^2 \right]_{0}^{T}}{T} \hat{i} = \frac{k T^2}{2T}\hat{i}  = \frac{k T}{2} \,\hat{i}.             \]

    La forza media che agisce sul corpo nell’intervallo considerato è quindi \frac{k T}{2} \,\hat{i}, indicando che la forza media cresce linearmente con l’aumentare dell’intervallo di tempo T.

  5. Teorema dell’impulso: Dato un punto materiale su cui agisce una forza, ad esempio di natura impulsiva, l’integrale di tale forza su un intervallo di tempo determina una variazione della quantità di moto (\Delta \vec{p}) del punto materiale. Questo integrale è definito come impulso (\vec{J}) e può essere espresso matematicamente come:

        \[             \vec{J} = \int_{t_i}^{t_f} \vec{F}\, dt = \Delta \vec{p},             \]

    dove \vec{F} rappresenta la forza variabile nel tempo, t_i e t_f sono, rispettivamente, gli istanti iniziale e finale dell’intervallo di tempo considerato, e \Delta \vec{p} è la variazione della quantità di moto del punto materiale, definita come \Delta \vec{p} = m(\vec{v}_f - \vec{v}_i), con m che indica la massa del punto materiale, \vec{v}_i la sua velocità iniziale e \vec{v}_f la sua velocità finale. Applicazione del Teorema dell’Impulso: Consideriamo un esempio pratico in cui una palla di massa m viene colpita da una racchetta, esercitando una forza che varia nel tempo durante l’impatto. Se la palla entra in contatto con la racchetta a una velocità \vec{v}_i e la lascia con una velocità \vec{v}_f dopo un tempo \Delta t = t_f - t_i, l’impulso impartito dalla racchetta alla palla può essere calcolato come:

        \[             \vec{J} = \Delta \vec{p} = m \vec{v}_f - m \vec{v}_i.             \]

    Misurando le velocità iniziale e finale della palla e conoscendo la sua massa, possiamo determinare l’impulso totale esercitato sulla palla durante l’impatto. Il teorema dell’impulso offre quindi uno strumento prezioso per comprendere e prevedere l’effetto delle forze impulsive in una vasta gamma di fenomeni fisici.

   


Svolgimento punto 1.

I cardini sono cerniere o perni che permettono l’apertura e la chiusura di una porta, consentendole di ruotare attorno al telaio. Tipicamente, si trovano in posizione verticale lungo un bordo della porta, di solito sul lato opposto rispetto alla maniglia. In ambito fisico e ingegneristico, durante l’analisi del movimento di una porta, i cardini definiscono l’asse di rotazione, attorno al quale vengono effettuati i calcoli del momento torcente e del momento d’inerzia. Il punto O, mostrato nella figura di sopra, corrisponde al punto al quale passa l’asse di rotazione della porta. Per l’analisi dell’evento consideriamo il sistema composto dalla massa m e dalla porta.

Durante l’impatto, l’unica forza esterna impulsiva è quella esercitata dal vincolo in O, che perciò non esercita alcun momento rispetto a questo polo. Le forze di gravità agiscono sui corpi ma, in quanto non impulsive e vista l’infima durata dell’urto, il loro effetto può essere ignorato, permettendoci di assumere la conservazione del momento angolare intorno a O. Inoltre, adottiamo un sistema di riferimento fisso Oxz, con l’asse z allineato all’asse di rotazione della porta e l’asse delle x parallelo alla velocità \vec{v}_0\parallel \vec{v}_1, per osservare l’evento fisico in questione. Il momento angolare iniziale del sistema è dovuto unicamente alla massa puntiforme m, poiché la porta è inizialmente ferma. Esso è dato da:

(1)   \begin{equation*} L_i = m v_0 d. \end{equation*}

Dopo l’urto, la porta inizia a ruotare con una velocità angolare \omega_1 mentre la massa m esce dalla porta con una velocità di modulo v_1 nella direzione dell’asse delle x. Il momento angolare finale del sistema è quindi:

(2)   \begin{equation*} L_f = I_0 \omega_1 + m v_1 d. \end{equation*}

Entrambi i momenti angolare L_i e L_f sono diretti nella direzione dell’asse delle z. Applicando la conservazione del momento angolare e uguagliando L_i a L_f, calcolate rispettivamente nelle due precedenti equazioni, otteniamo:

(3)   \begin{equation*} mv_0 d = I_0 \omega_1 + m v_1 d  \end{equation*}

cioè

    \[\boxcolorato{fisica}{	v_1 = \dfrac{mv_0d-I_0\omega_1}{md}.}\]

 


Svolgimento punto 2.

Per determinare l’energia dissipata durante l’urto, calcoliamo l’energia cinetica del sistema prima e dopo l’urto e ne troviamo la differenza. In un sistema composto da punti materiali, sia discreti che continui, l’energia cinetica totale è la somma delle energie cinetiche di ciascun componente.

Prima dell’urto, l’energia è interamente dovuta al punto materiale, poiché la porta è ferma. Pertanto, l’energia cinetica iniziale è:

(4)   \begin{equation*} 		E_i = \frac{1}{2} m v_0^2. 		\end{equation*}

Dopo l’urto, la porta, che ruota con una velocità angolare \omega_1, e il punto materiale, che si muove con velocità v_1, contribuiscono entrambi all’energia cinetica totale del sistema, che diventa:

(5)   \begin{equation*} 		E_f = \frac{1}{2} I_0 \omega_1^2 + \frac{1}{2} m v_1^2. 		\end{equation*}

La variazione dell’energia cinetica, \Delta E, è data da:

(6)   \begin{equation*} 		\Delta E =  E_f- E_i =  \left(\frac{1}{2} I_0 \omega_1^2 + \frac{1}{2} m v_1^2\right)-\frac{1}{2} m v_0^2 , 		\end{equation*}

dove abbiamo sfruttato le due precedenti equazioni. Dall’equazione trovata nel punto precedente:

(7)   \begin{equation*} 		v_1 = \frac{m v_0 d - I_0 \omega_1}{m d}, 		\end{equation*}

sostituendo v_1 nell’equazione di \Delta E otteniamo il valore dell’energia dissipata nell’urto, cioè

    \[\boxcolorato{fisica}{	\Delta E =\dfrac{1}{2}I_0\omega_1^2+\dfrac{1}{2}m\left(\dfrac{mv_0d-I_0\omega_1}{md} \right)^2-\dfrac{1}{2}mv_0^2.}\]

Si osserva che \Delta E risulta essere negativa. Questo è indicativo del fatto che l’energia cinetica totale del sistema dopo l’urto è minore rispetto a quella iniziale. La riduzione di energia cinetica è dovuta alla trasformazione di parte di quest’energia in altre forme durante l’urto, quali energia termica, sonora e potenziale di deformazione. In particolare, l’energia viene dissipata a causa dell’inelasticità dell’urto, che non permette una conservazione totale dell’energia cinetica. L’energia non scompare, ma viene convertita in forme che non contribuiscono al movimento macroscopico dei corpi coinvolti nell’evento. In termini fisici, l’energia dissipata rappresenta il lavoro necessario per modificare la struttura interna dei corpi e generare calore durante l’impatto. Il termine -\dfrac{1}{2}mv_0^2 rappresenta l’energia cinetica iniziale del proiettile, mentre il termine \dfrac{1}{2}I_0\omega_1^2 rappresenta l’energia cinetica rotazionale acquisita dalla porta, e il termine complesso \dfrac{1}{2}m\left(\dfrac{mv_0d-I_0\omega_1}{md} \right)^2 rappresenta l’energia cinetica traslazionale residua del proiettile e della porta dopo l’urto. La differenza tra l’energia cinetica iniziale e l’energia cinetica totale post-urto (somma delle due forme di energia cinetica post-urto) è quindi l’energia dissipata durante l’urto, che è stata trasferita all’ambiente circostante e ai corpi stessi sotto forme non meccaniche.  


Svolgimento punto 3.

Applicando il teorema dell’impulso e utilizzando la definizione di forza media, descritti rispettivamente dalle equazioni (??) e (??), otteniamo:

(8)   \begin{equation*} \begin{cases} \vec{J} = \displaystyle \int_{t_i}^{t_f} \vec{F}\, dt = \Delta \vec{p}, \\[10pt] \vec{F}_m = \frac{\displaystyle\int_{t_i}^{t_f} \vec{F}(t)\, dt}{\displaystyle t_f -\displaystyle t_i}. \end{cases} \end{equation*}

Dal precedente sistema combinando le due equazioni si trova:

(9)   \begin{equation*} \vec{F}_m (t_f - t_i)  = m (\vec{v}_f - \vec{v}_i). \end{equation*}

Nel nostro problema la forza media, insieme alle velocità iniziale \vec{v}_i e finale \vec{v}_f, agisce nella stessa direzione (cioè l’asse delle x), possiamo semplificare l’analisi alle loro componenti scalari. Di conseguenza, otteniamo:

(10)   \begin{equation*} F_m (t_f - t_i) = m (v_f - v_i). \end{equation*}

Poniamo: t_f = \tilde{t}, t_i = 0, v_f = v_1 e v_i = v_0, semplificando ulteriormente l’espressione a:

(11)   \begin{equation*} F_m \tilde{t} = \Delta p = m (v_1 - v_0). \end{equation*}

Facendo riferimento al risultato ottenuto nel primo punto, possiamo riscrivere l’equazione come:

(12)   \begin{equation*} F_m \tilde{t} = m \left(\frac{mv_0d - I_0 \omega_1}{md} - v_0 \right), \end{equation*}

da cui

    \[\boxcolorato{fisica}{F_M=\dfrac{m}{\tilde{t}}\left(\dfrac{mv_0d-I_0\omega_1}{md}-v_0 \right).}\]