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Esercizio urti 34

Urti in Meccanica classica

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Esercizio 34 (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Un proiettile di massa m e velocità \vec{v} attraversa la massa di un pendolo semplice, emergendo con velocità \frac{\vec{v}}{2}. Sia M la massa del pendolo e L la lunghezza del filo. Determinare:

  1. la velocità minima che deve avere la massa M del pendolo, immediatamente dopo l’urto, per poter compiere un giro completo.
  2. La velocità iniziale \vec{v} del proiettile, prima dell’urto, assumendo che sia soddisfatta la condizione della domanda precedente.

 

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Prerequisiti.

  1. Un pendolo semplice è un modello ideale utilizzato in fisica per studiare le oscillazioni periodiche. Esso consiste in un filo inestensibile e di massa trascurabile, fissato a un punto fisso da un’estremità, con una massa puntiforme, detta bobina o peso, attaccata all’altra estremità. Quando la massa viene spostata dalla sua posizione di equilibrio e rilasciata, essa inizia a oscillare avanti e indietro a causa della forza di gravità, descrivendo un arco.
    • Le caratteristiche principali di un pendolo semplice sono:
      • La lunghezza del filo L, che è la distanza tra il punto di sospensione e la massa m.
      • La massa m del peso, che si presume concentrata in un punto.
      • L’angolo \theta tra il filo e la direzione verticale, che indica lo spostamento del pendolo dalla sua posizione di equilibrio.
    • Se l’angolo \theta è piccolo, le oscillazioni del pendolo sono approssimativamente armoniche semplici e periodiche. Questa è la cosiddetta “approssimazione delle piccole oscillazioni”. In questa approssimazione, il periodo di oscillazione T, ovvero il tempo impiegato per compiere un’oscillazione completa, è espresso dalla formula:

          \[ T = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}, \]

      dove g rappresenta l’accelerazione di gravità. Questa relazione indica che il periodo è indipendente dalla massa del pendolo e dall’ampiezza dell’oscillazione, una proprietà nota come isocronismo.

  2. Il secondo principio della dinamica stabilisce che, all’interno di un sistema di riferimento inerziale, la somma vettoriale di tutte le forze (\vec{F}_k) che agiscono su un corpo è pari alla variazione nel tempo della sua quantità di moto (\vec{P}). Matematicamente, ciò si esprime attraverso la seguente equazione differenziale:

        \[ \sum_{k=1}^{n}\vec{F}_k = \frac{d\vec{P}}{dt}, \]

    dove la quantità di moto \vec{P} è definita come il prodotto della massa m del corpo per la sua velocità \vec{v}, ovvero \vec{P} = m\vec{v}.

  3. Durante il moto circolare uniforme di un corpo, la somma delle forze dirette verso il centro della traiettoria circolare genera una forza specifica, denominata forza centripeta. Questa forza è responsabile della deviazione del corpo dalla sua traiettoria rettilinea, mantenendolo in un percorso circolare. La forza centripeta è direttamente proporzionale alla massa del corpo e al quadrato della sua velocità, ed è inversamente proporzionale al raggio della circonferenza. Matematicamente, questo rapporto è espresso dalla formula:

        \[ F_c = -m\frac{v^2}{R}, \]

    dove F_c rappresenta la forza centripeta, m è la massa del corpo, v è la velocità tangenziale, e R indica il raggio della circonferenza. L’accelerazione centripeta, pari a -\frac{v^2}{R}, è la componente dell’accelerazione diretta verso il centro della circonferenza.

  4. Principio di Conservazione dell’Energia. Nel caso in cui un punto materiale sia soggetto esclusivamente all’azione di forze conservative, si verifica la conservazione dell’energia meccanica totale del sistema. In altre parole, la somma dell’energia cinetica (K) e dell’energia potenziale (U) del punto materiale rimane invariata nel corso del suo moto. Questo principio si formalizza attraverso l’equazione:

        \[ K + U = \text{costante}, \]

    dove l’energia cinetica K è definita come K = \frac{1}{2}mv^2, con m massa del punto materiale e v il modulo della sua velocità in un dato istante. L’energia potenziale U dipende dalle caratteristiche specifiche delle forze conservative in gioco e può essere espressa analiticamente in diverse forme a seconda della natura della forza conservativa considerata.

    • L’energia potenziale elastica (U_{el}) di una molla che obbedisce alla legge di Hooke è espressa dalla formula:

          \[ U_{el} = \frac{1}{2}k(x-x_0)^2+\text{costante}, \]

      dove k è la costante di rigidità della molla e x è lo spostamento della molla dalla sua posizione di equilibrio x_0.

    • D’altro canto, l’energia potenziale gravitazionale (U_{g}) associata a un corpo di massa m situato a una distanza h da un punto di riferimento (ad esempio, la superficie terrestre), si calcola come:

          \[ U_{g} = mgh+\text{costante}, \]

      dove g rappresenta l’accelerazione di gravità.

  5. Un urto anelastico si verifica quando due corpi collidono e si uniscono, muovendosi insieme come un unico corpo dopo l’urto. A differenza degli urti elastici, in un urto anelastico parte dell’energia cinetica iniziale dei corpi viene trasformata in altre forme di energia, come energia termica o energia potenziale interna, e quindi non viene conservata. Tuttavia, la quantità di moto totale del sistema prima e dopo l’urto rimane costante.
    • La conservazione della quantità di moto per un urto anelastico tra due corpi può essere espressa come segue:

          \[ m_1\vec{v}_{1,i} + m_2\vec{v}_{2,i} = (m_1 + m_2)\vec{v}_f \]

      dove:

      • m_1 e m_2 sono le masse dei corpi prima dell’urto,
      • \vec{v}_{1,i} e \vec{v}_{2,i} sono le velocità dei corpi prima dell’urto,
      • \vec{v}_f è la velocità comune dei corpi dopo l’urto.
    • Un urto anelastico è un tipo di collisione tra due o più corpi in cui parte dell’energia cinetica del sistema non si conserva come energia cinetica dopo l’urto. A differenza degli urti elastici, dove l’energia cinetica totale del sistema rimane invariata prima e dopo la collisione, negli urti anelastici una parte di questa energia viene trasformata in altre forme di energia, come energia interna, calore, o contribuisce a deformazioni permanenti dei corpi coinvolti.
      • Non conservazione dell’energia cinetica: La somma delle energie cinetiche dei corpi prima dell’urto è maggiore rispetto a quella dopo l’urto. La differenza di energia si trasforma in altre forme, come espresso dalla formula:

            \[ \sum_{i} \frac{1}{2} m_i v_{i,\text{prima}}^2 > \sum_{i} \frac{1}{2} m_i v_{i,\text{dopo}}^2 \]

      • Conservazione della quantità di moto: La quantità di moto totale del sistema si conserva durante l’urto. Questo principio è valido per tutti i tipi di collisioni e si esprime come:

            \[ \sum_{i} m_i v_{i,\text{prima}} = \sum_{i} m_i v_{i,\text{dopo}} \]

        Anche in questo caso, la precedente equazione vale se e solo se, non ci sono vincoli esterni.

      • Possibili deformazioni permanenti: I corpi coinvolti nell’urto possono subire deformazioni permanenti a causa dell’energia assorbita durante la collisione.

   


Svolgimento punto 1.

Durante l’urto, si generano due forze impulsive di pari intensità ma di direzioni opposte, agendo sulle masse M ed m in ottemperanza al terzo principio della dinamica. Ad ognuna di queste forze può essere associato un impulso generato nell’urto. L’impulso esercitato su m rallenta questa massa, riducendo la sua velocità da \vec{v} a \vec{v}/2. Invece, l’impulso applicato a M avvia il suo movimento, conferendole una velocità iniziale \vec{V}_{M,i}. Questa velocità \vec{V}_{M,i} si allinea con la direzione di \vec{v}, poiché l’impulso generato agisce lungo l’asse dell’urto, implicando che \vec{v}/2\parallel \vec{V}_{M,i}. Con M attaccata a un filo inestensibile, essa intraprende un moto circolare attorno al polo O, mantenuto dalla tensione del filo. Per garantire che il filo non ceda durante un giro completo, la tensione \vec{T} deve mantenere valori non negativi. Una tensione inferiore a zero significherebbe infatti che il filo è diventato lasco, portando alla caduta della massa M lungo una traiettoria parabolica. Di conseguenza, la condizione necessaria affinché M esegua un intero giro è che la tensione nel punto più elevato del percorso raggiunga esattamente lo zero.

Analizzando il punto più alto del movimento secondo la seconda legge della dinamica, in cui la tensione si annulla e l’unica forza significativa è quella peso, diretta verso il centro della traiettoria circolare, si determina la seguente equazione per la velocità V_{M,f} della massa M in tale punto:

(1)   \begin{equation*} mg = m\frac{V_{M,f}^2}{L} \quad \Rightarrow \quad V_{M,f} = \sqrt{gL}. \end{equation*}

Questo ci porta a concludere che, al punto più alto della sua traiettoria, la massa M deve avere una velocità che soddisfa la relazione V_{M,f} = \sqrt{gL} per compiere un giro completo senza interruzioni.    

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    Dopo l’urto, la massa M è soggetta alla tensione \vec{T} e alla forza peso m\vec{g}. La tensione \vec{T} fa lavoro istantaneamente nullo, in quanto è perpendicolare al percorso istante per istante. La forza peso m\vec{g} è conservativa. Possiamo affermare che per la massa M, dopo l’urto, si conserva l’energia istante per istante. Prendiamo come zero dell’energia potenziale la direzione in cui avviene l’urto. L’energia iniziale è

(2)   \begin{equation*} U_i=\dfrac{1}{2}MV_{M,i}^2 . \end{equation*}

L’energia nel punto più alto, come rappresentato in figura 2, è

(3)   \begin{equation*} U_f=\dfrac{1}{2}MV_{M,f}^2 + 2Mg L . \end{equation*}

Per la conservazione dell’energia meccanica, sfruttando le due precedenti equazioni, abbiamo

(4)   \begin{equation*} \dfrac{1}{2}MV_{M,f}^2 + 2Mg L = \dfrac{1}{2}MV_{M,i}^2 . \end{equation*}

Mettendo a sistema l’equazione (4) con l’equazione (1), otteniamo

(5)   \begin{equation*} V_{M,i} = \sqrt{5gL}. \end{equation*}

Si conclude che la velocità minima che deve avere subito dopo l’urto la massa M affinché faccia un giro completo è:

    \[\boxcolorato{fisica}{ V_{M,i} = \sqrt{5gL}.}\]

  


Svolgimento punto 2.

Consideriamo come sistema fisico quello composto dalle masse m e M. In questo sistema, non agiscono forze esterne di natura impulsiva; di conseguenza, la quantità di moto lungo la direzione dell’urto si conserva, come precedentemente menzionato. \\ La quantità di moto iniziale è data da

(6)   \begin{equation*} p_i = mv. \end{equation*}

Mentre, la quantità di moto finale è

(7)   \begin{equation*} p_f = mv + MV_{i,M}. \end{equation*}

Dalla legge di conservazione della quantità di moto, otteniamo che

(8)   \begin{equation*} mv = MV_{i,M} + m\frac{v}{2} \quad \Leftrightarrow \quad v = \frac{2MV_{i,M}}{m} = \frac{2M\sqrt{5gL}}{m}, \end{equation*}

dove abbiamo usato il risultato pervenuto al precedente punto. Questo risultato ci permette di concludere che il modulo della velocità \vec{v} è il seguente:

    \[\boxcolorato{fisica}{ v=\dfrac{2M\sqrt{5gL}}{m}.}\]

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