Esercizio urti 33

Urti in Meccanica classica

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Esercizio 33  (\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar). Un carrello di massa M può scorrere su un piano orizzontale liscio ed è sagomato in modo che la faccia superiore sia piana ed inclinata di un angolo \alpha rispetto all’orizzontale. Una sferetta di massa m urta perpendicolarmente la faccia superiore del carrello, che inizialmente è in quiete. Il modulo della velocità prima dell’urto è v_0. Si calcoli la velocità \vec{V}_M del carrello nei seguenti casi:

  1. nel caso in cui l’urto sia completamente anelastico;
  2. nel caso in cui l’urto sia perfettamente elastico.

 

 

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Prerequisiti

  1. Durante un urto, in assenza di vincoli, la quantità di moto si conserva integralmente. Tuttavia, nella pratica fisica, si osserva che spesso la conservazione della quantità di moto avviene in maniera parziale, limitatamente a una specifica direzione. Ciò accade perché, in tale direzione, non si manifestano vincoli che potrebbero altrimenti influenzare il sistema.
  2. Un urto elastico è un tipo di collisione tra due o più corpi durante la quale l’energia cinetica totale del sistema si conserva. Ciò significa che la somma delle energie cinetiche dei corpi prima dell’urto è uguale alla somma delle loro energie cinetiche dopo l’urto. Le caratteristiche principali di un urto elastico includono:
  • Conservazione dell’energia cinetica: La condizione di conservazione dell’energia cinetica si può esprimere come

        \[ \sum_{i} \frac{1}{2} m_i v_{i,\text{prima}}^2 = \sum_{i} \frac{1}{2} m_i v_{i,\text{dopo}}^2, \]

    dove m_i è la massa dell’i-esimo corpo, e v_{i,\text{prima}} e v_{i,\text{dopo}} sono le velocità dell’i-esimo corpo prima e dopo l’urto, rispettivamente.

  • Conservazione della quantità di moto: La quantità di moto totale del sistema prima dell’urto è uguale alla quantità di moto totale dopo l’urto, esprimibile come

        \[ \sum_{i} m_i \vec{v}_{i,\text{prima}} = \sum_{i} m_i \vec{v}_{i,\text{dopo}}. \]

    L’equazione sopra citata è applicabile unicamente in assenza di vincoli. Nei casi di urti elastici, la conservazione si limita all’energia cinetica quando vi sono vincoli che introducono forze esterne impulsive durante la collisione. Queste forze impediscono la conservazione della quantità di moto del sistema, in quanto sono esterne.

  • Nessuna deformazione permanente: I corpi coinvolti nell’urto non subiscono deformazioni permanenti e ritornano alla loro forma originale dopo la collisione.

  1. Un urto anelastico è un tipo di collisione tra due o più corpi in cui parte dell’energia cinetica del sistema non si conserva come energia cinetica dopo l’urto. A differenza degli urti elastici, dove l’energia cinetica totale del sistema rimane invariata prima e dopo la collisione, negli urti anelastici una parte di questa energia viene trasformata in altre forme di energia, come energia interna, calore, o contribuisce a deformazioni permanenti dei corpi coinvolti.Le caratteristiche principali di un urto anelastico includono:
  • Non conservazione dell’energia cinetica:  La somma delle energie cinetiche dei corpi prima dell’urto è maggiore rispetto a quella dopo l’urto. La differenza di energia si trasforma in altre forme, come espresso dalla formula:

        \[ \sum_{i} \frac{1}{2} m_i v_{i,\text{prima}}^2 > \sum_{i} \frac{1}{2} m_i v_{i,\text{dopo}}^2 \]

  • Conservazione della quantità di moto: La quantità di moto totale del sistema si conserva durante l’urto. Questo principio è valido per tutti i tipi di collisioni e si esprime come:

        \[ \sum_{i} m_i v_{i,\text{prima}} = \sum_{i} m_i v_{i,\text{dopo}} \]

    Anche in questo caso, la precedente equazione vale se e solo se, non ci sono vincoli.

  • Possibili deformazioni permanenti: I corpi coinvolti nell’urto possono subire deformazioni permanenti a causa dell’energia assorbita durante la collisione.
  1. Un urto completamente anelastico è un caso specifico di urto anelastico in cui i corpi coinvolti nella collisione si uniscono, formando un unico corpo che si muove con una velocità comune dopo l’urto. Se non agiscono vincoli, cioè forze esterne di natura impulsiva nell’urto, si conserva la quantità di moto. Un classico esempio di urto completamente anelastico si verifica quando un proiettile viene sparato in un blocco di legno sospeso e rimane incastrato al suo interno. Dopo l’urto, il proiettile e il blocco si muovono insieme come un unico corpo. La quantità di moto totale è conservata, mentre parte dell’energia cinetica iniziale viene dissipata in forme non recuperabili, come calore o energia interna del sistema combinato.

 


Svolgimento punto 1.

Siamo nel caso di un urto perfettamente (o completamente) anelastico, ossia una collisione in cui due o più corpi, dopo l’urto, rimangono uniti e procedono con un moto comune. I corpi coinvolti nell’urto si fondono in un unico corpo di massa M+m. Scegliendo come sistema fisico il sistema composto da m e M, osserviamo che nel punto di collisione si esercitano due forze impulsive uguali e opposte. Queste forze, essendo interne al sistema, non alterano la quantità di moto totale dello stesso. Il corpo di massa M è vincolato a muoversi esclusivamente lungo l’asse orizzontale, per cui una forza impulsiva esterna agisce nella direzione verticale a causa del vincolo. Concludiamo che la quantità di moto si conserva solamente nella direzione orizzontale, in assenza di forze esterne impulsive orizzontali.

In letteratura, è comune riferirsi a questo fenomeno come conservazione parziale della quantità di moto, intendendo che la quantità di moto si conserva solo lungo una specifica direzione, che nel nostro caso è l’asse orizzontale. Stabilendo un sistema di riferimento fisso Oxy, possiamo analizzare l’urto da questa prospettiva.

Nella figura 1 è rappresentata la velocità della sferetta un istante prima dell’urto.

 

 

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  Nel sistema di riferimento prescelto, dove l’asse x rappresenta la direzione orizzontale, osserviamo la conservazione della quantità di moto lungo questo asse. Dato che il carrello, inizialmente in quiete, non apporta alcun contributo alla quantità di moto del sistema e considerando la decomposizione della velocità iniziale della sferetta nei suoi componenti lungo gli assi, con \vec{v}_0 = v_0\sin \alpha\, \hat{x} - v_0\cos \alpha \,\hat{y} (\hat{x} e \hat{y} indicano rispettivamente il verso dell’asse delle x e il versore dell’asse delle y), possiamo esprimere la quantità di moto iniziale del sistema nella direzione orizzontale come segue:

(1)   \begin{equation*} 	p_{0,x}=mv_0\sin\alpha. \end{equation*}

Nella figura 2, mostriamo il sistema immediatamente dopo l’urto. È importante notare che, a causa dell’urto completamente anelastico, i due corpi coinvolti si uniscono in un unico corpo di massa M^* = M + m, che procede verso l’asse positivo delle x. Questo risultato deriva dal fatto che la forza impulsiva esercitata sul carrello durante l’urto, perpendicolare alla sua superficie superiore, ha una componente verticale diretta verso il basso (asse negativo delle y) che viene annullata dalla forza impulsiva reattiva del suolo, agendo come vincolo. Contemporaneamente, la componente orizzontale della forza impulsiva dirige il sistema unito verso il lato positivo dell’asse delle x. Di conseguenza, la velocità del sistema combinato, \vec{V}_{M+m}, è diretta come in figura 2.  

 

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  La quantità di moto dopo l’urto è:

(2)   \begin{equation*} 	p_{f,x} = (m+M)V_{m+M}. \end{equation*}

Imponendo la conservazione della quantità di moto, per le due precedenti equazioni, otteniamo:

(3)   \begin{equation*} 	p_{0,x}=p_{f,x} \quad \Leftrightarrow \quad V_{M+m} = \dfrac{mv_0\sin\alpha}{M+m}, \end{equation*}

da cui

    \[\boxcolorato{fisica}{V_{M+m} = \dfrac{mv_0\sin\alpha}{M+m}}\]

Questo risultato fornisce la velocità richiesta nel primo punto, poiché risulta che V_{M+m} = V_M.  


Svolgimento punto 2.

In un urto elastico, l’energia meccanica del sistema composto da m e M si conserva integralmente. Questo scenario coincide con quello descritto nel primo punto, ma si distingue per la conservazione dell’energia meccanica totale, caratteristica degli urti elastici. A seguito dell’urto, la pallina di massa m viene respinta all’indietro in direzione perpendicolare alla superficie superiore del carrello, assumendo una velocità \vec{v}_{m,f}, come illustrato in figura 4. Come già visto nel punto 1 del problema, la quantità di moto del sistema prima dell’urto è:

(4)   \begin{equation*} 	p_{0,x}=mv_0\sin\alpha. 	\end{equation*}

L’energia cinetica del sistema prima dell’urto proviene solo dalla sferetta, dato che il carrello è inizialmente in quiete. Di conseguenza, l’energia totale del sistema è:

(5)   \begin{equation*} E_0 = \frac{1}{2} m v_0^2. \end{equation*}

Esaminando la quantità di moto del sistema dopo l’urto, e riferendoci alla figura 4, notiamo che la sferetta rimbalza indietro con velocità \vec{v}_{m,f}, mentre il carrello si sposta verso il lato positivo dell’asse delle x con velocità \vec{V}_{M}.  

 

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  Analizzando le componenti lungo l’asse delle x delle velocità \vec{V}_{M} e \vec{v}_{m,f}, che sono rispettivamente V_{M} e -v_{m,f}\sin(\alpha), e considerando v_{m,f} come il modulo di \vec{v}_{m,f}, calcoliamo la quantità di moto del sistema lungo l’asse delle x dopo l’urto. Si ottiene:

(6)   \begin{equation*} 	p_{f,x} = -mv_{m,f}\sin(\alpha) + MV_M. \end{equation*}

L’energia cinetica totale del sistema dopo l’urto, essendo la somma delle energie cinetiche dei singoli corpi, è

(7)   \begin{equation*} E_f = \frac{1}{2}mv_{m,f}^2 + \frac{1}{2}MV_M^2. \end{equation*}

Per garantire la conservazione della quantità di moto e dell’energia tra il momento prima e quello dopo l’urto, impostiamo il sistema di equazioni seguente:

(8)   \begin{equation*} 	\begin{cases} 		p_{0,x} = p_{f,x},\\ 		E_0 = E_f. 	\end{cases} \end{equation*}

Sfruttando le equazioni (5) e (6), dalla prima equazione del precedente sistema, otteniamo:

(9)   \begin{equation*} 	mv_0\sin\alpha=-mv_{m,f}\sin\alpha+MV_M \quad \Leftrightarrow \quad  v_{m,f} = \dfrac{MV_M-mv_0\sin\alpha}{m\sin\alpha}.\end{equation*}

Sostituendo v_{m,f}, ottenuta nella precedente equazione, nella seconda equazione del sistema (8), si trova:

(10)   \begin{equation*} \begin{aligned} 	& \dfrac{1}{2}mv_0^2=\dfrac{1}{2}m \left(\dfrac{-mv_0\sin\alpha+MV_M}{m\sin\alpha}\right)^2 + \dfrac{1}{2}MV_M^2 \quad \Leftrightarrow \quad\\\\ 	&  \Leftrightarrow \quad mv_0^2= m \left(\dfrac{-mv_0\sin\alpha+MV_M}{m\sin\alpha}\right)^2+MV_M^2  \quad \Leftrightarrow \quad\\\\ 	&\Leftrightarrow \quad mv_0^2=m\left(\dfrac{m^2v_0^2\sin^2 \alpha + M^2V_M^2-2mMv_0V_M\sin \alpha}{m^2\sin^2 \alpha} \right)+MV_M^2 \quad \Leftrightarrow \quad\\\\ 	& \Leftrightarrow\quad 0 = M^2V_M^2-2mMV_Mv_0\sin\alpha+MV_M^2m \sin^2\alpha \quad \Leftrightarrow \quad\\\\ 	&  \Leftrightarrow \quad 2mMv_0\sin\alpha = M^2V_M+MV_Mm\sin^2\alpha \quad \Leftrightarrow \quad\\\\ 	& \Leftrightarrow \quad V_M = \dfrac{2mv_0\sin\alpha}{M+m\sin^2\alpha}, \end{aligned} \end{equation*}

dove abbiamo diviso entrambi i membri della terzultima equazione per V_M, assumendo che V_M \neq 0, poiché un valore nullo non sarebbe fisicamente plausibile. Dunque, concludiamo che la velocità dopo l’urto del carrello è quella che segue:

    \[\boxcolorato{fisica}{V_M = \dfrac{2mv_0\sin\alpha}{M+m\sin^2\alpha}}\]