Esercizio urti 32

Urti in Meccanica classica

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Esercizio 32  (\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar). Consideriamo un anello di massa M e raggio R, che riposa in quiete su un piano orizzontale perfettamente liscio. Un proiettile di massa m, muovendosi orizzontalmente alla velocità iniziale di modulo v_0, colpisce tangenzialmente l’anello e rimane incastrato in esso. Si richiede di determinare:

  • la velocità lineare dell’anello subito dopo l’urto.
  • La velocità angolare dell’anello dopo l’urto.
  • L’energia dissipata durante l’urto.

 

 

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Prerequisiti.

  • Leggi Cardinali per i Corpi Rigidi: analizziamo un sistema costituito da n corpi rigidi o punti materiali. Le dinamiche di tale sistema sono governate da due leggi fondamentali, espresse dalle seguenti equazioni differenziali:

    (1)   \begin{equation*} \begin{cases} \displaystyle\sum_{k=1}^n \vec{F}_k^{\text{ext}} = \frac{d\vec{P}_t}{dt}, \\ \displaystyle\sum_{k=1}^n \vec{M}_k^{\text{ext}} - m \vec{v}_{O'} \wedge \vec{v}_{\text{CM}} = \frac{d\vec{L}_{O'}}{dt}, \end{cases} \end{equation*}

    dove

    • \sum_{k=1}^n \vec{F}_k^{\text{ext}} rappresenta la somma delle forze esterne esercitate sul sistema.
    • \vec{P}_t indica la quantità di moto totale del sistema.
    • \sum_{k=1}^n \vec{M}_k^{\text{ext}} è la somma dei momenti esterni calcolati rispetto a un punto di riferimento arbitrario, indicato come O'.
    • \vec{v}_{O'} denota la velocità di questo punto di riferimento, il polo O', utilizzato per il calcolo del momento angolare \vec{L}_{O'} del sistema.
    • \vec{v}_{\text{CM}} è la velocità del centro di massa del sistema.
  • Teorema di König per il Momento Angolare: per un sistema fisico che si muove entro i confini di un piano, il momento angolare totale \vec{L} può essere decomposto nel seguente modo:

    (2)   \begin{equation*} \vec{L} = \vec{L}_{\text{CM}} + \vec{L}^\prime, \end{equation*}

    dove \vec{L}_{\text{CM}} indica il momento angolare del centro di massa calcolato rispetto a un punto fisso, e \vec{L}^\prime = I_{\text{CM}}\vec{\omega} è il momento angolare associato al movimento del sistema attorno al proprio centro di massa. Qui, I_{\text{CM}} rappresenta il momento d’inerzia del sistema rispetto a un asse che attraversa il centro di massa e si estende perpendicolarmente al piano di movimento. La variabile \vec{\omega} denota la velocità angolare del sistema.

  • Teorema di König per l’Energia Cinetica: per un sistema fisico che si muove in un piano, l’energia cinetica totale E può essere suddivisa nella somma di due componenti distinte:

    (3)   \begin{equation*} E = E^\prime + E_{\text{CM}}, \end{equation*}

    dove E^\prime = \frac{1}{2}I_{\text{CM}}\omega^2 rappresenta l’energia cinetica dovuta alla rotazione del sistema attorno al suo centro di massa, e E_{\text{CM}} = \frac{1}{2}m v_{\text{CM}}^2 è l’energia cinetica associata al movimento traslatorio del centro di massa del sistema stesso. Qui, I_{\text{CM}} denota il momento d’inerzia del sistema rispetto a un asse che attraversa il centro di massa e si estende perpendicolarmente al piano di movimento, mentre \omega, il modulo della velocità angolare \vec{\omega}, quantifica la rapidità di rotazione del sistema attorno al proprio centro di massa.Questo teorema evidenzia come l’energia cinetica totale di un sistema in movimento sia la combinazione armoniosa della sua energia dovuta alla rotazione interna e del suo movimento complessivo nello spazio, fornendo una chiave di lettura profonda per analizzare e comprendere la dinamica dei sistemi fisici complessi.

  • Teorema di Huygens-Steiner:il momento d’inerzia I di un corpo rispetto a un asse parallelo ad un asse passante per il centro di massa è determinato dalla relazione:

    (4)   \begin{equation*} I = I_{C} + mk^2, \end{equation*}

    dove I_{C} rappresenta il momento d’inerzia del corpo rispetto a un asse che passa per il centro di massa e è parallelo all’asse in questione. La quantità m indica la massa totale del corpo, e k è la distanza tra l’asse passante per il centro di massa e l’asse rispetto al quale si calcola il momento d’inerzia. \item Il momento angolare \vec{L} di un punto materiale rispetto a un punto di riferimento è dato dal prodotto vettoriale della posizione del punto materiale \vec{r} rispetto al punto di riferimento e il suo momento lineare \vec{p} = m\vec{v}, dove m è la massa del punto materiale e \vec{v} è la sua velocità. Matematicamente, il momento angolare è espresso come:

    (5)   \begin{equation*} \vec{L} = \vec{r} \wedge \vec{p} = \vec{r} \wedge (m\vec{v}). \end{equation*}

    Se il punto materiale si muove in un piano, e scegliamo un punto di riferimento perpendicolare a questo piano, il modulo del momento angolare è dato da:

    (6)   \begin{equation*} L = r \cdot m \cdot v \cdot \sin(\theta), \end{equation*}

    dove \theta è l’angolo tra i vettori \vec{r} e \vec{v}. Se la traiettoria del punto materiale è una circonferenza e \vec{r} è il raggio della circonferenza, allora \theta = 90^\circ e il seno dell’angolo è 1, quindi la formula si semplifica in:

    (7)   \begin{equation*} L = r \cdot m \cdot v. \end{equation*}

  • Il momento d’inerzia I di un punto materiale rispetto a un asse di rotazione si determina come il prodotto della sua massa m per il quadrato della distanza r dall’asse:

    (8)   \begin{equation*} I = mr^2. \end{equation*}

  • Il momento d’inerzia I di un anello sottile di massa m e raggio R, rispetto a un asse perpendicolare al piano dell’anello e passante per il centro, è dato da

    (9)   \begin{equation*} I = mR^2, \end{equation*}

    mostrando che dipende solo dalla massa m e dal quadrato del raggio R, indipendentemente dalla distribuzione della massa lungo l’anello. \end{itemize}

 


Svolgimento.

Consideriamo per l’analisi il sistema fisico costituito dall’anello di massa M e il punto materiale di massa m. In considerazione del fatto che, durante l’urto, non emergono forze esterne a causa dell’assenza di vincoli, l’equazione (1) si riduce a:

(10)   \begin{equation*} \begin{cases} \dfrac{d\vec{P}_t}{dt}=\vec{0}\\[10pt] \dfrac{d\vec{L}_O}{dt}= -(m+M) \vec{v}_O \wedge \vec{v}_{\text{CM}} . \end{cases} \end{equation*}

Da quanto emerge dalla prima equazione citata, possiamo dedurre la conservazione della quantità di moto totale del sistema durante l’urto. Optando per il centro di massa come riferimento per il calcolo del momento angolare, otteniamo:

(11)   \begin{equation*} \vec{v}_O \wedge \vec{v}_{\text{CM}} =\vec{v}_{\text{CM}} \wedge \vec{v}_{\text{CM}}=\vec{0}, \end{equation*}

da cui la seconda equazione del sistema (10) diventa

(12)   \begin{equation*} \dfrac{d\vec{L}_O}{dt}= \vec{0}. \end{equation*}

A partire dall’equazione precedente, deduciamo che, fissando il centro di massa come punto di riferimento, si conserva il momento angolare del sistema durante l’urto.

Conseguentemente, dopo l’urto, il sistema composto da anello e proiettile inizia a ruotare con una velocità angolare \vec{\omega} intorno al proprio centro di massa e procede in moto rettilineo uniforme con velocità \vec{v}_{\text{CM}}.

Per l’analisi dell’urto, utilizziamo un sistema di riferimento fisso Oxy. Le Figure 2 e 3 illustrano rispettivamente le condizioni del sistema fisico prima e dopo l’urto e il sistema di riferimento fisso scelto.

   

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    La quantità di moto iniziale del sistema deriva esclusivamente dal proiettile, poiché il disco è inizialmente fermo. Pertanto, la quantità di moto iniziale si esprime come

(13)   \begin{equation*} p_i = m v_0, \end{equation*}

dove, dato che la velocità \vec{v}_0 è orientata lungo l’asse delle x, anche p_i segue la stessa direzione. Dopo l’urto, l’anello e il punto materiale procedono uniti, essendo l’urto completamente anelastico. Di conseguenza, la quantità di moto finale del sistema è descritta da

(14)   \begin{equation*} p_f = (m + M) v_{\text{CM}}, \end{equation*}

dove v_0 e v_{\text{CM}} rappresentano rispettivamente la componente lungo l’asse delle x di \vec{v}_0 e la componente di \vec{v}_{\text{CM}} nella direzione del movimento del sistema fisico post-urto. La conservazione della quantità di moto implica che v_{\text{CM}} sia diretta lungo l’asse delle x, specificatamente lungo il semiasse positivo. Applicando il principio di conservazione della quantità di moto e utilizzando le equazioni fornite, deduciamo che

(15)   \begin{equation*} p_i = p_f \quad \Leftrightarrow\quad  mv_0 =(m+M) v_{\text{CM}} \quad \Leftrightarrow \quad v_{\text{CM}} = \dfrac{m}{m+M} \; v_0 . \end{equation*}

Si conclude che la velocità lineare dell’anello subito dopo l’urto è:

    \[\boxcolorato{fisica}{	v_{\text{CM}} = \dfrac{m}{m+M} \; v_0 .}\]

  Le coordinate del centro di massa del sistema composto da anello e proiettile sono date da:

(16)   \begin{equation*} \begin{cases} x_{\text{CM}} = 0\\[10pt] y_{\text{CM}} = d = \dfrac{M \cdot 0 + mR}{m+M} = \dfrac{mR}{m+M}, \end{cases} \end{equation*}

dove si tiene conto che la massa dell’anello è distribuita uniformemente, per cui il suo centro di massa si allinea con l’origine del sistema di riferimento.

Prima dell’urto, il contributo al momento angolare proviene esclusivamente da m_1, considerando il disco inizialmente fermo. Applicando l’equazione (5) in relazione al centro di massa, si ottiene:

(17)   \begin{equation*} L_i = mv_0(R-d). \end{equation*}

Come già anticipato, il sistema post-urto si muove in traslazione a velocità costante v_{\text{CM}} e ruota con velocità angolare \vec{\omega} attorno a un asse perpendicolare al piano di movimento e passante per il centro di massa. Di conseguenza, il momento angolare dopo l’urto, calcolato applicando l’equazione (2) al centro di massa, risulta essere:

(18)   \begin{equation*} L_f = I_{\text{CM}} \omega. \end{equation*}

La componente \vec{L}_{\text{CM}} risulta nulla in quanto \vec{r}_{\text{CM}} = \vec{0}, avendo selezionato il centro di massa come polo per il calcolo del momento angolare. I_{CM} indica il momento d’inerzia del sistema relativo a un asse perpendicolare al piano del sistema e passante per il centro di massa, calcolabile tramite il teorema di Huygens-Steiner. Tenendo in considerazione le posizioni relative del proiettile e dell’anello rispetto al centro di massa, abbiamo:

(19)   \begin{equation*} I_{\text{CM}} = MR^2 + Md^2 + m(R-d)^2, \end{equation*}

applicando le equazioni (4), (8) e (9). La conservazione del momento angolare ci porta a:

(20)   \begin{equation*} \begin{aligned} &L_i = L_f\quad \Leftrightarrow\\[10pt] &\Leftrightarrow\quad mv_0(R-d) = I_{\text{CM}} \omega \quad \Leftrightarrow\\[10pt] &\Leftrightarrow\quad \omega = \dfrac{mv_0(R-d)}{I_{\text{CM}}} = \dfrac{mv_0(R-d)}{MR^2 + Md^2 + m(R-d)^2}, \end{aligned} \end{equation*}

dove abbiamo applicato le equazioni (17), (18) e (19). Si conclude che la velocità angolare dopo l’urto è quella che segue

    \[\boxcolorato{fisica}{	\omega =\dfrac{mv_0(R-d)}{ MR^2+Md^2 + m(R-d)^2 }.}\]

  Per calcolare l’energia dissipata durante l’urto, è conveniente utilizzare il Teorema di König per l’energia cinetica, come descritto dall’equazione (3). La differenza di energia cinetica del sistema prima e dopo l’urto, espressa da E_f - E_i, determina l’energia dissipata, dove E_i rappresenta l’energia cinetica iniziale e E_f quella finale. In forma dettagliata, abbiamo:

(21)   \begin{equation*} E_i = \frac{1}{2}mv_0^2 \end{equation*}

e

(22)   \begin{equation*} E_f = \frac{1}{2}(m+M)v_{\text{CM}}^2 + \frac{1}{2}I_{\text{CM}}\omega^2, \end{equation*}

dove v_{\text{CM}} è la velocità del centro di massa e \omega è la velocità angolare post-urto. Pertanto, sfruttando le due precedenti equazioni, l’energia dissipata \Delta E può essere riformulata come:

(23)   \begin{equation*} \Delta E = E_f - E_i = \frac{1}{2}(m+M)v_{\text{CM}}^2 + \frac{1}{2}I_{\text{CM}}\omega^2 - \frac{1}{2}mv_0^2. \end{equation*}

Questa equazione quantifica l’energia persa a causa dell’urto. Si conclude che l’energia persa nell’urto è quella che segue

    \[\boxcolorato{fisica}{	\Delta E = E_f-E_i =\dfrac{1}{2}(m+M)v_{\text{CM}}^2 + \dfrac{1}{2}I_{\text{CM}} \omega^2 - \dfrac{1}{2}mv_0^2.}\]

  Quindi concludiamo che i valori cercati sono

    \[\boxcolorato{fisica}{	\begin{aligned}  				& v_{\text{CM}} = \dfrac{m}{m+M} \; v_0, \qquad \qquad \omega = \dfrac{mv_0(R-d)}{ MR^2+Md^2 + m(R-d)^2 },\\\\ 				& \mbox{e} \qquad \Delta E= \dfrac{1}{2}(m+M)v_{\text{CM}}^2 + \dfrac{1}{2}I_{\text{CM}} \omega^2 - \dfrac{1}{2}mv_0^2. 				\end{aligned} }\]