Esercizio urti 32

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L’Esercizio Urti 32 è il trentaduesimo della raccolta dedicata agli esercizi misti sugli urti. Questo esercizio segue l’Esercizio Urti 31. Successivamente, gli studenti potranno affrontare l’Esercizio Urti 33. Pensato per gli studenti di Fisica 1, è particolarmente utile per coloro che studiano ingegneria, fisica o matematica.

L’argomento successivo agli urti riguarda gli esercizi sulla gravitazione, mentre l’argomento precedente tratta gli esercizi svolti sulla dinamica del corpo rigido.

Testo esercizio urti 32

Esercizio 32 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Consideriamo un anello di massa $M$ e raggio $R$ , che riposa in quiete su un piano orizzontale perfettamente liscio. Un proiettile di massa $m$ , muovendosi orizzontalmente alla velocità iniziale di modulo $v_0$ , colpisce tangenzialmente l’anello e rimane incastrato in esso. Si richiede di determinare:

la velocità lineare dell’anello subito dopo l’urto.
La velocità angolare dell’anello dopo l’urto.
L’energia dissipata durante l’urto.

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Figura 1: rappresentazione grafica del problema.

Prerequisiti.

Leggi Cardinali per i Corpi Rigidi: analizziamo un sistema costituito da corpi rigidi o punti materiali. Le dinamiche di tale sistema sono governate da due leggi fondamentali, espresse dalle seguenti equazioni differenziali:

(1) $\begin{equation*} \begin{cases} \displaystyle\sum_{k=1}^n \vec{F}_k^{\text{ext}} = \frac{d\vec{P}_t}{dt}, \\ \displaystyle\sum_{k=1}^n \vec{M}_k^{\text{ext}} - m \vec{v}_{O'} \wedge \vec{v}_{\text{CM}} = \frac{d\vec{L}_{O'}}{dt}, \end{cases} \end{equation*}$

dove
- $\sum_{k=1}^n \vec{F}_k^{\text{ext}}$ rappresenta la somma delle forze esterne esercitate sul sistema.
- $\vec{P}_t$ indica la quantità di moto totale del sistema.
- $\sum_{k=1}^n \vec{M}_k^{\text{ext}}$ è la somma dei momenti esterni calcolati rispetto a un punto di riferimento arbitrario, indicato come $O'$ .
- $\vec{v}_{O'}$ denota la velocità di questo punto di riferimento, il polo $O'$ , utilizzato per il calcolo del momento angolare $\vec{L}_{O'}$ del sistema.
- $\vec{v}_{\text{CM}}$ è la velocità del centro di massa del sistema.
Teorema di König per il Momento Angolare: per un sistema fisico che si muove entro i confini di un piano, il momento angolare totale $\vec{L}$ può essere decomposto nel seguente modo:

(2) $\begin{equation*} \vec{L} = \vec{L}_{\text{CM}} + \vec{L}^\prime, \end{equation*}$

dove $\vec{L}_{\text{CM}}$ indica il momento angolare del centro di massa calcolato rispetto a un punto fisso, e $\vec{L}^\prime = I_{\text{CM}}\vec{\omega}$ è il momento angolare associato al movimento del sistema attorno al proprio centro di massa. Qui, $I_{\text{CM}}$ rappresenta il momento d’inerzia del sistema rispetto a un asse che attraversa il centro di massa e si estende perpendicolarmente al piano di movimento. La variabile $\vec{\omega}$ denota la velocità angolare del sistema.
Teorema di König per l’Energia Cinetica: per un sistema fisico che si muove in un piano, l’energia cinetica totale $E$ può essere suddivisa nella somma di due componenti distinte:

(3) $\begin{equation*} E = E^\prime + E_{\text{CM}}, \end{equation*}$

dove $E^\prime = \frac{1}{2}I_{\text{CM}}\omega^2$ rappresenta l’energia cinetica dovuta alla rotazione del sistema attorno al suo centro di massa, e $E_{\text{CM}} = \frac{1}{2}m v_{\text{CM}}^2$ è l’energia cinetica associata al movimento traslatorio del centro di massa del sistema stesso. Qui, $I_{\text{CM}}$ denota il momento d’inerzia del sistema rispetto a un asse che attraversa il centro di massa e si estende perpendicolarmente al piano di movimento, mentre $\omega$ , il modulo della velocità angolare $\vec{\omega}$ , quantifica la rapidità di rotazione del sistema attorno al proprio centro di massa.Questo teorema evidenzia come l’energia cinetica totale di un sistema in movimento sia la combinazione armoniosa della sua energia dovuta alla rotazione interna e del suo movimento complessivo nello spazio, fornendo una chiave di lettura profonda per analizzare e comprendere la dinamica dei sistemi fisici complessi.
Teorema di Huygens-Steiner:il momento d’inerzia $I$ di un corpo rispetto a un asse parallelo ad un asse passante per il centro di massa è determinato dalla relazione:

(4) $\begin{equation*} I = I_{C} + mk^2, \end{equation*}$

dove $I_{C}$ rappresenta il momento d’inerzia del corpo rispetto a un asse che passa per il centro di massa e è parallelo all’asse in questione. La quantità $m$ indica la massa totale del corpo, e $k$ è la distanza tra l’asse passante per il centro di massa e l’asse rispetto al quale si calcola il momento d’inerzia.
Il momento angolare $\vec{L}$ di un punto materiale rispetto a un punto di riferimento è dato dal prodotto vettoriale della posizione del punto materiale $\vec{r}$ rispetto al punto di riferimento e il suo momento lineare $\vec{p} = m\vec{v}$ , dove $m$ è la massa del punto materiale e $\vec{v}$ è la sua velocità. Matematicamente, il momento angolare è espresso come:
(5) $\begin{equation*} \vec{L} = \vec{r} \wedge \vec{p} = \vec{r} \wedge (m\vec{v}). \end{equation*}$

Se il punto materiale si muove in un piano, e scegliamo un punto di riferimento perpendicolare a questo piano, il modulo del momento angolare è dato da:

(6) $\begin{equation*} L = r \cdot m \cdot v \cdot \sin(\theta), \end{equation*}$

dove $\theta$ è l’angolo tra i vettori $\vec{r}$ e $\vec{v}$ . Se la traiettoria del punto materiale è una circonferenza e $\vec{r}$ è il raggio della circonferenza, allora $\theta = 90^\circ$ e il seno dell’angolo è 1, quindi la formula si semplifica in:

(7) $\begin{equation*} L = r \cdot m \cdot v. \end{equation*}$
Il momento d’inerzia $I$ di un punto materiale rispetto a un asse di rotazione si determina come il prodotto della sua massa $m$ per il quadrato della distanza $r$ dall’asse:

(8) $\begin{equation*} I = mr^2. \end{equation*}$
Il momento d’inerzia $I$ di un anello sottile di massa $m$ e raggio $R$ , rispetto a un asse perpendicolare al piano dell’anello e passante per il centro, è dato da

(9) $\begin{equation*} I = mR^2, \end{equation*}$

mostrando che dipende solo dalla massa $m$ e dal quadrato del raggio $R$ , indipendentemente dalla distribuzione della massa lungo l’anello.