Esercizio urti 31

Urti in Meccanica classica

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Esercizio 31  (\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar). Consideriamo un anello di massa m_3 = 2.5 \, \text{kg} e raggio R = 30 \, \text{cm}, inizialmente in quiete su un piano orizzontale privo di attrito.
Due corpi puntiformi, con masse rispettivamente di m_1 = 2 \, \text{kg} e m_2 = 0.5 \, \text{kg}, si spostano entrambi rispettivamente alla velocità \vec{v}_1 e \vec{v}_2, tale che \vert \vec{v}_1\vert = \vert \vec{v}_2\vert= v = 4 \, \text{m}\cdot \text{s}^{-1}, seguendo la traiettoria illustrata nella figura 1. In un dato momento, i due corpi entrano in contatto nello stesso istante con l’anello e vi aderiscono permanentemente.
Si richiede di determinare:

  1. la velocità del centro di massa (CM) del sistema complessivo successivamente all’urto;
  2. la velocità angolare dell’intero sistema.

 

 

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Prerequisiti.

  • Analizziamo un sistema costituito da n punti materiali. Se le forze esterne applicate si equilibrano a vicenda, si conserva la quantità di moto totale del sistema.
  • Consideriamo la seconda legge della dinamica per i corpi rigidi:

    (1)   \begin{equation*} \vec{M}^{\text{ext}} = \frac{d\vec{L}}{dt} + m\vec{v}_{O'} \wedge \vec{v}_{\text{CM}}, \end{equation*}

    dove \vec{M}^{\text{ext}} indica la somma dei momenti esterni agente sul corpo rigido rispetto a un punto arbitrario O', \frac{d\vec{L}}{dt} rappresenta la derivata temporale del momento angolare totale del corpo rigido rispetto a O', e m\vec{v}_{O'} \wedge\vec{v}_{\text{CM}} esprime il prodotto vettoriale tra la velocità del punto O' e quella del centro di massa del corpo rigido, in un sistema di riferimento inerziale. Selezionando un punto O' per cui i momenti esterni sono nulli e \vec{v}_{O'} \wedge\vec{v}_{\text{CM}} = \vec{0}, si può dedurre che il momento angolare rispetto a O' rimane conservato.

  • Esaminiamo il Teorema di König per il momento angolare, che afferma che, in un sistema di riferimento inerziale, il momento angolare di un sistema può essere scomposto come

    (2)   \begin{equation*} \vec{L} = \vec{L}_{\text{CM}} + \vec{L}^\prime, \end{equation*}

    dove \vec{L} è il momento angolare totale del sistema rispetto a un sistema di riferimento fisso, \vec{L}_{\text{CM}} è il momento angolare del centro di massa del sistema, e \vec{L}^\prime è il momento angolare del sistema relativo al centro di massa.

  • Introduciamo il teorema di Huygens-Steiner, o teorema degli assi paralleli, che afferma che il momento d’inerzia I di un corpo di massa m rispetto a un asse a distanza k dal centro di massa si calcola con

    (3)   \begin{equation*} I = I_C + mk^2, \end{equation*}

    dove I_C è il momento d’inerzia del corpo rispetto a un asse parallelo al primo e passante per il centro di massa.

  • Il momento d’inerzia I di un punto materiale rispetto a un asse di rotazione si determina come il prodotto della sua massa m per il quadrato della distanza r dall’asse:

    (4)   \begin{equation*} I = mr^2. \end{equation*}

  • Il momento d’inerzia I di un anello sottile di massa m e raggio R, rispetto a un asse perpendicolare al piano dell’anello e passante per il centro, è dato da

    (5)   \begin{equation*} I = mR^2, \end{equation*}

    mostrando che dipende solo dalla massa m e dal quadrato del raggio R, indipendentemente dalla distribuzione della massa lungo l’anello.

   


Svolgimento punto 1.

La figura 1 mostra due corpi puntiformi, m_1 e m_2, in movimento a una velocità costante v su traiettorie parallele ma in direzioni opposte, con l’anello di massa m_3 inizialmente in stato di quiete. Viene utilizzato un sistema di riferimento fisso Oxyz per osservare l’evento. L’asse delle z è orientata secondo la regola della mano destra, ovvero il semiasse positivo delle z è diretto verso di noi che osserviamo il piano orizzontale. Nella figura 2, si osserva il momento immediatamente precedente all’impatto tra i corpi puntiformi m_1 e m_2 e l’anello al tempo t = t^\star, evidenziando l’attimo prima della collisione.    

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    Consideriamo i corpi di massa m_1, m_2, e m_3 come il sistema fisico oggetto della nostra analisi.

Nel momento dell’urto, non agiscono sul sistema forze esterne di natura impulsiva, dunque la quantità di moto si conserva. La quantità di moto totale prima dell’urto si esprime come:

(6)   \begin{equation*} p_0 = m_1v_1 + m_2v_2 = (m_1 - m_2)v, \end{equation*}

con v_1 = v e v_2 = -v, che rappresentano rispettivamente le componenti delle velocità di m_1 e m_2 lungo l’asse delle x.

Dopo l’urto, i corpi m_1 e m_2 restano uniti all’anello, formando così un unico corpo di massa M = m_1 + m_2 + m_3, in un tipico scenario di urto completamente anelastico. La quantità di moto totale del sistema dopo l’urto è data da:

(7)   \begin{equation*} p_f = M v_{\text{CM}}, \end{equation*}

dove v_{\text{CM}} indica la velocità del centro di massa del sistema post-urto. Applicando la legge di conservazione della quantità di moto e combinando le equazioni sopra, otteniamo:

(8)   \begin{equation*} \begin{aligned} &p_0 = p_f \quad \Leftrightarrow\\[10pt] &\Leftrightarrow \quad (m_1 - m_2)v = M v_{\text{CM}} \quad \Leftrightarrow\\[10pt] &\Leftrightarrow \quad v_{\text{CM}} = \dfrac{v(m_1 - m_2)}{m_1 + m_2 + m_3}. \end{aligned} \end{equation*}

Inserendo i valori noti nell’ultima equazione, si può concludere che la velocità del centro di massa del sistema, dopo l’urto, è

    \[\boxcolorato{fisica}{v_{\text{CM}}=\dfrac{v\left(m_1-m_2 \right)}{m_1+m_2+m_3}=\text{1,2 m}\cdot {s}^{-1}.}\]

   


Svolgimento punto 2.

Il sistema di riferimento inerziale Oxyz ha origine in O, situato al centro dell’anello. Il punto materiale m_1 colpisce il disco in (0,R), mentre m_2 in (0,-R). Poiché non agiscono forze esterne lungo gli assi x e y, risulta che \vec{M}^{\text{ext}} = \vec{0}, e posizionando il polo generico O' in O (punto fisso), otteniamo

(9)   \begin{equation*} \vec{v}_0 \wedge \vec{v}_{\text{CM}} = \vec{0}. \end{equation*}

Applicando l’equazione (1) al nostro sistema fisico nel momento dell’impatto e tenendo conto delle osservazioni precedenti, deriviamo che

(10)   \begin{equation*} \frac{d\vec{L}}{dt} = \vec{0} \quad \Rightarrow \quad \vec{L} = \text{costante}, \end{equation*}

indicando la conservazione del momento angolare rispetto al polo O. Data l’assenza di forze esterne, il sistema è isolato e si può scegliere qualsiasi polo fisso, confermando la conservazione del momento angolare relativo a tale polo.

Il momento angolare totale del sistema prima dell’urto è calcolato come

(11)   \begin{equation*} L_0 = -m_1v_1R - m_2v_2R = -vR(m_1 + m_2). \end{equation*}

Questa equazione considera solo i contributi al momento angolare da m_1 e m_2 poiché m_3 è fermo, e attribuisce un segno negativo a entrambi i contributi, poiché il loro momento angolare rispetto al polo O è orientato nella direzione negativa dell’asse z. Determiniamo ora la posizione del centro di massa del sistema:

(12)   \begin{equation*} r_{\text{CM},y} = \frac{m_1R - m_2R}{m_1 + m_2 + m_3} = 0.09 \, \text{m}. \end{equation*}

La posizione del centro di massa, come definito nell’equazione precedente, si trova lungo il semiasse positivo delle y, come illustrato nella figura 3.    

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    Il momento d’inerzia del sistema fisico rispetto al suo centro di massa si esprime come

(13)   \begin{equation*} I_{\text{CM}} = m_1 (R-r_{\text{CM}})^2 + m_2 (R+r_{\text{CM}})^2 + m_3 (r_{\text{CM}}^2 + R^2). \end{equation*}

Nel calcolare il momento d’inerzia per m_1 e m_2, abbiamo applicato l’equazione (4). Per l’anello m_3, invece, abbiamo utilizzato l’equazione (5) in combinazione con il teorema degli assi paralleli (3).

Per determinare il momento angolare del sistema immediatamente dopo l’urto rispetto al polo O, applichiamo l’equazione (2) e la precedente equazione, ottenendo

(14)   \begin{equation*} \vec{L}_f = \vec{L}_{\text{CM}} + \vec{L}^\prime, \end{equation*}

dove \vec{L}^\prime = I_{\text{CM}}\vec{\omega} e \vec{L}_{CM} = M\vec{r}_{\text{CM}} \wedge \vec{v}_{\text{CM}}. Procedendo con i calcoli, otteniamo

(15)   \begin{equation*} L_f = -Mr_{\text{CM}}v_{\text{CM}} + \left(m_1 (R-r_{\text{CM}})^2 + m_2 (R+r_{\text{CM}})^2 + m_3 (r_{\text{CM}}^2 + R^2)\right)\omega, \end{equation*}

dove abbiamo utilizzato l’equazione (13), calcolato il prodotto vettoriale \vec{r}_{\text{CM}} \wedge \vec{v}_{\text{CM}} = -r_{\text{CM}}v_{\text{CM}}\hat{z} (con \hat{z} indicante la direzione dell’asse z), e denotato con \omega la componente di \vec{\omega} lungo l’asse z.

Dato che l’equazione (10) assicura la conservazione del momento angolare, combinando la suddetta equazione e l’equazione (11), otteniamo che

(16)   \begin{equation*} L_0 = L_f, \end{equation*}

e quindi

(17)   \begin{equation*} -vR(m_1+m_2) = -Mr_{\text{CM}}v_{\text{CM}} + \left(m_1 (R-r_{\text{CM}})^2 + m_2 (R+r_{\text{CM}})^2 + m_3 (r_{\text{CM}}^2 + R^2)\right)\omega, \end{equation*}

da cui segue

(18)   \begin{equation*} \omega = \frac{-vR(m_1+m_2) + Mr_{\text{CM}}v_{\text{CM}}}{m_1 (R-r_{\text{CM}})^2 + m_2 (R+r_{\text{CM}})^2 + m_3 (r_{\text{CM}}^2 + R^2)}. \end{equation*}

Inserendo i valori numerici nell’ultima equazione otteniamo

    \[\boxcolorato{fisica}{	\omega = \dfrac{-vR(m_1+m_2)+r_{\text{CM}}v_{\text{CM}}\left( m_1+m_2+m_3\right)}{m_1(R-r_{\text{CM}})^2+m_2(R+r_{\text{CM}})^2+m_3(r_{\text{CM}}^2 + R^2)}\sim -\text{6 rad}\cdot \text{s}^{-1}.}\]

   


Approfondimento.

Per un’alternativa nell’approccio al secondo punto, si potrebbe considerare l’applicazione dell’equazione (1) scegliendo come polo O^\prime il centro di massa. Di conseguenza, otteniamo

(19)   \begin{equation*} \frac{d\vec{L}}{dt} = 0, \end{equation*}

indicando che il momento angolare L resta invariato rispetto al centro di massa, sia prima che dopo l’urto. Ricordiamo che, come già osservato in precedenza, il momento angolare si conserva per qualsiasi scelta del polo. Nonostante ciò, la preferenza cade generalmente sul centro di massa o sull’origine del sistema di riferimento, per la maggiore semplicità nei calcoli. Pertanto, il valore del momento angolare del sistema rispetto al centro di massa, prima dell’urto, è dato da:

(20)   \begin{equation*} L_0 = -m_1(R-r_{\text{CM}})v - m_2(R+r_{\text{CM}})v. \end{equation*}

Subito dopo l’urto, il sistema procede in moto rettilineo uniforme alla velocità \vec{v}_{\text{CM}} e inizia a ruotare attorno a un asse che passa per il centro di massa M, perpendicolare al piano del sistema, dato che non sono presenti forze esterne. Applicando l’equazione (2), determiniamo il momento angolare immediatamente dopo l’urto come:

(21)   \begin{equation*} L_f = I_{\text{CM}}\omega, \end{equation*}

dove il momento d’inerzia I_{\text{CM}} è dato da

(22)   \begin{equation*} I_{\text{CM}} = m_1(R-r_{\text{CM}})^2 + m_2(R+r_{\text{CM}})^2 + m_3(r_{\text{CM}}^2 + R^2). \end{equation*}

Il termine \vec{L}_{\text{CM}} è assente in (2) poiché \vec{r}_{\text{CM}} \wedge \vec{v}_{\text{CM}} = \vec{0}, riflettendo la scelta del centro di massa come polo, il che rende \vec{r}_{\text{CM}} = \vec{0}. Si noti che in questo contesto, \vec{r}_{\text{CM}} non rappresenta il valore specifico identificato in (12), ma piuttosto la posizione relativa del centro di massa del sistema rispetto a un polo arbitrario usato per calcolare il momento angolare totale, risultando quindi nullo in questo caso specifico.

Dalla legge di conservazione del momento angolare, utilizzando le equazioni (20) e (21), otteniamo:

(23)   \begin{equation*} L_0=	L_f, \end{equation*}

ovvero

(24)   \begin{equation*} -(m_1(R-r_{CM}) -m_2(R+r_{CM}))v=I_{\text{CM}}\omega, \end{equation*}

infine

    \[\boxcolorato{fisica}{\omega = \dfrac{-m_1(R-r_{\text{CM}})v - m_2(R+r_{\text{CM}})v}{m_1(R-r_{CM})^2 + m_2(R+r_{CM})^2+m_3(r_{CM}^2 + R^2)}-\text{6 rad}\cdot \text{s}^{-1}.}\]

  Si nota una discrepanza tra il risultato appena ottenuto e quello derivato precedentemente. Tuttavia, dimostreremo che i due risultati sono in realtà concordanti attraverso una serie di passaggi algebrici semplici:

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