Esercizio urti 31

• Analizziamo un sistema costituito da punti materiali. Se le forze esterne applicate si equilibrano a vicenda, si conserva la quantità di moto totale del sistema.
• Consideriamo la seconda legge della dinamica per i corpi rigidi:

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  dove indica la somma dei momenti esterni agente sul corpo rigido rispetto a un punto arbitrario , rappresenta la derivata temporale del momento angolare totale del corpo rigido rispetto a , e esprime il prodotto vettoriale tra la velocità del punto e quella del centro di massa del corpo rigido, in un sistema di riferimento inerziale. Selezionando un punto per cui i momenti esterni sono nulli e , si può dedurre che il momento angolare rispetto a rimane conservato.

• Esaminiamo il Teorema di König per il momento angolare, che afferma che, in un sistema di riferimento inerziale, il momento angolare di un sistema può essere scomposto come

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  dove è il momento angolare totale del sistema rispetto a un sistema di riferimento fisso, è il momento angolare del centro di massa del sistema, e è il momento angolare del sistema relativo al centro di massa.

• Introduciamo il teorema di Huygens-Steiner, o teorema degli assi paralleli, che afferma che il momento d’inerzia di un corpo di massa rispetto a un asse a distanza dal centro di massa si calcola con

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  dove è il momento d’inerzia del corpo rispetto a un asse parallelo al primo e passante per il centro di massa.

• Il momento d’inerzia di un punto materiale rispetto a un asse di rotazione si determina come il prodotto della sua massa per il quadrato della distanza dall’asse:

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• Il momento d’inerzia di un anello sottile di massa e raggio , rispetto a un asse perpendicolare al piano dell’anello e passante per il centro, è dato da

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  mostrando che dipende solo dalla massa e dal quadrato del raggio , indipendentemente dalla distribuzione della massa lungo l’anello.

   

La figura 1 mostra due corpi puntiformi, e , in movimento a una velocità costante su traiettorie parallele ma in direzioni opposte, con l’anello di massa inizialmente in stato di quiete. Viene utilizzato un sistema di riferimento fisso per osservare l’evento. L’asse delle è orientata secondo la regola della mano destra, ovvero il semiasse positivo delle è diretto verso di noi che osserviamo il piano orizzontale. Nella figura 2, si osserva il momento immediatamente precedente all’impatto tra i corpi puntiformi e e l’anello al tempo , evidenziando l’attimo prima della collisione.    

   

Figura 2: rappresentazione dell’impatto tra punti materiali ed anello.

  Consideriamo i corpi di massa , , e come il sistema fisico oggetto della nostra analisi.

Nel momento dell’urto, non agiscono sul sistema forze esterne di natura impulsiva, dunque la quantità di moto si conserva. La quantità di moto totale prima dell’urto si esprime come:

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con e , che rappresentano rispettivamente le componenti delle velocità di e lungo l’asse delle .

Dopo l’urto, i corpi e restano uniti all’anello, formando così un unico corpo di massa , in un tipico scenario di urto completamente anelastico. La quantità di moto totale del sistema dopo l’urto è data da:

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dove indica la velocità del centro di massa del sistema post-urto. Applicando la legge di conservazione della quantità di moto e combinando le equazioni sopra, otteniamo:

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Inserendo i valori noti nell’ultima equazione, si può concludere che la velocità del centro di massa del sistema, dopo l’urto, è