Esercizio urti 30

Urti in Meccanica classica

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Esercizio 30  (\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar). Consideriamo un disco di massa m, con distribuzione omogenea di massa e raggio R, che scivola senza attrito su un piano orizzontale con una velocità orizzontale iniziale \vec{v}_0. Immaginiamo che, ad un certo istante, un piccolo dente situato sul bordo del disco impatti contro un punto fisso P, come mostrato in figura 1. Assumendo che l’impatto tra il dente e il punto fisso P sia perfettamente elastico, vogliamo determinare la velocità finale \vec{v}_f del centro di massa del disco e la velocità angolare \vec{\omega} del disco subito dopo l’urto, relativamente a un sistema di riferimento inerziale.

 

 

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Prerequisiti.

Analizziamo la seconda legge fondamentale della dinamica per corpi rigidi, la quale si esprime come segue:

(1)   \begin{equation*} \vec{M}_{\text{ext}} = \frac{d\vec{L}}{dt} - m(\vec{v}_0 \wedge \vec{v}_{\text{CM}}). \end{equation*}

In questa equazione, \vec{M}_{\text{ext}} denota la somma dei momenti esterni agenti sul corpo rigido rispetto a un punto arbitrario O, \frac{d\vec{L}}{dt} rappresenta la derivata temporale del momento angolare totale del corpo rigido rispetto al punto O, e m(\vec{v}_0 \wedge \vec{v}_{\text{CM}}) indica il prodotto vettoriale tra la velocità del punto O e quella del centro di massa del corpo rigido, rispetto a un sistema di riferimento fisso. Successivamente, richiamiamo il teorema di König per il momento angolare, che afferma che il momento angolare di un sistema fisico, in un sistema di riferimento inerziale, può essere decomposto nella somma del momento angolare attribuibile al movimento del centro di massa e quello relativo al movimento rispetto al centro di massa:

(2)   \begin{equation*} \vec{L} = \vec{L}_{\text{CM}} + \vec{L}'. \end{equation*}

Qui, \vec{L} rappresenta il momento angolare totale del sistema rispetto a un sistema di riferimento inerziale, \vec{L}_{\text{CM}} il momento angolare del centro di massa rispetto allo stesso sistema di riferimento, e \vec{L}' il momento angolare del sistema rispetto al centro di massa. Ricordiamo altresì il teorema di König sull’energia cinetica. Esso postula che l’energia cinetica totale E di un sistema, sia esso composto da punti materiali disposti discretamente o distribuiti in modo continuo, è la somma dell’energia cinetica dovuta al moto traslatorio del centro di massa E_{\text{CM}} e dell’energia cinetica associata al moto dei corpi del sistema rispetto al centro di massa E':

(3)   \begin{equation*} E = E_{\text{CM}} + E'. \end{equation*}

In questa relazione, E rappresenta l’energia cinetica totale del sistema misurata in un sistema di riferimento inerziale, E' denota l’energia cinetica interna del sistema ossia quella relativa al moto dei punti materiali rispetto al centro di massa, mentre E_{\text{CM}} corrisponde all’energia cinetica del centro di massa del sistema stesso.

 

 


Svolgimento.

Prima dell’urto, il disco scivola senza rotazione sul piano orizzontale; di conseguenza, la velocità del centro di massa è orizzontale, come rappresentato in figura 1. Per analizzare l’evento dell’urto tra il disco e il punto fisso, adottiamo un sistema di riferimento cartesiano fisso Oxyz. L’orientamento dell’asse z segue dalla regola della mano destra, ossia il semiasse positivo delle z punta verso l’osservatore del diagramma. Questo sistema di riferimento è illustrato anch’esso in figura 1.  

 

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  Si noti che prima dell’urto, dato il piano privo di attrito su cui il disco si trova, questo scivola senza ruotare. Di conseguenza, il centro di massa segue un moto rettilineo uniforme, spostandosi con una velocità pari ad \vec{v}_0. La Figura 2 mostra il disco nell’istante immediatamente precedente all’urto.  

 

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  L’urto tra il dente posto sul bordo del disco e il punto fisso P provoca l’applicazione di una forza esterna impulsiva che determina una decelerazione del disco e l’impartizione di un momento esterno per un intervallo di tempo molto breve. Conseguentemente, si osserva una variazione nella dinamica del disco: se inizialmente scivolava lungo il piano, dopo l’urto inizia a scivolare e simultaneamente a ruotare.

Indichiamo con \vec{F} la forza impulsiva esercitata dal punto fisso P e con -\vec{F} la reazione corrispondente sul disco in P, in accordo con il terzo principio della dinamica. Questa interazione è illustrata nella figura 3.  

 

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  Subito dopo l’urto, il disco inizia a ruotare in senso antiorario con una velocità angolare \vec{\omega} e una velocità di traslazione \vec{v}_f, orientata come illustrato in figura 3. È interessante notare che la quantità di moto del disco non si conserva a causa della forza esterna -\vec{F} di natura impulsiva. Applicando l’equazione (1) e identificando il polo generico O con il punto fisso P (ovvero O \equiv P), troviamo che il prodotto vettoriale tra la velocità del centro di massa del disco e la velocità del punto P è nullo, poiché P è fisso. Inoltre, essendo la forza esterna impulsiva applicata direttamente in P, il suo momento rispetto a P è nullo. Da queste osservazioni, concludiamo che, nel nostro caso, l’equazione (1) si semplifica in:

(4)   \begin{equation*} \vec{M}^{\text{ext}} = \vec{0} = \frac{d\vec{L}}{dt} - \vec{0} \quad \Leftrightarrow \quad \frac{d\vec{L}}{dt} = \vec{0}, \end{equation*}

implicando che \vec{L} rimane costante rispetto al punto P sia prima che dopo l’urto; in altri termini, il momento angolare si conserva. Il momento angolare relativo al centro di massa può essere espresso come

(5)   \begin{equation*} \vec{L}' = I_{\text{CM}}\vec{\omega}, \end{equation*}

dove I_{\text{CM}} = \frac{1}{2}mR^2 rappresenta il momento di inerzia del disco rispetto al suo centro di massa, e \vec{\omega} è la velocità angolare del disco. Invece, il momento angolare del centro di massa relativo al sistema di riferimento fisso assume la forma

(6)   \begin{equation*} \vec{L}_{\text{CM}} = m\vec{R} \wedge \vec{v}_{\text{CM}}, \end{equation*}

dove \vec{v}_{\text{CM}} indica la velocità del centro di massa. Entrambe le equazioni sono valide in ogni istante generico t \geq 0.

Prima dell’urto, il momento angolare totale del disco rispetto al punto P è dato da

(7)   \begin{equation*} L_0 = mv_0R, \end{equation*}

considerando che il disco è in traslazione pura e, di conseguenza, il momento angolare relativo al suo centro di massa è nullo. Si osservi che v_0 è la componente della velocità \vec{v}_0 lungo l’asse delle x positive.

Utilizzando le equazioni (5) e (6), possiamo calcolare il momento angolare totale del disco dopo l’urto come

(8)   \begin{equation*} L_f = I_{\text{CM}}\omega + mv_fR = \frac{1}{2}mR^2\omega + mv_fR, \end{equation*}

dove v_f è la componente della velocità \vec{v}_f nella direzione dell’asse delle x, e \omega è la componente della velocità angolare \vec{\omega} lungo l’asse delle z.

Dall’equazione (4) sappiamo che si conserva il momento angolare, dunque sfruttando le due precedenti equazioni, otteniamo che

(9)   \begin{equation*} L_0 = L_f \quad \Leftrightarrow \quad mv_0R = \frac{1}{2}mR^2\omega + mv_fR. \end{equation*}

Considerando che l’urto è elastico, si preserva l’energia cinetica totale del sistema. Prima dell’urto, il disco procede in scivolamento senza rotazione, di conseguenza, l’energia cinetica iniziale è attribuibile esclusivamente al moto traslatorio del centro di massa, espressa da

(10)   \begin{equation*} E_0 = \frac{1}{2}mv_0^2. \end{equation*}

Sfruttando l’equazione (3), possiamo calcolare l’energia cinetica del disco successivamente all’urto. L’energia associata al moto rispetto al centro di massa dopo l’urto diventa

(11)   \begin{equation*} E' = \frac{1}{2}I_{\text{CM}}\omega^2, \end{equation*}

e l’energia cinetica del centro di massa, conseguentemente all’urto, si determina in

(12)   \begin{equation*} E_{\text{CM}} = \frac{1}{2}mv_f^2. \end{equation*}

Utilizzando queste due espressioni, l’energia cinetica totale del disco dopo l’urto può essere calcolata come

(13)   \begin{equation*} E_f = E' + E_{\text{CM}} = \frac{1}{2}mv_f^2 + \frac{1}{2}I_{\text{CM}}\omega^2. \end{equation*}

Dalla legge di conservazione dell’energia cinetica, e utilizzando l’equazione sopra insieme all’equazione (10), si deduce che

(14)   \begin{equation*} E_0 = E_f \quad \Leftrightarrow \quad \frac{1}{2}mv_0^2 = \frac{1}{2}mv_f^2 + \frac{1}{2}I_{\text{CM}}\omega^2. \end{equation*}

Mettendo a sistema (9) e (14) abbiamo

(15)   \begin{equation*} \begin{aligned}  & \begin{cases} mv_0R=\dfrac{1}{2}mR^2\omega+mv_fR\\[10pt] \dfrac{1}{2}mv_0^2=\dfrac{1}{2}mv_f^2+\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2}\, mR^2 \; \omega^2 \end{cases} \Leftrightarrow\quad  \begin{cases} v_0=\dfrac{1}{2} R \, \omega+v_f\\[10pt] v_0^2=v_f^2+\dfrac{1}{2}\, R^2 \; \omega^2 \end{cases} \Leftrightarrow \quad \\[10pt] &\Leftrightarrow\quad  \begin{cases} v_f=v_0 - \dfrac{1}{2} R \, \omega\\[10pt] \left(v_0-\dfrac{1}{2} R \, \omega\right)^2=v_0^2-\dfrac{1}{2}\, R^2 \; \omega^2 \end{cases} \Leftrightarrow\quad \begin{cases} v_f=v_0 - \dfrac{1}{2} R \, \omega\\[10pt] v_0   = \dfrac{3}{4} R \, \omega \end{cases} \Leftrightarrow\quad \\[10pt] & \Leftrightarrow\quad \begin{cases} v_f=\dfrac{1}{4} R \, \omega\\[10pt] v_0   = \dfrac{3}{4} R \, \omega \Leftrightarrow \end{cases} \Leftrightarrow\quad  \begin{cases} v_f=\dfrac{v_0}{3} \\[10pt] \omega = \dfrac{4}{3} \dfrac{v_0}{R}. \end{cases} \end{aligned} \end{equation*}

Si conclude che la velocità finale e la velocità angolare del disco dopo l’urto sono

    \[\boxcolorato{fisica}{	\begin{cases} 				v_f=\dfrac{v_0}{3} \\[10pt] 				\omega = \dfrac{4}{3} \dfrac{v_0}{R}. 				\end{cases}}\]

Si nota che, dopo l’urto, in assenza di forze esterne, il disco persiste nel suo moto con una velocità traslazionale costante \vec{v}_f e mantiene una velocità angolare \vec{\omega} invariata, ruotando attorno a un asse che attraversa il suo centro di massa e si estende perpendicolarmente al piano di appoggio.

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