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Esercizio urti 30

Urti in Meccanica classica

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L’Esercizio Urti 30 è il trentesimo della raccolta dedicata agli esercizi misti sugli urti. Questo esercizio segue l’Esercizio Urti 29. Successivamente, gli studenti potranno affrontare l’Esercizio Urti 31. Pensato per gli studenti di Fisica 1, è particolarmente utile per coloro che studiano ingegneria, fisica o matematica.

L’argomento successivo agli urti riguarda gli esercizi sulla gravitazione, mentre l’argomento precedente tratta gli esercizi svolti sulla dinamica del corpo rigido.

 

Testo esercizio urti 30

Esercizio 30 (\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar). Consideriamo un disco di massa m, con distribuzione omogenea di massa e raggio R, che scivola senza attrito su un piano orizzontale con una velocità orizzontale iniziale \vec{v}_0. Immaginiamo che, ad un certo istante, un piccolo dente situato sul bordo del disco impatti contro un punto fisso P, come mostrato in figura 1. Assumendo che l’impatto tra il dente e il punto fisso P sia perfettamente elastico, vogliamo determinare la velocità finale \vec{v}_f del centro di massa del disco e la velocità angolare \vec{\omega} del disco subito dopo l’urto, relativamente a un sistema di riferimento inerziale.

 

 

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Figura 1: illustrazione delle varie fasi avvenuto nell’urto tra disco e piolo.

 

Prerequisiti.

Analizziamo la seconda legge fondamentale della dinamica per corpi rigidi, la quale si esprime come segue:

(1) \begin{equation*} \vec{M}_{\text{ext}} = \frac{d\vec{L}}{dt} - m(\vec{v}_0 \wedge \vec{v}_{\text{CM}}). \end{equation*}

In questa equazione, \vec{M}_{\text{ext}} denota la somma dei momenti esterni agenti sul corpo rigido rispetto a un punto arbitrario O, \frac{d\vec{L}}{dt} rappresenta la derivata temporale del momento angolare totale del corpo rigido rispetto al punto O, e m(\vec{v}_0 \wedge \vec{v}_{\text{CM}}) indica il prodotto vettoriale tra la velocità del punto O e quella del centro di massa del corpo rigido, rispetto a un sistema di riferimento fisso. Successivamente, richiamiamo il teorema di König per il momento angolare, che afferma che il momento angolare di un sistema fisico, in un sistema di riferimento inerziale, può essere decomposto nella somma del momento angolare attribuibile al movimento del centro di massa e quello relativo al movimento rispetto al centro di massa:

(2) \begin{equation*} \vec{L} = \vec{L}_{\text{CM}} + \vec{L}'. \end{equation*}

Qui, \vec{L} rappresenta il momento angolare totale del sistema rispetto a un sistema di riferimento inerziale, \vec{L}_{\text{CM}} il momento angolare del centro di massa rispetto allo stesso sistema di riferimento, e \vec{L}' il momento angolare del sistema rispetto al centro di massa. Ricordiamo altresì il teorema di König sull’energia cinetica. Esso postula che l’energia cinetica totale E di un sistema, sia esso composto da punti materiali disposti discretamente o distribuiti in modo continuo, è la somma dell’energia cinetica dovuta al moto traslatorio del centro di massa E_{\text{CM}} e dell’energia cinetica associata al moto dei corpi del sistema rispetto al centro di massa E':

(3) \begin{equation*} E = E_{\text{CM}} + E'. \end{equation*}

In questa relazione, E rappresenta l’energia cinetica totale del sistema misurata in un sistema di riferimento inerziale, E' denota l’energia cinetica interna del sistema ossia quella relativa al moto dei punti materiali rispetto al centro di massa, mentre E_{\text{CM}} corrisponde all’energia cinetica del centro di massa del sistema stesso.

 

 


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