Esercizio urti 29

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L’Esercizio Urti 29 è il ventinovesimo della raccolta dedicata agli esercizi misti sugli urti. Questo esercizio segue l’Esercizio Urti 28. Successivamente, gli studenti potranno affrontare l’Esercizio Urti 30. Pensato per gli studenti di Fisica 1, è particolarmente utile per coloro che studiano ingegneria, fisica o matematica.

L’argomento successivo agli urti riguarda gli esercizi sulla gravitazione, mentre l’argomento precedente tratta gli esercizi svolti sulla dinamica del corpo rigido.

Testo esercizio urti 29

Esercizio 29 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Una molla ideale di costante elastica $k$ e lunghezza a riposo $\ell_0$ mantiene inizialmente orizzontale un’asta omogenea di lunghezza $L$ e massa $M$ incernierata all’altro estremo nel punto $C$ , attorno a cui è libera di ruotare. Una massa $m$ inizialmente ferma all’istante $t=0$ cade da una quota $h$ al di sopra dell’asta e vi si conficca, a distanza orizzontale $d$ da $C$ , come rappresentato in figura 1.
Determinare la velocità angolare dell’asta immediatamente dopo l’urto. Supponendo che, dopo un certo tempo, le oscillazioni dell’asta si smorzino fino ad arrestarsi ed il sistema arrivi all’equilibrio, calcolare la differenza tra la lunghezza della molla prima dell’urto e quella raggiunta al nuovo equilibrio. Si assuma che, nella nuova posizione di equilibrio dell’asta, la molla rimanga verticale (ossia l’asta possa ancora essere considerata approssimativamente orizzontale).

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Figura 1: rappresentazione schematica del problema prima dell’impatto.

Richiami teorici.

Ricordiamo la seconda legge cardinale per i corpi rigidi:

(1) $\begin{equation*} \displaystyle\sum_{k=1}^n {\vec{M}_k\,}^{\text{\tiny ext}} -m \vec{v}_C \wedge \vec{v}_{\text{CM}} = \dfrac{d\vec{L}_C}{dt}, \end{equation*}$

dove $\displaystyle \sum_{k=1}^n {\vec{M}_k\,}^{\text{\tiny ext}}$ è la somma di tutti i momenti esterni al sistema, $\vec{v}_C$ è la velocità del polo scelto per il calcolo del momento angolare totale del sistema, $\vec{v}_{\text{CM}}$ è la velocità del centro di massa ed infine $\vec{L}_C$ è il momento angolare totale del sistema rispetto al polo $C$ .