Esercizio urti 28

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L’Esercizio Urti 28 è il ventottesimo della raccolta dedicata agli esercizi misti sugli urti. Questo esercizio segue l’Esercizio Urti 27. Successivamente, gli studenti potranno affrontare l’Esercizio Urti 29. Pensato per gli studenti di Fisica 1, è particolarmente utile per coloro che studiano ingegneria, fisica o matematica.

L’argomento successivo agli urti riguarda gli esercizi sulla gravitazione, mentre l’argomento precedente tratta gli esercizi svolti sulla dinamica del corpo rigido.

Testo esercizio urti 28

Esercizio 28 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Un proiettile puntiforme $P$ , di massa $m$ , si muove, con velocità di modulo pari a $w$ , avente direzione orizzontale e giaciente su un piano verticale $\Pi$ . Il proiettile si conficca istantaneamente, rimanendovi attaccato, nel punto $A$ (si veda la figura) di un disco rigido e omogeneo, di massa $M$ e raggio $r$ , incernierato nel punto $O$ , giacente sullo stesso piano verticare $\Pi$ e inizialmente in quite, con $b$ (si veda la figura). Determinare il modulo $\omega$ della velocità angolare del disco subito dopo l’urto in funzione dei parametri $m$ , $M$ , $w$ , $b$ , $r$ e $b$ .

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Figura 1: schematizzazione del problema prima dell’urto (sinistra) e dopo l’urto (destra).

Richiami teorici.

Ricordiamo la seconda legge cardinale di Eulero

(1) $\begin{equation*} {\frac {\mathrm {d} \vec {L} }{\mathrm {d} t}}=\vec {M}^{(\text{est})} -\vec {v} _{0}\times \vec {p} , \end{equation*}$

in cui $\vec {L}$ è il momento angolare del sistema, $\vec {M}^{(\text{est})}$ è la risultante dei momenti meccanici esterni agenti sul sistema fisico sotto esame, $\vec {v}_0$ è la velocità del polo e $\vec {p}$ è la quantità di moto totale del sistema.
In generale il momento angolare è definito come momento della quantità di moto

(2) $\begin{equation*} \Vec{L}=m \vec{r} \times \Vec{v}, \end{equation*}$

in cui abbiamo sfruttato la linearità del prodotto vettoriale per portare la costante numerica $m$ fuori dal prodotto vettoriale. Nel caso di un corpo rigido con asse di rotazione fisso, il momento angorale si riscrive come

(3) $\begin{equation*} \vec{L}=I\Vec{\omega}, \end{equation*}$

nel quale $I$ è il momento d’inerzia rispetto all’asse di rotazione.
Il teorema di Huygens-Steiner, noto anche come teorema degli assi paralleli, è un principio fondamentale nella meccanica classica che descrive il momento d’inerzia di un corpo rigido rispetto a un asse parallelo a un asse che passa per il centro di massa del corpo. Il teorema afferma che il momento d’inerzia $I$ di un corpo rigido rispetto a un asse $A$ parallelo a un asse che passa per il centro di massa $C$ è dato dalla somma del momento d’inerzia $I_C$ rispetto all’asse che passa per il centro di massa e il prodotto della massa totale $M$ del corpo e il quadrato della distanza $d$ tra i due assi. In formuile:

(4) $\begin{equation*} I = I_C + Md^2. \end{equation*}$