Esercizio urti 27

Urti in Meccanica classica

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Esercizio 27 (\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar). Un disco omogeneo di massa M e raggio R è vincolato a ruotare senza attrito intorno ad un asse orizzontale fisso passante per il centro del disco C. Sull’asse è collegata una molla a spirale che esercita sul disco un momento di richiamo M=-k\theta, dove \theta è l’angolo di rotazione del disco rispetto all’asse verticale (si veda la figura 1a) e k è una costante avente unità di misura [\text{N}\cdot \text{m}].
Una massa m urta orizzontalmente il disco con velocità \Vec{v} in corrispondenza del suo punto più basso O, in maniera completamente anelastica. Sia \theta_{\text{max}} l’angolo di rotazione massimo che percorre il disco dopo l’urto, calcolare il modulo di \Vec{v} in funzione di M, m e k e \theta_{\max}.

 

 

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La figura 1 rappresenta la situazione schematica a) del disco ruotato di un angolo \displaystyle \theta e della molla a spirale che esercita il momento di richiamo; b) del sistema di disco e massa \displaystyle m con il sistema di riferimento fisso \displaystyle Oxyz.
 

 
Svolgimento. Scegliamo un sistema di riferimento Oxyz centrato nel punto più basso del disco, come rappresentato in figura 1b: l’asse x è tangente al disco stesso, l’asse y passa per il centro C, e l’asse z è preso uscente dal piano del foglio. Dal momento che l’urto tra la massa m ed il disco è perfettamente anelastico, durante l’urto non si conserva l’energia totale del sistema (una parte viene dissipata durante la “fusione” dei due oggetti). Allo stesso modo non si conserva la quantità di moto totale poiché durante l’urto è presente una forza esterna impulsiva (la reazione vincolare dell’asse). Dimostriamo invece ora che il momento angolare totale, calcolato rispetto al centro C del disco, si conserva durante l’urto. Ricordiamo la seconda legge cardinale per i corpi rigidi:

(1)   \begin{equation*} \displaystyle\sum_{k=1}^n {\vec{M}_k\,}^{\text{\tiny ext}} -m \vec{v}_C \wedge \vec{v}_{CM} = \dfrac{d\vec{L}_C}{dt}, \end{equation*}

dove \displaystyle \sum_{k=1}^n {\vec{M}_k\,}^{\text{\tiny ext}} è la somma di tutti i momenti esterni al sistema, \vec{v}_C è la velocità del polo scelto per il calcolo del momento angolare totale del sistema, \vec{v}_{CM} è la velocità del centro di massa ed infine \vec{L}_C è il momento angolare totale del sistema rispetto al polo C. Osserviamo che il polo C è fisso, ovvero ha velocità nulla, di conseguenza il secondo termine del membro a sinistra dell’equazione di sopra è nullo. Guardiamo ora al primo termine \displaystyle \sum_{k=1}^n {\vec{M}_k\,}^{\text{\tiny ext}}: poiché il tempo dell’urto è molto breve consideriamo solo le forze impulsive, trascurando quindi il contributo della forza di gravità e del momento di richiamo della molla. Durante l’urto si genera una forza impulsiva sul disco e una forza sempre impulsiva su m, uguale ed opposta a quella applicata sul disco (terzo principio della dinamica), di conseguenza il vincolo in C genera una forza esterna, sempre impulsiva, applicata in C. Quest’ultima ha momento nullo essendo applicata proprio nel polo C, mentre le prime due sono forze interne e dunque hanno momento complessivo nullo. Pertanto se il membro a sinistra dell’equazione (1) è nullo abbiamo che

(2)   \begin{equation*} \frac{d\vec{L}_C}{dt}=\vec{0}, \end{equation*}

ossia il momento angolare totale del sistema si conserva, prima e dopo l’urto, rispetto al polo C.

Calcoliamo a questo punto il momento angolare del sistema un istante prima dell’urto, quando la massa si trova nel punto più basso del disco (che è inizialmente fermo):

(3)   \begin{equation*} \Vec{L}_\text{i} = \Vec{R}\wedge\Vec{p}_\text{i} = (-R\,\hat{y}) \wedge (mv\,\hat{x}) = mvR\,\hat{z}, \end{equation*}

dove \Vec{p}_\text{i} = m\Vec{v} = mv\,\hat{x} è la quantità di moto iniziale della massa m e \Vec{R}=-R\,\hat{y} è la distanza tra C ed O (come rappresentato in figura 1b). Un istante dopo l’urto la massa m è solidale col disco ed entrambi inizieranno a ruotare con velocità angolare \Vec{\omega}=\omega\,\hat{z}; il momento angolare del sistema un istante dopo l’urto sarà allora:

(4)   \begin{equation*} \Vec{L}_\text{f} = I_{\text{disco}}\,\Vec{\omega} + \Vec{R}\wedge\Vec{p}_\text{f}, \end{equation*}

dove \displaystyle I_{\text{disco}} ={MR^2}/{2} è il momento d’inerzia del disco e \Vec{p}_\text{f} è la quantità di moto della massa m subito dopo l’urto. Dato che dopo l’urto la massa m e il disco diventano un unico corpo anche la massa m ruota con velocità angolare \vec{\omega} attorno a O; si ha perciò \Vec{p}_\text{f} = m\omega R \, \hat{x} e dunque la (4) diventa:

(5)   \begin{equation*} \Vec{L}_\text{f} = \frac{MR^2}{2}\omega\,\hat{z} + m R \omega (\Vec{R}\wedge\hat{x}) = \left(\frac{MR^2}{2}\omega + m R^2 \omega \right)\hat{z} = \left(\frac{M}{2} + m \right)R^2 \omega \, \hat{z}. \end{equation*}

Eguagliando ora la (3) e la (5) per la conservazione del momento angolare (e omettendo il versore \hat{z}) otteniamo:

(6)   \begin{equation*} mvR = \left(\frac{M}{2} + m \right)R^2 \omega, \end{equation*}

da cui

(7)   \begin{equation*} \boxed{\omega = \frac{mv}{ R ( M/2 + m)}}. \end{equation*}

A questo punto notiamo che, immediatamente dopo l’urto, le uniche forze che agiscono sul sistema sono quella di gravità e quella della molla (e la reazione vincolare dell’asse che impedisce al disco di cadere, ma che non presenta attrito e non compie lavoro). Poiché le prime due forze sono conservative possiamo calcolare per entrambe un’energia potenziale; dal momento che il centro di massa del disco non si muove (il disco ruota solo attorno al suo asse) la sua energia potenziale rimane invariata, mentre quella della massa m varia con l’angolo di rotazione seconda la legge

(8)   \begin{equation*} U_{\text{grav}} = mgy_\text{m} + \text{costante} = mgR(1-\cos\theta) + \text{costante}, \end{equation*}

dove U_{\text{grav}} è l’energia gravitazionale della massa m e y_m è la coordinata lungo l’asse delle y di m nel generico istante t\geq 0, che abbiamo poi espresso in funzione dell’angolo di rotazione \theta del disco, come rappresentato in figura 2.
 
 

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Per quanto riguarda l’energia potenziale U_{\text{el}} della molla si deve avere che

(9)   \begin{equation*} -\frac{dU_{\text{el}}}{d\theta} = -k\theta, \end{equation*}

da cui integrando ambo i membri rispetto alla variabile \theta si ottiene

(10)   \begin{equation*} U_{\text{el}} = \frac{1}{2}k\theta^2 + \text{costante}^\prime. \end{equation*}

Possiamo a questo punto imporre la conservazione dell’energia meccanica:

(11)   \begin{equation*} \biggl( K + U_{\text{grav}} + U_{\text{el}}\biggr)_{\theta=0} = \biggl(K + U_{\text{grav}} + U_{\text{el}}\biggr)_{\theta=\theta_{\text{max}}}, \end{equation*}

dove indichiamo con K l’energia cinetica del sistema. Notiamo a questo punto che, quando il disco si trova all’angolo di rotazione massimo \theta_{\text{max}}, il sistema deve essere istantaneamente fermo e dunque la sua energia cinetica K_{\theta=\theta_{\text{max}}} è nulla. Inoltre dalla (8) e dalla (10) si vede che per \theta=0 entrambe le energie potenziali si riducono alle sole costanti, dunque la (11) diventa

(12)   \begin{equation*} \boxed{K_{\theta=0} = mgR(1-\cos\theta_{\text{max}}) + \frac{1}{2}k{\theta_{\text{max}}}^2.} \end{equation*}

L’energia cinetica K_{\theta=0} immediatamente dopo l’urto è la somma di quella del disco (K_{\text{disco}}) e di quella della massa m K_m, cioè

(13)   \begin{equation*} K_{\theta=0} = K_{\text{disco}} + K_m = \frac{1}{2} I_{\text{disco}} \omega^2 + \frac{1}{2}m (R\omega)^2 = \frac{1}{2}\frac{MR^2}{2}\omega^2 + \frac{1}{2}m(R\omega)^2 , \end{equation*}

da cui

(14)   \begin{equation*} K_{\theta=0} = \frac{1}{2} \left(\frac{M}{2}+m\right)(R\omega)^2, \end{equation*}

e sostituendo nella precedente equazione l’espressione per \omega (ottenuta dall’equazione (7)) otteniamo

(15)   \begin{equation*} K_{\theta=0} = \frac{1}{2} \left(\frac{M}{2}+m\right)\left( R \frac{mv}{ R ( M/2 + m)} \right)^2 = \frac{1}{2}\frac{(mv)^2}{( M/2 + m)}. \end{equation*}

Inserendo il risultato precedente nell’equazione (12)
si ottiene dunque

(16)   \begin{equation*} \frac{1}{2}\frac{(mv)^2}{( M/2 + m)} = mgR(1-\cos\theta_{\text{max}}) + \frac{1}{2}k{\theta_{\text{max}}}^2, \end{equation*}

conseguentemente risolvendo per v troviamo

(17)   \begin{equation*} (mv)^2 = \left(\frac{M}{2} + m \right) \left( 2mgR(1-\cos\theta_{\text{max}}) + k{\theta_{\text{max}}}^2 \right), \end{equation*}

e quindi

    \[\boxcolorato{fisica}{ v = \frac{1}{m} \sqrt{\left(\frac{M}{2} + m \right) \left( 2mgR(1-\cos\theta_{\text{max}}) + k{\theta_{\text{max}}}^2 \right)}.}\]

 
 
Nota. Si noti che la precedente equazione è ben definita solo se

(18)   \begin{equation*} 2mgR(1-\cos\theta_{\text{max}}) + k{\theta_{\text{max}}}^2 \geq0, \end{equation*}

il che porrebbe un vincolo sull’angolo di rotazione massimo \theta_{\text{max}} ottenibile. Tuttavia notiamo che entrambi i termini del membro a sinistra della disequazione (18) sono maggiori o uguali a zero, dunque \theta_{\text{max}} può assumere qualsiasi valore in \mathbb{R}. Da un punto di vista fisico questo può essere compreso intuitivamente: per qualsiasi angolo massimo in cui si vuol far fermare il sistema, esiste una velocità d’impatto che permette di raggiungerlo. Si noti anche che, poiché \displaystyle \lim_{\theta_{\text{max}} \to \infty} k{\theta_{\text{max}}}^2 = +\infty e \displaystyle (1-\cos\theta_{\text{max}}) \in [0,2], non esiste una velocità massima di impatto oltre la quale il sistema non si fermerà mai. Facciamo inoltre notare che in assenza della molla la precedente osservazione non sarebbe vera, e la velocità massima di impatto sarebbe \displaystyle v_{\text{max}} = 2 \sqrt{\left(\frac{M}{2m} + 1 \right) gR}.