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Esercizio urti 26

Urti in Meccanica classica

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L’Esercizio Urti 26 è il ventiseiesimo della raccolta dedicata agli esercizi misti sugli urti. Questo esercizio segue l’Esercizio Urti 25. Successivamente, gli studenti potranno affrontare l’Esercizio Urti 27. Pensato per gli studenti di Fisica 1, è particolarmente utile per coloro che studiano ingegneria, fisica o matematica.

L’argomento successivo agli urti riguarda gli esercizi sulla gravitazione, mentre l’argomento precedente tratta gli esercizi svolti sulla dinamica del corpo rigido.

 

Testo esercizio urti 26

Esercizio 26 (\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar). Una tavola quadrata di massa M distribuita in modo omogeneo su tutta l’area occupata dalla tavola e lato d è incernierata ad un asse verticale coincidente con il lato AB. Il vincolo impone alle rotazioni un momento di attrito costante \vec{M}_a. Il vettore \vec{M}_a è costante in modulo, direzione e verso coincidente con l’asse di rotazione. Ortogonalmente alla tavola viene sparato un proiettile di massa m con velocità \vec v. Questo proiettile perfora la tavola, in un tempo trascurabile, ed esce con velocità \vec{v}^{\,\prime} sempre ortogonalmente alla tavola. Il foro lasciato nella tavola dista h dall’asse AB. Si osserva che dopo aver percorso una distanza x_0>0 lungo l’orizzontale il proiettile è sceso di una distanza y_0>0 lungo la verticale rispetto al foro.
Dopo l’urto tra tavola e proiettile la tavola entra in rotazione e si ferma dopo aver percorso un angolo pari a \tilde{\theta}.
Calcolare:

  1. il modulo \left \vert\vec v \right \vert =v della velocità \vec v del proiettile in funzione dei parametri M_a, h, m, M, d, \tilde{\theta}, x_0, y_0 e g;
  2. il modulo \vert\vec \vec{J}\vert=J dell’impulso \vec{ J} subito dall’asse AB nell’urto M_a, h, m, M, d, \tilde{\theta}, x_0, y_0, g e v.

    3. Con M_a si intende la componente del vettore \overrightarrow{M}_a orientata lungo l’asse di rotazione, che essendo un momento frenante, implica che M_a<0.

 

 

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Figura 1: tavola con foro \displaystyle O a distanza \displaystyle h dal lato incernierato \displaystyle AB.

 

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Figura 2: moto del proiettile all’uscita dalla tavola.

 

Svolgimento punto 1.

Procediamo con il risolvere il problema dividendo il procedimento in tre passi, troveremo le quantità richieste in funzione di quelle fornite parametricamente dal problema.    

Passo 1.

Determiniamo un’espressione analitica per v'. Dopo l’urto tra tavola e proiettile si ha che il proiettile si muove di moto parabolico a causa della forza di gravità che agisce su di esso. Sia O'xy un sistema di riferimento fisso tale per cui l’origine O^\prime sia coincidente con il foro, mentre l’asse x è ortogonale alla tavola all’istante t=0 e l’asse y è parallelo all’asse AB in ogni istante t\geq 0. Di sopra, in figura 2, è rappresentato il sistema di riferimento e il moto parabolico del proiettile. Dato che all’istante t=0 la velocità del proiettile \vec{v}^{\,\prime} all’uscita dalla tavola è orizzontale, dunque, è diretta lungo l’asse delle x. All’istante iniziale il proiettile nel sistema di riferimento O^\prime x y si trova nel punto (0, y_0), come si può dedurre dalla figura 2. Le equazioni del moto per t\geq 0 sono

(1) \begin{equation*} \begin{cases} x(t) = v't \\[10pt] y(t) = -\dfrac{1}{2}gt^2 + y_0. \end{cases} \end{equation*}

Sia t=\tilde{t} l’istante di tempo tale per cui il proiettile ha percorso una distanza x_0>0 lungo l’asse delle x ed è sceso di una distanza y_0>0 lungo l’asse delle y; pertanto all’istante di tempo t=\tilde{t} il proiettile si trova nel punto (x_0,0). Sostituendo t=\Tilde{t} nel precedente sistema e avvalendoci di quanto detto abbiamo

(2) \begin{equation*} \begin{cases} x_0 = v'\Tilde{t} \\[10pt] 0 = -\dfrac{1}{2}g\Tilde{t}^2 + y_0. \end{cases} \end{equation*}

Dalla prima equazione del precedente sistema si ha

(3) \begin{equation*} \Tilde{t} = \frac{x_0}{v'}, \end{equation*}

e sostituendo il precedente risultato nella seconda equazione del sistema (2), si trova

(4) \begin{equation*} y_0 = \frac{1}{2}g\Tilde{t}^2 = \frac{1}{2}g\frac{x_0^2}{v'^2}, \end{equation*}

il che implica che

\[\boxcolorato{fisica}{v' = \sqrt{\frac{g}{2}\frac{x_0^2}{y_0} } = \left \vert x_0\right \vert \sqrt{\frac{g}{2y_0}}= x_0 \sqrt{\frac{g}{2y_0}}.}\]

   


Passo 2.

Dedichiamoci allo studio del moto moto rotatorio della tavola rispetto all’asse di rotazione AB che avviene dopo l’urto con il proiettile. Sulla tavola, per via dell’asse di rotazione, è presente un momento d’attrito frenante, il che vuol dire che tale moto è decelerato con accelerazione angolare \alpha(t) e velocità angolare \omega(t). Il momento di attrito \vec{M}_a è costante in modulo, direzione e verso, per ipotesi. Scegliamo un sistema di riferimento fisso Oxyz tale per cui l’asse delle z coincida con l’asse di rotazione. Per la seconda legge cardinale dei corpi rigidi abbiamo

(5) \begin{equation*} {M}_a = I_{AB}\alpha, \end{equation*}

dove I_{AB} è il momento di inerzia della tavola rispetto all’asse AB costante nel tempo. Il momento frenante \overrightarrow{M}_a essendo costante per tutto il moto della tavola, conseguentemente dalla precedente equazione si ha che l’accelerazione angolare \alpha è costante. Dunque, il moto della tavola è rotatorio uniformemente decelerato. Definendo \vartheta(t) l’angolo che la tavola spazia nel tempo, avremo dunque, considerando che all’istante iniziale \vartheta_0=0 che le equazioni del moto sono

(6) \begin{equation*} \begin{cases} \vartheta(t) = \omega_0t + \dfrac{1}{2}\alpha t^2 \\[10pt] \omega(t) = \omega_0+\alpha t, \end{cases} \end{equation*}

dove \omega_0 è la velocità angolare che ha la tavola subito dopo l’urto. Il precedente sistema è valido per t\geq 0. La condizione nota qui è che dopo un tempo t=t^* la tavola si ferma e ha ruotato in totale di un angolo \tilde{\theta}. Applichiamo tale condizioni alle equazioni del moto, sostituendo t=t^* nella seconda equazione del sistema (6), ottenendo

(7) \begin{equation*} \omega(t^*) =0 \quad \Leftrightarrow \quad \alpha t^* = -\omega_0, \end{equation*}

da cui

(8) \begin{equation*} \boxed{t^* =- \frac{\omega_0}{\alpha}.} \end{equation*}

Sostituendo il valore t=t^* ottenuto alla precedente equazione nella prima equazione del sistema (6) si ottiene

(9) \begin{equation*} \theta(t^\star) =\tilde{\theta }= \frac{1}{2} \frac{\omega_0^2}{\alpha}-\frac{\omega_0^2}{\alpha} = -\frac{1}{2}\frac{\omega_0^2}{\alpha}, \end{equation*}

conseguentemente

(10) \begin{equation*} \alpha =- \frac{1}{2} \frac{\omega_0^2}{\tilde{\theta }}, \end{equation*}

o anche

(11) \begin{equation*} \omega^2_0 = -2 \alpha\tilde{\theta }, \end{equation*}

infine

(12) \begin{equation*} \omega_0 = \sqrt{-2 \alpha \tilde{\theta } }. \end{equation*}

Il precedente risulta ben definito in quanto \alpha<0. Per proseguire, dobbiamo ora ritornare alla formula (5) e per sfruttarla dobbiamo calcolare I_{AB}, il momento di inerzia della tavola rispetto all’asse di rotazione z. Per trovare I_{AB} è utile sfruttare il teorema di Huygens e Steiner, che afferma che il momento di inerzia rispetto ad un asse non passate per il centro di massa e parallelo all’asse di rotazione passante per il centro di massa è uguale al momento di inerzia I_{\text{CM}} del corpo rispetto all’asse passante per il centro di massa sommato con il prodotto tra la massa e la distanza al quadrato \ell^2 tra i due assi. In formule:

(13) \begin{equation*} I_{AB} = I_{\text{CM}} + M\ell^2, \end{equation*}

ed essendo \ell={d}/{2} poiché il centro di massa si trova al centro della lastra (essendo la massa di questa distribuita uniformemente), e ricordando anche che I_{\text{CM}} in tal caso è Md^2/12, allora la precedente equazione diventa

(14) \begin{equation*} I_{AB} = M\frac{d^2}{12} + M\frac{d^2}{4} =\frac{Md^2}{3}. \end{equation*}

Conoscendo I_{AB} (calcolato dalla precedente equazione) ed M_a (dato noto dal testo del problema) possiamo invertire la (5) e trovare la componente dell’accelerazione angolare \alpha orientata lungo l’asse delle z. Abbiamo dunque

(15) \begin{equation*} \alpha = \frac{M_a}{I_{AB}} =\frac{3M_a}{Md^2}<0, \end{equation*}

perché M_a<0 come specificato nella traccia del problema. Nell’ultimo passaggio abbiamo usato l’equazione (14).    


Passo 3.

Il prossimo passaggio è sfruttare la legge della conservazione del momento angolare, che afferma che in un processo il momento angolare totale di un sistema fisico in esame è conservato, cioè è costante nel tempo, se è nullo il momento delle forze esterne che agiscono su di esso rispetto ad un polo O fisso. Nel nostro caso, è all’urto che il momento angolare totale, calcolato rispetto ad un qualsiasi punto dell’asse di rotazione, è conservato poiché le forze impulsive dell’urto sono forze interne (III principio della dinamica) e in più la forza esterna impulsiva generata dal vincolo ha momento nullo, avendo quest’ultima braccio nullo. Il momento \vec{M}_a non influisce nella non conservazione del momento angolare in quanto l’intervallo di tempo in cui avviene l’urto ha una durata brevissima, quindi i suoi effetti si possono trascurare. La legge è espressa matematicamente come

(16) \begin{equation*} L_{\text{tot}_f} = L_{\text{tot}_i}, \end{equation*}

dove L_{\text{tot}_f} è la componente del momento angolare totale finale (un’istante dopo l’urto) rispetto all’asse di rotazione e L_{\text{tot}_i} è la componente del momento angolare iniziale rispetto all’asse di rotazione (un’istante prima dell’urto). Entrambi sono orientati lungo l’asse z. Dato che la tavola ruota e basta, in qualsiasi istante di tempo t\geq0, il momento angolare totale della tavola vale

(17) \begin{equation*} {L} = I_{AB} {\omega}, \end{equation*}

dove \omega è la componente della velocità angolare dell’asta orientata lungo l’asse delle z in qualsiasi istante t\geq 0. Il momento angolare totale finale, cioè quello appena dopo l’urto, è dato dalla somma tra il momento angolare totale della tavola L_{\text{tav}_f} e quello del proiettile L_{p_i} per il principio di sovrapposizione degli effetti, cioè

(18) \begin{equation*} L_{\text{tot}_f} = L_{\text{tav}_f} + L_{p_i}= I_{AB}\omega_0 + hmv', \end{equation*}

dove il momento del proiettile è stato calcolato con la definizione di momento angolare, mentre quello della tavola grazie all’equazione (17).

Il momento angolare totale iniziale, cioè quello appena prima dell’urto, è dato soltanto dal proiettile, essendo la tavola ferma, quindi

(19) \begin{equation*} L_{\text{tot}_i} = L_{p_i} = hmv, \end{equation*}

dove il momento del proiettile è stato calcolato con la definizione di momento angolare. Avvalendoci dell’equazione precedente e dell’equazione (18) possiamo riscrivere l’equazione (16) come

(20) \begin{equation*} hmv = I_{AB}\omega_0 + hmv', \end{equation*}

conseguentemente

(21) \begin{equation*} v = \frac{I_{AB}}{hm} \omega_0 + v'. \end{equation*}

Sostituendo poi nella precedente equazione \omega_0 dall’equazione (12), \alpha dall’equazione (15), I_{AB} dall’equazione (14), otteniamo

(22) \begin{equation*} v = \frac{I_{AB}}{hm}\sqrt{-2 \frac{M_a}{I_{AB}} \tilde{\theta}} + v'= \frac{1}{hm}\sqrt{-2M_a I_{AB}\tilde{\theta}} +v'= \frac{1}{hm}\sqrt{-\frac{2}{3} M_a Md^2\tilde{\theta}} +v'=\frac{d}{hm}\sqrt{-\frac{2}{3} M_a M\tilde{\theta}} +v', \end{equation*}

e dunque, sostituendo infine v' da (??), otteniamo

\[\boxcolorato{fisica}{v =\frac{1}{hm}\sqrt{-\frac{2}{3} M_a Md^2\tilde{\theta}} + x_0\sqrt{\frac{g}{2y_0}.}}\]

   


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