Esercizio urti 25

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L’Esercizio Urti 25 è il venticinquesimo della raccolta dedicata agli esercizi misti sugli urti. Questo esercizio segue l’Esercizio Urti 24. Successivamente, gli studenti potranno affrontare l’Esercizio Urti 26. Pensato per gli studenti di Fisica 1, è particolarmente utile per coloro che studiano ingegneria, fisica o matematica.

L’argomento successivo agli urti riguarda gli esercizi sulla gravitazione, mentre l’argomento precedente tratta gli esercizi svolti sulla dinamica del corpo rigido.

Testo esercizio urti 25

Esercizio 25 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Un cubo di lato $2a$ e massa $M$ si muove con velocità iniziale $\vec{v}_0$ su un tavolo liscio. La velocità $\vec{v}_0$ è parallela al piano orizzontale. Quando il cubo raggiunge l’estremità $O$ del tavolo il suo spigolo rimane bloccato ed il cubo inizia a ruotare senza attrito. Il momento di inerzia del cubo rispetto ad un asse orizzontale passante per il centro di una della facce è $I=2/3Ma^2$
Calcolare:

la velocità angolare $\vec{\omega}$ con cui il cubo inizia a ruotare;
la velocità iniziale massima $v_{0,\max}$ tale che il cubo non si ribalti.

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Figura 1: schema dell’esercizio.

Svolgimento punto 1.

Nell’istante in cui il cubo urta il punto $O$ le forze esterne che agiscono su di esso sono la sua forza peso $M\vec{g}$ , le due forze impulsive $\vec{N}_1$ e $\vec{N}_2$ generate dal vincolo $O$ , orientate come in figura 2.

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Figura 2: diagramma delle forze.

Chiamiamo $\Delta t$ l’intervallo infinitesimo di durata dell’urto. Applichiamo il teorema del momento angolare, scegliendo come polo $O$ , ottenendo

(1) $\begin{equation*} \int_{\Delta t} \vec{M}_1\,dt+\int_{\Delta t} \vec{M}_2\,dt+\int_{\Delta t}\vec{M}_3\,dt=\Delta \vec{L}_O, \end{equation*}$

dove $\vec{M}_1$ , $\vec{M}_2$ e $\vec{M}_3$ rappresentato rispettivamente il momento delle forze $\vec{N}_1$ , $\vec{N}_2$ e $M\vec{g}$ . Osserviamo quanto segue

(2) $\begin{equation*} \int_{\Delta t} \vec{M}_1\,dt=\int_{\Delta t} \vec{M}_2\,dt=0, \end{equation*}$

perché le forze $\vec{N}_1$ e $\vec{N}_2$ sono applicate rispettivamente nel polo $O$ , pertanto hanno momento nullo. Inoltre, si ha

(3) $\begin{equation*} \int_{\Delta t}\vec{M}_3\,dt=\vec{M}_3\int_{\Delta t}dt=\vec{M}_3\Delta t \approx 0, \end{equation*}$

perché l’intervallo di tempo $\Delta t$ è brevissimo e quindi possiamo considerare il momento della forza peso nell’istante dell’urto non dipendente dal tempo, e inoltre essendo tale momento non “grandissimo”, il suo prodotto con $\Delta t$ è circa zero. Avvalendoci di quanto detto, si ha

(4) $\begin{equation*} \Delta \vec{L}_O=\vec{0}, \end{equation*}$

ovvero

(5) $\begin{equation*} \vec{L}_{i,O}=\vec{L}_{f,O}, \end{equation*}$

dove $\vec{L}_{i,O}$ è il momento angolare un’istante prima dell’urto e $\vec{L}_{f,O}$ è il momento angolare dopo l’urto; in altri termini si conserva il momento angolare rispetto al polo $O$ .

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Figura 3: schema della rotazione.

Dal teorema di König, sappiamo che il momento angolare totale di un corpo rigido rispetto ad un sistema di riferimento inerziale è dato dalla somma del momento angolare dovuto al moto del centro di massa e di quello del sistema rispetto al centro di massa, ossia:

(6) $\begin{equation*} \vec{L}_O = \vec{L}^{\, \prime} + {\vec{L}_{\text{CM}}\,} =I_{\text{CM}}\vec{\omega}+ M \, \vec{r}_{\text{CM}} \wedge \vec{v}_{\text{CM}}, \end{equation*}$

dove $M$ è la massa totale del sistema, $\vec{\omega}$ è la velocità angolare, $\vec{r}_{\text{CM}}$ è il vettore posizione del centro di massa rispetto al sistema di riferimento inerziale e $\vec{v}_{\text{CM}}$ è la velocità del centro di massa. Prima dell’urto il corpo rigido trasla con velocità $\vec{v}_0$ , pertanto $\vec{L}^\prime=\vec{0}$ , e quindi il contributo iniziale al momento angolare è dato unicamente dal centro di massa. Sia $\vec{L}_{i,O}$ il momento angolare del cubo rispetto al punto $O$ prima dell’urto, segue dalla (6) che

(7) $\begin{equation*} \vec{L}_{i,O}=M\vec{r}_{CM}\wedge\vec{v_0}=Mv_0a\,\hat{z}, \end{equation*}$

dove il verso del momento angolare è stato determinato applicando la regola della mano destra. In seguito all’urto il corpo rigido rimane incernierato, pertanto ruoterà con velocità angolare $\vec{\omega}$ rispetto ad un asse passante per il polo $O$ , e perpendicolare al piano orizzontale; poiché il moto del cubo rispetto al polo $O$ diventa istantaneamente rotatorio, segue che l’unico contributo al momento angolare un istante dopo l’urto è

(8) $\begin{equation*} \vec{L}_{f,O}=I_O\,\vec{\omega}, \end{equation*}$

dove $I_O$ è il momento d’inerzia del cubo rispetto al polo $O$ . Il teorema Huygens-Steiner ci permette di calcolare il momento di inerzia rispetto ad un asse parallelo a quello noto passante per il centro di massa. Il teorema dice che il momento di inerzia risultante è