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Esercizio urti 21

Urti in Meccanica classica

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L’Esercizio Urti 21 è il ventunesimo della raccolta dedicata agli esercizi misti sugli urti. Questo esercizio segue l’Esercizio Urti 20. Successivamente, gli studenti potranno affrontare l’Esercizio Urti 22. Pensato per gli studenti di Fisica 1, è particolarmente utile per coloro che studiano ingegneria, fisica o matematica.

L’argomento successivo agli urti riguarda gli esercizi sulla gravitazione, mentre l’argomento precedente tratta gli esercizi svolti sulla dinamica del corpo rigido.

 

Testo esercizio urti 21

Esercizio 21 (\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar). Consideriamo un disco di raggio R e massa m posto su un piano orizzontale che sta ruotando con velocità costante \omega ed un’asta di lunghezza R, massa m e spessore trascurabile, la quale procede con velocità \vec{v} come in figura 1. L’asta urta il disco rimandogli attaccata (urto completamente anelastico). Determinare la velocità del centro di massa, la velocità angolare del sistema dopo l’urto e la variazione di energia cinetica prima e dopo l’urto nelle seguenti situazioni:

a) Il disco è vincolato a ruotare rispetto ad un asse passante per il proprio centro di massa e perpendicolare al piano su cui giace;
b) Il disco non ha nessun tipo di vincolo.

Si trascuri ogni forma di attrito.

 

Figura 1: schema del problema.

Svolgimento punto a.

Rappresentiamo il sistema un’istante prima dell’urto in figura 2.

 

Rendered by QuickLaTeX.com

 

Figura 2: rappresentazione del sistema un istante prima dell’urto.

 

L’urto è completamente anelastico quindi il sistema, dopo l’urto, diventa un unico corpo rigido vincolato a ruotare rispetto ad un asse passante per il centro di massa del disco P e perpendicolare al piano su cui giace. Si sviluppa una forza esterna di natura impulsiva applicata nel centro di massa del disco e perciò non si conserva la quantità di moto totale del sistema; osserviamo però che tale forza ha momento nullo rispetto a P quindi si conserva il momento angolare[1].

Calcoliamo il momento angolare del sistema prima dell’urto. È utile applicare il teorema di König per il momento angolare[2] così da determinare il momento angolare prima dell’urto. Osserviamo che l’asta ha momento angolare nullo in quanto la velocità \vec{v} e il raggio vettore che congiunge il suo centro di massa con il centro del disco sono paralleli, quindi il contributo al momento angolare del sistema è dato solo dal disco che ruota rispetto al proprio centro di massa

\[L_{i,1}=I_{i,1}\omega,\]

dove I_{i,1}=\dfrac{1}{2}mR^2 è il momento d’inerzia del disco rispetto al proprio centro di massa. Raffiguriamo il sistema subito dopo l’urto in figura 3.

   

Rendered by QuickLaTeX.com

 

Figura 3: rappresentazione del sistema fisico in esame dopo l’urto.

 

 

Come già detto, un istante dopo l’urto il sistema diventa unico e si muove all’unisono di moto circolare rispetto a P con velocità angolare \omega^\prime per cui possiamo scrivere[3]

\[L_{f,1}=I_{f,1}\omega^\prime\]

dove[4] I_{f,1}=\left(\dfrac{1}{2}mR^2+\dfrac{1}{12}mR^2+m \left(\dfrac{R}{2}+R\right)^2\right)=\dfrac{17}{6}mR^2.

Dalla conservazione del momento angolare abbiamo

\[\begin{aligned} L_{i,1}=L_{f,1}\quad \Leftrightarrow \quad I_{i,1}\omega = I_{f,1}\omega^\prime & \quad \Leftrightarrow \quad \dfrac{1}{2}mR^2\omega = \dfrac{17}{6}mR^2\omega^\prime \quad \Leftrightarrow \quad \\\\ & \quad \Leftrightarrow \quad \dfrac{1}{2}\omega = \dfrac{17}{6}\omega^\prime \quad \Leftrightarrow \quad \\\\ & \quad \Leftrightarrow \quad \omega^\prime =\dfrac{3}{17}\omega. \end{aligned}\]

Si conclude che la velocità angolare subito dopo l’urto è

\[\boxcolorato{fisica}{ \omega^\prime =\dfrac{3}{17}\omega.}\]

 

Calcoliamo l’energia del sistema prima dell’urto; tale energia è data dalla somma dell’energia cinetica rotazionale del disco e dall’energia cinetica dell’asta che trasla senza ruotare. L’energia cinetica iniziale è[5]

\[E_{i,1}=\dfrac{1}{2}mv^2+\dfrac{1}{2}I_{i,1}\omega^2=\dfrac{1}{2}mv^2+\dfrac{1}{4}mR^2\omega^2,\]

mentre dopo l’urto l’energia cinetica sarà solo rotazionale, quindi

\[E_{f,1}=\dfrac{1}{2}I_{f,1}\left(\omega^\prime\right)^2=\dfrac{17}{6}mR^2\left(\omega^\prime\right)^2.\]

Pertanto

\[\begin{aligned} \Delta E & = \dfrac{17}{6}mR^2\left(\omega^\prime\right)^2-\left(\dfrac{1}{2}mv^2+\dfrac{1}{4}mR^2\omega^2\right)= \dfrac{m}{2}\left(\dfrac{17}{3}R^2 {\omega^\prime}^2 - \dfrac{1}{2}R^2\omega^2 - v^2\right)=\\\\ &=\dfrac{m}{2}\left(\dfrac{17}{3}R^2 \left({\dfrac{3}{17}\omega}\right)^2 - \dfrac{1}{2}R^2\omega^2 - v^2\right)=-\dfrac{m}{2}\left(\dfrac{11}{34}R^2\omega^2+v^2\right). \end{aligned}\]

Si conclude che la variazione di energia cinetica è

\[\boxcolorato{fisica}{ \Delta E=-\dfrac{m}{2}\left(\dfrac{11}{34}R^2\omega^2+v^2 \right) .}\]

 


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