Esercizio urti 21

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Esercizio 21 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Consideriamo un disco di raggio $R$ e massa $m$ posto su un piano orizzontale che sta ruotando con velocità costante $\omega$ ed un’asta di lunghezza $R$ , massa $m$ e spessore trascurabile, la quale procede con velocità $\vec{v}$ come in figura. L’asta urta il disco rimandogli attaccata (urto completamente anelastico). Determinare la velocità del centro di massa, la velocità angolare del sistema dopo l’urto e la variazione di energia cinetica prima e dopo l’urto nelle seguenti situazioni:
a) Il disco è vincolato a ruotare rispetto ad un asse passante per il proprio centro di massa e perpendicolare al piano su cui giace;
b) Il disco non ha nessun tipo di vincolo.
Si trascuri ogni forma di attrito.

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Svolgimento punto a. Rappresentiamo il sistema un’istante prima dell’urtoù

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L’urto è completamente anelastico quindi il sistema, dopo l’urto, diventa un unico corpo rigido vincolato a ruotare rispetto ad un asse passante per il centro di massa del disco $P$ e perpendicolare al piano su cui giace. Si sviluppa una forza esterna di natura impulsiva applicata nel centro di massa del disco e perciò non si conserva la quantità di moto totale del sistema; osserviamo però che tale forza ha momento nullo rispetto a $P$ quindi si conserva il momento angolare[1].

Calcoliamo il momento angolare del sistema prima dell’urto. È utile applicare il teorema di König per il momento angolare[2] così da determinare il momento angolare prima dell’urto. Osserviamo che l’asta ha momento angolare nullo in quanto la velocità $\vec{v}$ e il raggio vettore che congiunge il suo centro di massa con il centro del disco sono paralleli, quindi il contributo al momento angolare del sistema è dato solo dal disco che ruota rispetto al proprio centro di massa

$L_{i,1}=I_{i,1}\omega,$

dove $I_{i,1}=\dfrac{1}{2}mR^2$ è il momento d’inerzia del disco rispetto al proprio centro di massa.
Raffiguriamo il sistema subito dopo l’urto in figura 2.

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Come già detto, un istante dopo l’urto il sistema diventa unico e si muove all’unisono di moto circolare rispetto a $P$ con velocità angolare $\omega^\prime$ per cui possiamo scrivere[3]

$L_{f,1}=I_{f,1}\omega^\prime$

dove[4] $I_{f,1}=\left(\dfrac{1}{2}mR^2+\dfrac{1}{12}mR^2+m \left(\dfrac{R}{2}+R\right)^2\right)=\dfrac{17}{6}mR^2$ .

Dalla conservazione del momento angolare abbiamo

$\begin{aligned} L_{i,1}=L_{f,1}\quad \Leftrightarrow \quad I_{i,1}\omega = I_{f,1}\omega^\prime & \quad \Leftrightarrow \quad \dfrac{1}{2}mR^2\omega = \dfrac{17}{6}mR^2\omega^\prime \quad \Leftrightarrow \quad \\\\ & \quad \Leftrightarrow \quad \dfrac{1}{2}\omega = \dfrac{17}{6}\omega^\prime \quad \Leftrightarrow \quad \\\\ & \quad \Leftrightarrow \quad \omega^\prime =\dfrac{3}{17}\omega. \end{aligned}$

Si conclude che la velocità angolare subito dopo l’urto è

$\boxcolorato{fisica}{ \omega^\prime =\dfrac{3}{17}\omega.}$

Calcoliamo l’energia del sistema prima dell’urto; tale energia è data dalla somma dell’energia cinetica rotazionale del disco e dall’energia cinetica dell’asta che trasla senza ruotare. L’energia cinetica iniziale è[5]

$E_{i,1}=\dfrac{1}{2}mv^2+\dfrac{1}{2}I_{i,1}\omega^2=\dfrac{1}{2}mv^2+\dfrac{1}{4}mR^2\omega^2,$

mentre dopo l’urto l’energia cinetica sarà solo rotazionale, quindi

$E_{f,1}=\dfrac{1}{2}I_{f,1}\left(\omega^\prime\right)^2=\dfrac{17}{6}mR^2\left(\omega^\prime\right)^2.$

Pertanto

$\begin{aligned} \Delta E & = \dfrac{17}{6}mR^2\left(\omega^\prime\right)^2-\left(\dfrac{1}{2}mv^2+\dfrac{1}{4}mR^2\omega^2\right)= \dfrac{m}{2}\left(\dfrac{17}{3}R^2 {\omega^\prime}^2 - \dfrac{1}{2}R^2\omega^2 - v^2\right)=\\\\ &=\dfrac{m}{2}\left(\dfrac{17}{3}R^2 \left({\dfrac{3}{17}\omega}\right)^2 - \dfrac{1}{2}R^2\omega^2 - v^2\right)=-\dfrac{m}{2}\left(\dfrac{11}{34}R^2\omega^2+v^2\right). \end{aligned}$

Si conclude che la variazione di energia cinetica è

$\boxcolorato{fisica}{ \Delta E=-\dfrac{m}{2}\left(\dfrac{11}{34}R^2\omega^2+v^2 \right) .}$

Soluzione punto b). Nel secondo caso non abbiamo nessun tipo di vincolo, quindi sul piano orizzontale il sistema è isolato[6] quindi si conserva la quantità di moto totale del sistema e il momento angolare a prescindere dal polo scelto.

Calcoliamo la quantità di moto totale del sistema prima dell’urto, che quindi è data solo dal contributo dell’asta perché un istante prima dell’urto il disco ruota senza traslare:

$p_i=mv.$

Dopo l’urto il sistema diventa un unico corpo di massa $2m$ che trasla con velocità $v^\prime$ , per cui abbiamo

$p_f=2mv^\prime.$

Dalla conservazione della quantità di moto possiamo scrivere

$p_f=p_i \quad \Leftrightarrow \quad (2m)v^\prime=mv\quad \Leftrightarrow \quad v^\prime = \dfrac{v}{2}.$

Si conclude che la velocità del centro di massa dopo l’urto è

$\boxcolorato{fisica}{ v^\prime = \dfrac{v}{2}.}$

È conveniente scegliere però come polo il centro di massa siccome dopo l’urto il sistema ruota rispetto al proprio centro di massa e trasla con velocità costante per il primo principio della dinamica. Dunque, se scegliamo come polo il centro di massa, annulliamo il contributo dovuto al moto del centro di massa

Scegliamo un sistema di riferimento $Oxy$ con origine centrato in $P\equiv O$ come in figura 3.

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Ora calcoliamo le coordinate del centro di massa del sistema rispetto al sistema di riferimento scelto

$\vec{r}_{CM}=-\dfrac{m\left(\dfrac{R}{2}+R\right)}{2m} \,\hat{x}+0\, \hat{y}=-\dfrac{3}{4}R\,\hat{x}.$

Il momento angolare prima dell’urto si determina banalmente tendo conto delle considerazioni fatte nel punto a), prima dell’urto abbiamo

$L_{i,2}=L_{i,1}=I_{i,1}\omega$

e dopo l’urto

$\,\,\,\,\,\,\,\,\,L_{f,2}=I_{2,f}\omega^\prime$

dove $I_{2,f}=\dfrac{1}{2}mR^2+\dfrac{9}{16}mR^2 + \dfrac{1}{12}mR^2 + m \left(\dfrac{R}{2}+\dfrac{R}{4}\right)^2 =\dfrac{41}{24}mR^2.$
Per la conservazione del momento angolare abbiamo

$L_{i,2} = L_{f,2} \quad \Leftrightarrow \quad \dfrac{1}{2}mR^2\omega = \dfrac{41}{24}mR^2 \omega^\prime \quad \Leftrightarrow \quad \dfrac{1}{2}\omega = \dfrac{41}{24}\omega^\prime \quad \Leftrightarrow \quad \omega^\prime = \dfrac{12}{41}\omega$

concludendo così che la velocità angolare dopo l’urto è

$\boxcolorato{fisica}{ \omega^\prime = \dfrac{12}{41}\omega.}$

Calcoliamo la variazione di energia cinetica.
L’energia prima dell’urto è la stessa del punto a)

$E_{i,2}=E_{i,1}= \dfrac{1}{2}mv^2+\dfrac{1}{4}mR^2\omega^2 ,$

mentre dopo l’urto, essendo il sistema non vincolato, traslerà e ruoterà, quindi l’energia cinetica oltre ad avere un contributo rotazionale avrà quello di traslazione[8], ovvero

$E_{f,2}=\dfrac{1}{2}(2m)\left(v^\prime\right)^2+ \dfrac{1}{2}I_{2,f} \left(\omega^\prime\right)^2=m\left(v^\prime\right)^2+ \dfrac{1}{2}I_{2,f} \left(\omega^\prime\right)^2.$

Dunque la variazione di energia è data da

$\begin{aligned} \Delta E & = \dfrac{1}{2}I_{2,f} (\omega^\prime)^2 + m (v^\prime)^2 - \dfrac{1}{2}mv^2-\dfrac{1}{4}mR^2\omega^2 = \dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{41}{24}mR^2 (\omega^\prime)^2 + m(v^\prime)^2 - \dfrac{1}{4}mR^2\omega^2 - \dfrac{1}{2}mv^2 = \\\\ & = \dfrac{41}{48} mR^2 {\omega^\prime}^2 + m{v^\prime}^2 -\dfrac{1}{4}mR^2\omega^2 - \dfrac{1}{2}mv^2 =m\left(\dfrac{41}{48}R^2\cdot \dfrac{12^2}{41^2}\omega^2 + \dfrac{v^2}{4}-\dfrac{1}{4}R^2\omega^2-\dfrac{v^2}{2}\right) =\\\\ &=m\left(\dfrac{3}{41}\omega^2R^2-\dfrac{1}{4}\omega^2R^2+\dfrac{v^2}{4}-\dfrac{v^2}{2}\right)=m\left(-\dfrac{29}{164}\omega^2R^2-\dfrac{v^2}{2}\right)=-m\left(\dfrac{29}{164}\omega^2R^2+\dfrac{v^2}{2}\right). \end{aligned}$

Si conclude che la variazione di energia cinetica è

$\boxcolorato{fisica}{ \Delta E=-m\left(\dfrac{29}{164}\omega^2R^2+\dfrac{v^2}{2}\right).}$

Osservazioni e richiami di teoria.

1. Conservazione del momento angolare. Se la somma dei momenti esterni è nulla rispetto ad un polo fisso, allora il momento angolare totale del sistema si conserva. ↩

2. Teorema di König. Il momento angolare del sistema si può scrivere, nel sistema di riferimento inerziale, come somma del momento angolare dovuto al moto del centro di massa e di quello rispetto al centro di massa, ovvero

(1) $\begin{equation*} \vec{L}=\vec{L}_{CM}+\vec{L}^\prime, \end{equation*}$

dove $\vec{L}$ è il momento angolare totale del sistema rispetto ad un sistema di riferimento fisso, $\vec{L}_{CM}$ è il momento angolare del centro di massa rispetto al sistema di riferimento fisso e $\vec{L}^\prime$ è il momento angolare totale del sistema rispetto al centro di massa. Nel caso dello studio di un corpo rigido, il momento angolare totale del sistema rispetto al centro di massa si può esprimere come

$\vec{L}^\prime=I_{CM}\vec{\omega},$

dove $I_{CM}$ è il momento d’inerzia del sistema rispetto al centro di massa e $\vec{v}_{CM}$ è la velocità del centro di massa.
Il momento angolare del centro di massa rispetto al sistema di riferimento fisso è

$\vec{L}_ {CM}=m\vec{R}\wedge\vec{v}_{CM},$

dove $\vec{v}_{CM}$ la velocità del centro di massa e $\vec{R}$ è la posizione del centro di massa rispetto al sistema.↩

3. Momento angolare 2. Quando un corpo rigido ruota rispetto ad un asse fisso tale che il momento angolare totale $\vec{L}$ sia parallelo ad $\vec{\omega}$ allora

$\vec{L}=I\vec{\omega},$

dove $I$ è il momento d’inerzia rispetto all’asse di rotazione.↩

4. Teorema di Huygens-Steiner. Il momento d’inerzia di un corpo di massa $m$ rispetto ad un asse che si trova ad una distanza $k$ dal centro di massa del corpo è data da

(2) $\begin{equation*} I=I_{CM} + M k^2, \end{equation*}$

dove $I_{CM}$ è il momento d’inerzia rispetto ad un asse parallelo al primo e passante per il centro di massa.

Quando si ha un corpo rigido “complesso”, ovvero dato dall’unione di più corpi rigidi, il momento d’inerzia totale del corpo rigido rispetto ad un asse è sempre dato dalla somma dei momenti d’inerzia di ogni singolo corpo rigido che lo forma.↩

5. Ricordiamo che l’energia cinetica di un corpo rigido che ruota rispetto ad un asse fisso perpendicolare al piano sul quale giace, può essere espressa come segue:

(3) $\begin{equation*} K=\dfrac{1}{2}\int_{\gamma}v^2dm=\dfrac{1}{2}(\dot{\theta})^2\int_{\gamma}R^2dm=\dfrac{1}{2}I(\dot{\theta})^2 \end{equation*}$

dove $\dot{\theta}=\omega$ è la velocità angolare del corpo rigido e $I$ è il momento d’inerzia rispetto all’asse di rotazione. ↩

6. Non ci sono forze esterne. ↩

7. Basta applicare il teorema di König per il momento angolare.
↩

8. L’energia cinetica di un sistema di punti materiali discreto o continuo può essere scritta, nel sistema di riferimento inerziale, come la somma dell’energia cinetica dovuta al moto del centro di massa e di quella del sistema rispetto al centro di massa, ovvero

(4) $\begin{equation*} E=E^\prime+E_{CM} \end{equation*}$

dove $E$ è l’energia cinetica del sistema rispetto al sistema di riferimento inerziale, $E^\prime$ è l’energia cinetica del sistema rispetto al centro di massa e $E_{CM}$ è l’energia cinetica del centro di massa. Nel caso di un corpo rigido abbiamo che l’energia cinetica rispetto al centro di massa è

$E^\prime=\dfrac{1}{2}I_{CM}\omega^2,$

mentre l’energia cinetica del centro di massa è

$E_{CM}=\dfrac{1}{2}mv_{CM}^2,$

da cui

$E=\dfrac{1}{2}mv_{CM}^2 + \dfrac{1}{2}I_{CM}\omega^2.$

↩