Esercizio urti 20

Urti in Meccanica classica

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Esercizio 20 (\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar). Sopra un piano orizzontale liscio è posto un disco di massa m=0.1 kg e raggio R=10 cm, che ruota con velocità angolare costante \omega=40\,\text{rad}\cdot \text{s}^{-1} attorno ad un asse verticale passante per il centro O. Una sbarretta di massa m e lunghezza R si muove sul piano con velocità costante v=4\,\text{m}\cdot \text{s}^{-1} lungo una linea retta passante per O. Ad un certo istante la sbarretta urta il bordo del disco e vi rimane attaccata in direzione radiale. Se l asse di rotazione è fisso, calcolare:

a) la velocità angolare \omega' del sistema disco-sbarretta dopo l’urto.

Se invece il disco è libero di muoversi, calcolare:

b) dopo l urto la velocità del centro di massa del sistema e la velocità angolare \omega''.

 

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Svolgimento punto a. Analizziamo il sistema composto dalla sbarretta e dal disco. Osserviamo anzitutto che l’urto che si verifica tra la sbarretta e il disco è un urto in presenza di vincoli, pertanto non avremo la conservazione della quantità di moto e dell’energia cinetica. Consideriamo però la situazione durante l’urto in figura 1:

 

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L’urto tra la sbarretta e il disco genera una coppia di forze interne \vec{F} e -\vec{F} uguali in modulo, aventi stessa direzione ma verso opposto. Si determina anche una forza esterna resistiva \vec{R}, la quale è rappresentata in figura 1 in termini delle sue componenti parallela alla direzione della velocità della sbarretta \vec{R}_x e perpendicolare \vec{R}_y. Poiché l’unica forza esterna presente ha momento nullo in quanto è applicata direttamente al polo O, e pertanto ha braccio nullo rispetto a quest’ultimo, il momento angolare del sistema si conserva. Un istante prima dell’urto, la sbarretta ha momento angolare L_s nullo; infatti, applicando la definizione di momento angolare, prendendo un elementino dm dell’asta, si osserva che ha momento angolare nullo rispetto al polo O, poiché la velocità \vec{v} è parallela al vettore posizione tra il polo O e la posizione di dm. Dunque, il momento angolare iniziale coincide con il momento angolare del disco, ossia

(1)   \begin{equation*} L_i = \dfrac{1}{2} m R^2 \omega. \end{equation*}

Una volta avvenuto l’urto, il momento angolare da considerare è quello del sistema sbarretta-disco, ossia:

(2)   \begin{equation*} L_f = (I_s + I_d) \omega', \end{equation*}

dove I_s= \dfrac{1}{12}mR^2 + m\left(\dfrac{R}{2}+R\right)^2 è il momento d’inerzia della sbarretta ricavato usando il teorema di Steiner, considerando come asse di rotazione l’asse passante per O, mentre I_d = \dfrac{1}{2} m R^2 è il momento d’inerzia del disco. Dall’uguaglianza di L_i e L_f è adesso possibile determinare \omega', come richiesto nel primo punto del problema

(3)   \begin{equation*} \dfrac{1}{2} m R^2 \omega = \left(\dfrac{1}{12}mR^2 + \dfrac{9}{4}mR^2 + \dfrac{1}{2} m R^2\right) \omega', \end{equation*}

da cui

(4)   \begin{equation*} \dfrac{1}{2} m R^2 \omega = \dfrac{17}{6}mR^2\omega', \end{equation*}

cioè

    \[\boxcolorato{fisica}{ \omega'=\dfrac{3}{17}\omega= 7,1 \,\text{rad}\,\cdot{s}^{-1}.}\]

 

Svolgimento punto b).  Supponiamo adesso, in accordo con la richiesta successiva del problema, che il disco non sia vincolato in O; l’urto, in questo caso, causerà una rototraslazione del sistema, di seguito illustrata:

 

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In figura 2 è rappresentata la rototraslazione del sistema sistema dopo l’urto, avendo assunto che l’asta rimanga attaccata al disco. Il momento dell’urto è rappresentato usando una linea tratteggiata (sinistra), mentre una linea continua caratterizza il sistema in un istante successivo al momento dell’urto (destra).
Esaminiamo tale tipo di urto nel dettaglio: in questo caso il vincolo è assente, e al termine dell’urto il sistema sbarretta-disco si allontana con la sbarretta attaccata al disco. Siamo pertanto in presenza di un urto completamente anelastico, in cui si conserva la quantità di moto. In particolare, varrà che la quantità di moto iniziale \vec{p}_i = m\vec{v}, alla quale contribuisce soltanto la sbarretta, avente velocità non nulla, sarà uguale alla quantità di moto finale \vec{p}_f=2m\vec{v}_f, relativa all’intero sistema (di massa 2m) che si allontana a velocità \vec{v}_f lungo la stessa direzione di \vec{v}. Pertanto,

(5)   \begin{equation*} mv=2mv_f, \end{equation*}

da cui ricaviamo la velocità del centro di massa richiesta dal punto b) del problema

    \[\boxcolorato{fisica}{ v_f=\dfrac{v}{2}= 2\,\text{m}\cdot \text{s}^{-1}.}\]

Dopo l’urto il sistema continua a ruotare, sebbene, essendo adesso libero, la rotazione avviene attorno all’asse passante per il centro di massa del sistema.. Determiniamo la posizione del centro di massa. Per farlo, consideriamo la seguente illustrazione del sistema:

 

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Consideriamo dapprima indipendentemente la sbarretta e il disco. Il centro di massa di una sbarretta in cui la massa è distribuita uniformemente si trova a metà della sbarretta stessa; pertanto, nell’illustrazione, tale centro di massa si trova alla posizione x'_{cm}=\dfrac{R}{2}, avendo scelto come origine degli assi l’estremità libera della sbarretta. Per il disco vale invece che x''_{cm} coincide con il centro del disco stesso; nel sistema di riferimento scelto, pertanto, x''_{cm}=2R. La coordinata x del centro di massa dell’intero sistema si ottiene

(6)   \begin{equation*} x_{cm}=\frac{mx'_{cm}+mx''_{cm}}{2m}=\dfrac{\dfrac{mR}{2}+2mR}{2m}=\dfrac{5}{4}R, \end{equation*}

immaginando cioè che le masse dell’asta e del disco siano interamente concentrate nei rispettivi centri di massa, e calcolando poi il centro di massa dell’intero sistema con la usuale formula. È possibile ora determinare i momenti d’inerzia di sbarretta e disco usando il teorema di Steiner; in particolare, varrà per la sbarretta

(7)   \begin{equation*} I_s= \frac{1}{12}mR^2 + m\left(\frac{5}{4}R-\frac{1}{2}R\right)^2=\dfrac{31}{48}mR^2, \end{equation*}

mentre per il disco

(8)   \begin{equation*} I_d= \frac{1}{2}mR^2 + m\left(2R-\frac{5}{4}R\right)^2=\dfrac{17}{16}mR^2. \end{equation*}

Per la conservazione del momento angolare, si avrà allora che

(9)   \begin{equation*} \frac{1}{2}mR^2 \omega = (I_s+I_d) \omega''=\left(\dfrac{31}{48}mR^2+\dfrac{17}{16}mR^2\right)\omega''=\dfrac{41}{24}mR^2\omega^{\prime\prime}, \end{equation*}

da cui

(10)   \begin{equation*} \omega=\dfrac{41}{24}\omega^{\prime\prime}, \end{equation*}

cioè

(11)   \begin{equation*} \omega^{\prime\prime}=\dfrac{24}{41}\omega. \end{equation*}

In definitiva, dunque la velocità angolare richiesta dal punto b) del problema è

    \[\boxcolorato{fisica}{ \omega^{\prime\prime}=\dfrac{24}{41}\omega=\text{11,7}\,\text{rad}\cdot \text{s}^{-1}.}\]

 

 

Fonte: P. Mazzoldi, M. Nigro e C. Voci – Elementi di fisica, EdiSES.