Esercizio urti 20

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L’Esercizio Urti 20 è il ventesimo della raccolta dedicata agli esercizi misti sugli urti. Questo esercizio segue l’Esercizio Urti 19. Successivamente, gli studenti potranno affrontare l’Esercizio Urti 21. Pensato per gli studenti di Fisica 1, è particolarmente utile per coloro che studiano ingegneria, fisica o matematica.

L’argomento successivo agli urti riguarda gli esercizi sulla gravitazione, mentre l’argomento precedente tratta gli esercizi svolti sulla dinamica del corpo rigido.

Testo esercizio urti 20

Esercizio 20 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Sopra un piano orizzontale liscio è posto un disco di massa $m=\text{0,1 kg}$ e raggio $R=\text{10 cm}$ , che ruota con velocità angolare costante $\omega=40\,\text{rad}\cdot \text{s}^{-1}$ attorno ad un asse verticale passante per il centro $O$ . Una sbarretta di massa $m$ e lunghezza $R$ si muove sul piano con velocità costante $v=4\,\text{m}\cdot \text{s}^{-1}$ lungo una linea retta passante per $O$ . Ad un certo istante la sbarretta urta il bordo del disco e vi rimane attaccata in direzione radiale. Se l’asse di rotazione è fisso, calcolare:

a) la velocità angolare $\omega'$ del sistema disco-sbarretta dopo l’urto.

Se invece il disco è libero di muoversi, calcolare:

b) dopo l urto la velocità del centro di massa del sistema e la velocità angolare $\omega''$ .

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Figura 1: schema del problema.

Svolgimento punto a.

Analizziamo il sistema composto dalla sbarretta e dal disco. Osserviamo anzitutto che l’urto che si verifica tra la sbarretta e il disco è un urto in presenza di vincoli, pertanto non avremo la conservazione della quantità di moto e dell’energia cinetica. Consideriamo però la situazione durante l’urto in figura 2.

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Figura 2: Rappresentazione del sistema all’istante dell’urto.

L’urto tra la sbarretta e il disco genera una coppia di forze interne $\vec{F}$ e $-\vec{F}$ uguali in modulo, aventi stessa direzione ma verso opposto. Si determina anche una forza esterna resistiva $\vec{R}$ , la quale è rappresentata in figura 2 in termini delle sue componenti parallela alla direzione della velocità della sbarretta $\vec{R}_x$ e perpendicolare $\vec{R}_y$ . Poiché l’unica forza esterna presente ha momento nullo in quanto è applicata direttamente al polo $O$ , e pertanto ha braccio nullo rispetto a quest’ultimo, il momento angolare del sistema si conserva. Un istante prima dell’urto, la sbarretta ha momento angolare $L_s$ nullo; infatti, applicando la definizione di momento angolare, prendendo un elementino $dm$ dell’asta, si osserva che ha momento angolare nullo rispetto al polo $O$ , poiché la velocità $\vec{v}$ è parallela al vettore posizione tra il polo $O$ e la posizione di $dm$ . Dunque, il momento angolare iniziale coincide con il momento angolare del disco, ossia

(1) $\begin{equation*} L_i = \dfrac{1}{2} m R^2 \omega. \end{equation*}$

Una volta avvenuto l’urto, il momento angolare da considerare è quello del sistema sbarretta-disco, ossia:

(2) $\begin{equation*} L_f = (I_s + I_d) \omega', \end{equation*}$

dove $I_s= \dfrac{1}{12}mR^2 + m\left(\dfrac{R}{2}+R\right)^2$ è il momento d’inerzia della sbarretta ricavato usando il teorema di Steiner, considerando come asse di rotazione l’asse passante per $O$ , mentre $I_d = \dfrac{1}{2} m R^2$ è il momento d’inerzia del disco. Dall’uguaglianza di $L_i$ e $L_f$ è adesso possibile determinare $\omega'$ , come richiesto nel primo punto del problema