Esercizio urti 19

Urti in Meccanica classica

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Esercizio 19  (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Un corpo rigido formato da un’asta di massa m = 1.5 kg e lunghezza d e da un disco di eguale massa e raggio R = d/4, è posato sopra un piano orizzontale su cui può muoversi senza attrito ed è inizialmente in quiete. Un punto materiale di massa M = 0.4 kg, in moto con velocità v = 10 \,{\text{m}}\cdot{\text{s}^{-1}}, urta il corpo rigido nel punto P distante r = 7/8\ d dall’estremo O e vi resta attaccato. Nell’ipotesi che sul corpo non agisca alcun vincolo:

a) descrivere il moto del sistema corpo-punto dopo l’urto, precisando se si tratta di moto traslatorio, rotatorio o rototraslatorio;

b) calcolare la velocità del centro di massa del sistema dopo l’urto.

Se invece il corpo è vincolato in O, attorno a cui può ruotare, calcolare:

c) la velocità del centro di massa del sistema dopo l’urto;

d) l’impulso subito dal perno in O durante l’urto.

 

 

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Svolgimento punto a) e b).  Al fine di rispondere alla prima domanda, occorre studiare cosa accade al sistema in esame, che assumeremo, da ora in avanti, composto dalla massa M, dall’asta e dal disco, durante l’urto; in altre parole, studiamo la quantità di moto totale del sistema e il momento angolare totale del sistema per caratterizzare gli eventuali moti di traslazione o rotazione. Iniziamo le nostre considerazioni considerando la figura 1 e determinando la posizione del centro di massa del sistema: scegliendo un sistema fisso di assi cartesiani Oxy tale che l’origine coincida con il punto O, osserviamo che il sistema è simmetrico rispetto all’asse x, pertanto varrà che y_{CM}=0. Studiamo a questo punto le forze a cui è sottoposto il sistema in esame; in particolare, le uniche forze esterne sono le forze peso dei componenti e le reazioni vincolari di ognuno di essi, le quali però, essendo dirette perpendicolarmente al piano, sono ininfluenti ai fini dei ragionamenti successivi. Concentriamoci dunque solo sulle forze le cui direzioni giacciono sul piano orizzontale; in tale piano non sono presenti forze esterne; nell’urto si generano due forze impulsive, ma sono interne al sistema. Pertanto ricordando la prima e la seconda legge cardinale della dinamica per i corpi rigidi:

(1)   \begin{equation*} \begin{cases} \displaystyle\sum_{k=1}^n {\vec{F}_k\,}^{\text{\tiny ext}} = \dfrac{d\vec{P}_t}{dt}\\\\ \displaystyle \sum_{k=1}^n {\vec{M}_k\,}^{\text{\tiny ext}} -m \vec{v}_O \wedge \vec{v}_{CM} = \dfrac{d\vec{L}_O}{dt} \end{cases} \end{equation*}

dove \displaystyle \sum_{k=1}^n {\vec{F}_k\,}^{\text{\tiny ext}} è la somma di tutte le forze esterne al sistema, \vec{P}_t è la quantità di moto totale del sistema, \displaystyle \sum_{k=1}^n {\vec{M}_k\,}^{\text{\tiny ext}} è la somma di tutti i momenti esterni al sistema, \vec{v}_O è la velocità del polo scelto per il calcolo del momento angolare totale del sistema, \vec{v}_{CM} è la velocità del centro di massa ed infine \vec{L}_O è il momento della quantità di moto totale del sistema[1]. In virtù di quanto detto, dato che non sono presenti forze esterne nel momento dell’urto, la seconda legge cardinale diventa

(2)   \begin{equation*} -m \vec{v}_O \wedge \vec{v}_{CM} = \dfrac{d\vec{L}_O}{dt}; \end{equation*}

risulta dunque chiaro che se scegliamo come polo O il centro di massa si ha

(3)   \begin{equation*} \vec{0}= \dfrac{d\vec{L}_O}{dt}, \end{equation*}

troviamo dunque che se scegliamo come polo il centro di massa, il momento angolare totale del sistema si conserva. Inoltre si osservi che siccome nell’urto non ci sono forze esterne di natura impulsiva, se scegliamo una situazione fisica tale che \vec{v}_O \wedge \vec{v}_{CM}=\vec{0} si conserva il momento angolare totale del sistema.

 

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Per determinare x_{CM} occorre effettuare il calcolo tenendo conto dei tre contributi relativi rispettivamente all’asta (chiameremo x_A il centro di massa dell’asta; data la simmetria di tale oggetto, il centro di massa sarà localizzato al centro dello stesso, ossia vale x_A = \dfrac{d}{2}), alla massa M (il centro di massa x_M coincide con la massa puntiforme stessa, la quale si trova alla posizione x=r rispetto a O) ed al disco (ricordiamo che, assumendo che la distribuzione di massa del disco sia uniforme, il centro di massa coincide x_D coincide con il centro del disco, localizzato alla posizione x_D=d+\dfrac{d}{4}). Pertanto sarà

(4)   \begin{equation*} x_{CM}=\dfrac{mx_A+Mx_M+mx_D}{2m+M}=\dfrac{\dfrac{d}{2}m+\dfrac{7}{8}dM+\left(d+\dfrac{d}{4}\right)m}{2m+M}=\dfrac{\dfrac{7}{4}dm+\dfrac{7}{8}dM}{2m+M}=\dfrac{7d\left(2m+M\right)}{8\left(2m+M\right)}=\frac{7}{8}d. \end{equation*}

L’urto dunque avviene proprio nel centro di massa del sistema. Osserviamo che \vec{v}\wedge \vec{r}=\vec{0} con \vec{r} distanza tra punto materiale M e il centro di massa un istante prima dell’urto. Dunque, il momento angolare iniziale del sistema risulta essere nullo poiché asta e disco sono in quiete. Dalla conservazione del momento angolare si deduce che dopo l’urto non c’è rotazione. Inoltre, siccome la somma delle forze esterne è nulla la velocità del centro di massa risulta essere costante, ossia il centro di massa si muove di moto rettilineo uniforme. Da quanto detto deduciamo che il sistema si muove all’unisono traslando con velocità M\vec{v}/(2m+M) che è anche la risposta al punto b) del problema.

 

Punto c).  Supponiamo adesso, in accordo con le richieste successive del problema, che il corpo sia vincolato in O. In questo caso, l’urto della massa M nel punto P produrrà una rotazione del sistema attorno ad O, come illustrato nella figura successiva:

 

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Esaminiamo tale tipo di urto nel dettaglio: essendo un urto relativo a un sistema con vincolo, non si avrà la conservazione della quantità di moto e dell’energia cinetica; l’unica quantità che si conserva nel processo è il momento angolare. Infatti, essendo la coppia di forze \vec{F} e -\vec{F} una coppia interna al sistema, l’unica forza esterna al sistema è la reazione vincolare \vec{R}, che in figura è rappresentata in termini delle componenti \vec{R}_x e \vec{R}_y; quest’ultima però ha braccio nullo, essendo direttamente applicata in O. La conservazione del momento angolare si scrive pertanto come segue:

(5)   \begin{equation*} rMv = I \omega, \end{equation*}

dove il primo membro rappresenta il momento angolare iniziale (a cui contribuisce solamente la massa M con quantità di moto M\vec{v}), mentre il secondo membro è rappresentativo del momento angolare dell’intero sistema, che ruota adesso attorno ad O con velocità angolare \omega. Si noti inoltre che il momento d’inerzia I è la somma dei momenti d’inerzia delle tre componenti del sistema, tutte rotanti attorno ad O:

(6)   \begin{equation*} I=I_{asta}+I_M+I_{disco}, \end{equation*}

dove:

    \[\begin{aligned} & I_{asta} = \frac{1}{12}md^2 + m\left(\frac{d}{2}\right)^2; \\ & I_{M} = Mr^2 = M\left(\frac{7}{8}d\right)^2;\\ & I_{disco} = \frac{1}{2}m\left(\frac{d}{4}\right)^2 + m\left(d+\frac{d}{4}\right)^2. \end{aligned}\]

 

È importante notare che, nel caso dell’asta e del disco in particolare, il momento d’inerzia è ottenuto applicando il teorema di Steiner (utile per l’appunto per determinare il momento d’inerzia di oggetti che ruotano attorno a un asse non passante per il centro di massa e parallelo ad esso). Dall’equazione (5) è possibile determinare la velocità lineare del centro di massa dopo l’urto v_l osservando che \omega = \dfrac{v_l}{r}:

    \[\boxcolorato{fisica}{ v_l=\frac{r^2Mv}{I}=\dfrac{\left(\dfrac{7}{8}\right)d^2Mv}{\left(\dfrac{185}{96}m+\dfrac{49}{64}M\right)d^2}=0.95 \,{\text{m}}\cdot{\text{s}^{-1}}.}\]

 

Punto d). Calcoliamo, infine, l’impulso \Delta p subito dal perno in O durante l’urto: determiniamo pertanto la variazione di quantità di moto nel processo come segue

(7)   \begin{equation*} \left \vert \Delta p\right \vert =\left \vert p_f - p_i \right \vert = \left \vert (2m+M) v_l - Mv\right \vert , \end{equation*}

dove la velocità del centro di massa v_l è già stata ricavata al punto c) del problema. Si trova dunque facilmente la soluzione al punto d) del problema

    \[\boxcolorato{fisica}{ J=\left \vert \Delta p\right \vert = 0.77 \,\text{kg $\cdot$m}\cdot\text{s}^{-1},}\]

cioè l’impulso generato dal vincolo.

 

 

1. Il polo O è un polo generico e non coincide in generale con l’origine del sistema di riferimento.

 

Fonte: P. Mazzoldi, M. Nigro e C. Voci – Elementi di fisica, EdiSES.