Esercizio urti 18

Urti in Meccanica classica

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Esercizio 18  (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Due dischi identici di massa M=5 kg e raggio R=0,2 m sono liberi di ruotare indipendentemente attorno ad un asse orizzontale fisso passante per i loro centri. Attorno al disco A è avvolto un filo che sostiene una massa m=2 kg. Si lascia libera m ed il disco A si mette in moto mentre il disco B resta fermo. Nell’istante in cui il disco A raggiunge la velocità angolare \omega_i=15\,\,\text{rad}\cdot \text{s}^{-1} il disco B viene spinto contro A e vi rimane incollato. Calcolare:

a) la velocità angolare del sistema subito dopo l’urto;

b) l’impulso trasmesso all’asse nell’urto.

Supporre che il disco A sia incernierato e il disco B sia libero di scorrere lungo l’asse di rotazione; questo ci permette di spostare il disco B dalla sua posizione iniziale e con un’opportuna forza esterna spingerlo contro il blocco A.

 

Rendered by QuickLaTeX.com

 

Svolgimento. Consideriamo il sistema composto dalla massa m e dai due dischi di massa M. Studiamo l’urto che avviene tra tra il disco A e il disco B; entrambi sono vincolati a ruotare attorno all’asse passante per i centri. In tale tipo di urto si conserva solamente la conservazione del momento angolare. In effetti, al momento dell’urto, si generano due forze interne, \textcolor[HTML]{FF0000}{\vec{F}} e \textcolor[HTML]{FF0000}{-\vec{F}}, uguali in modulo, aventi la stessa direzione ed opposte in verso per il terzo principio della dinamica. Si genera anche una forza esterna al sistema, \vec{R}, di reazione al vincolo, la quale però ha braccio nullo rispetto all’asse di rotazione dei due dischi perché la stiamo immaginando proprio applicata nel centro dei due dischi.

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Possiamo dunque studiare la conservazione del momento angolare durante l’urto; consideriamo allora il momento angolare iniziale L_i

(1)   \begin{equation*} L_i=\dfrac{1}{2}MR^2\omega_i+mR^2\omega_i, \end{equation*}

il quale è ottenuto dalla somma del contributo in momento angolare del disco A (l’unico in rotazione prima dell’urto) e della massa m[1] . Il momento angolare finale L_f sarà invece ottenuto da

(2)   \begin{equation*} L_f=\dfrac{1}{2}MR^2\omega_f+\dfrac{1}{2}MR^2\omega_f+mR^2\omega_f, \end{equation*}

dove \omega_f è la velocità angolare del sistema subito dopo l’urto; in questo caso i dischi sono attaccati e sono entrambi in rotazione. Pertanto, imponendo la conservazione del momento angolare, si ha

(3)   \begin{equation*} L_i= L_f, \end{equation*}

da cui

(4)   \begin{equation*} \dfrac{1}{2}MR^2\omega_i+mR^2\omega_i=\dfrac{1}{2}MR^2\omega_f+\dfrac{1}{2}MR^2\omega_f+mR^2\omega_f, \end{equation*}

o anche

(5)   \begin{equation*} \omega_f=\left(\dfrac{\dfrac{1}{2}MR^2+mR^2}{MR^2+mR^2}\right) \omega_i=\dfrac{\left(2m+M\right)\omega_i}{2(m+M)}=\dfrac{\text{(2$\cdot$2+5)}15}{2(2+5)}\,\text{rad}\cdot\text{s}^{-1}= . \end{equation*}

Si conclude che 

    \[\boxcolorato{fisica}{ \omega_f=\dfrac{\left(2m+M\right)\omega_i}{2(m+M)}=9.64\,\,\text{rad}\cdot \text{s}^{-1}.}\]

 

Punto b.  Per determinare l’impulso trasmesso all’asse durante l’urto osserviamo che quest’ultimo deve essere totalmente relativo alla massa m: infatti, essendo l’asse di rotazione anche l’asse passante per i baricentri dei dischi, la variazione di quantità di moto di questi ultimi è nulla. Soltanto la massa m ha una variazione apprezzabile di quantità di moto, la quale viene trasmessa all’asse dato che il moto della massa m si sviluppa perpendicolarmente alla direzione dell’asse stesso. Per determinare tale impulso, basta studiare la variazione di quantità di moto nel processo, e dunque, in modulo, cioè

(6)   \begin{equation*} \left \vert \Delta p\right \vert =\left \vert m\omega_f R-m\omega_i R\right \vert = \left \vert -2.144\,\,\text{kg}\cdot \text{m}\cdot \text{s}^{-1}\right \vert=2.144\,\,\text{kg}\cdot \text{m}\cdot \text{s}^{-1} , \nonumber \end{equation*}

da cui

    \[\boxcolorato{fisica}{ \begin{equation} J= \left \vert \Delta p\right \vert =\left \vert m\omega_f R-m\omega_i R\right \vert = 2.144\,\,\text{kg}\cdot \text{m}\cdot \text{s}^{-1} ,}\]

che rappresenta la soluzione al punto b) del problema.

 

 

 

1. Supponendo il filo inestensibile e la massa puntiforme, il contributo in momento angolare è quello di un punto di massa m situato a distanza R dall’asse di rotazione.

 

 

 

 

Fonte: P. Mazzoldi, M. Nigro e C. Voci – Elementi di fisica, EdiSES.