Esercizio urti 17

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L’Esercizio Urti 17 è il diciassettesimo della raccolta dedicata agli esercizi misti sugli urti. Questo esercizio segue l’Esercizio Urti 16. Successivamente, gli studenti potranno affrontare l’Esercizio Urti 18. Pensato per gli studenti di Fisica 1, è particolarmente utile per coloro che studiano ingegneria, fisica o matematica.

L’argomento successivo agli urti riguarda gli esercizi sulla gravitazione, mentre l’argomento precedente tratta gli esercizi svolti sulla dinamica del corpo rigido.

Testo esercizio urti 17

Esercizio 17 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Due aste uguali, ciascuna di massa $m_2 = \text{0,72 kg}$ e lunghezza $d = \text{0,8 m}$ , sono fissate tra loro come mostrato in figura (stesso centro, angolo $90^\circ$ ); esse stanno in un piano verticale e possono ruotare attorno ad un asse fisso orizzontale passante per il loro centro $O$ e ortogonale al piano che le contiene. Inizialmente le aste sono in quiete, con l’asta $AB$ verticale. Un proiettile puntiforme, avente massa $m_1 = \text{0,15 kg}$ e velocità $v_1$ , in moto lungo la linea orizzontale tratteggiata, colpisce l’estremo $B$ e vi resta conficcato. A seguito dell’urto il sistema entra in rotazione con velocità angolare $\omega_0 = \text{5 rad}\cdot\text{s}^{-1}$ . Calcolare:

a) il valore di $v_1$ .

Nell’istante in cui è stato compiuto un quarto di giro, per cui l’asta $AB$ è orizzontale, la velocità angolare vale $\omega= \text{5,6 rad}\cdot\text{s}^{-1}$ . Calcolare:

b) il valore del momento di attrito $M$ costante che agisce sull’asse di rotazione;

c) sempre nello stesso istante in cui $\omega= \text{5,6 rad}\cdot\text{s}^{-1}$ , le componenti tangenziale e normale dell’accelerazione di $m_1$ .

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Figura 1: schema del problema.

Svolgimento punto a.

Osserviamo per prima cosa che nell’urto tra il proiettile puntiforme e l’asta $AB$ non si ha la conservazione della quantità di moto e dell’energia cinetica; l’asta $AB$ , infatti, è soggetta ad un vincolo (l’asse fisso orizzontale passante per $O$ ). Osserviamo che nell’urto si conserva il momento angolare rispetto al polo $O$ . L’urto del proiettile con l’asta, infatti, genera due forze impulsive uguali e opposte, indicate con $\vec{F}$ e $-\vec{F}$ interne al sistema formato dal proiettile e le due aste. In risposta all’impatto del proiettile, il vincolo genera una forza impulsiva $\vec{R}$ esterna al sistema, la quale, essendo applicata nel polo $O$ , ha braccio nullo e pertanto ha momento nullo[1].

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Figura 2: rappresentazione delle forze impulsive e vincolari nell’urto tra il proiettile e l’asta $AB$ .

Prima dell’urto, l’unico contributo al momento angolare è relativo alla massa $m_1$ ; in particolare, rispetto al polo $O$ , esso è dato da

(1) $\begin{equation*} L_i=\frac{d}{2}m_1v_1. \end{equation*}$

Dopo l’urto, consideriamo invece il momento angolare relativo al sistema aste-proiettile, il quale un istante immediatamente dopo l’urto ruota rispetto al polo $O$ ; denoteremo pertanto il momento angolare finale con $L_f$ , ed esso sarà dato da

(2) $\begin{equation*} L_f=m_1\left(\frac{d}{2}\right)^2\omega_0+2\left(\frac{1}{12}m_2d^2\right)\omega_0, \end{equation*}$

dove il primo termine a secondo membro rappresenta il momento angolare del proiettile puntiforme, mentre il secondo termine rappresenta il contributo dovuto alle due aste; in questo senso, $m_1\left(\dfrac{d}{2}\right)^2$ rappresenta il momento d’inerzia associato al proiettile che ruota attorno al polo $O$ , mentre $\dfrac{1}{12}m_2d^2$ è il momento d’inerzia di un’asta che ruota rispetto al proprio centro di massa nelle ipotesi che la massa sia distribuita in modo uniforme. Per la conservazione del momento angolare, pertanto, $L_i=L_f$ , e cioè: