Prezzi Registrazione Login
Qui si risolve LOGO
a

Menu

M

Chiudi

Esercizio urti 16

Urti in Meccanica classica

Home » Esercizio urti 16

L’Esercizio Urti 16 è il sedicesimo della raccolta dedicata agli esercizi misti sugli urti. Questo esercizio segue l’Esercizio Urti 15. Successivamente, gli studenti potranno affrontare l’Esercizio Urti 17. Pensato per gli studenti di Fisica 1, è particolarmente utile per coloro che studiano ingegneria, fisica o matematica.

L’argomento successivo agli urti riguarda gli esercizi sulla gravitazione, mentre l’argomento precedente tratta gli esercizi svolti sulla dinamica del corpo rigido.

 

Testo esercizio urti 16

Esercizio 16 (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Una molla di costante elastica k e massa trascurabile, viene compressa di una lunghezza l. Al suo estremo viene appoggiato un corpo di massa m su un piano orizzontale senza attrito (si veda la figura 1).
Riestendendosi, la molla lancia il corpo che urta tangenzialmente contro la periferia di un disco omogeneo di massa M e raggio R. Dopo l’urto il corpo rimbalza indietro nella stessa direzione di prima dell’urto con velocità v_0. Si determini:

a) la velocità angolare \omega con cui il disco ruota dopo l’urto;
b) se c’è stata nell’urto variazione di energia cinetica e, se sì, quanto vale;
c) il modulo dell’impulso ricevuto dal supporto dell’asse del disco;
d) nell’ipotesi che la massa m non torni indietro e non ci siano urti successivi al primo, determinare il numero di giri fatti dal disco prima di fermarsi se sul suo asse agisce un momento di attrito \tau_0 costante.

 

Rendered by QuickLaTeX.com

 

Figura 1: schema del problema.

 

Svolgimento punto a).

Prima dell’urto con il disco, quando la massa m è a contatto con la molla, la massa m è soggetta solo a forze conservative e quindi possiamo applicare il principio di conservazione dell’energia meccanica[1] per determinare la velocità \vec{v}_1 con la quale lascia la molla (è la stessa velocità posseduta dal punto materiale m prima di urtare il disco in quanto il piano orizzontale sul quale scorre la massa m è privo di attrito, quindi, per il primo principio della dinamica, si muove di moto rettilineo uniforme[2]):

\[\dfrac{1}{2}k\l^2=\dfrac{1}{2}mv_1^2 \quad \Leftrightarrow \quad v_1^2 = \dfrac{k\l^2}{m} \quad \Leftrightarrow \quad v_1 = \l\sqrt{\dfrac{k}{m}} .\]

Nell’istante in cui la massa m urta il disco si sviluppa una forza uguale ed opposta, di natura impulsiva[3] sul disco e sulla massa m che cercherà di far traslare il disco (ma essendo esso vincolato, non traslerà) ed inoltre, si genera un momento che farà ruotare il disco in senso antiorario avendo così una velocità angolare iniziale \vec{\omega}, mentre la massetta m ritornerà indietro con una velocità \vec{v}_0 per ipotesi. Durante l’urto, il vincolo fa sì che si generi una forza esterna di natura anch’essa impulsiva applicata proprio nel centro del disco. Se scegliamo come polo il centro del disco per il calcolo dei momenti delle forze esterne osserviamo che si conserva il momento angolare[4].

Calcoliamo il momento angolare un istante prima dell’urto[5][6]

\[L_i=mRv_1\]

e dopo l’urto[7], utilizzando il teorema di König per il momento angolare[8] abbiamo[9]

\[L_f=-mv_0R+I_{CM}\omega=-mv_0R+\dfrac{1}{2}mR^2\omega.\]

Dalla conservazione del momento angolare si ha

\[\begin{aligned} L_i = L_f & \quad \Leftrightarrow \quad mv_1R = -mv_0 R + \dfrac{1}{2}mR^2 \omega &&\quad \Leftrightarrow \quad \\ & \quad \Leftrightarrow \quad m(v_1+v_0) R = \dfrac{1}{2}MR^2 \omega &&\quad \Leftrightarrow \quad \omega = \dfrac{2m(v_1+v_0)}{MR}. \end{aligned}\]

Dunque, si conclude che la risposta al punto a) è quella che segue

\[\boxcolorato{fisica}{\omega=\dfrac{2m\left(v_1+v_0 \right) }{MR}.}\]

 


Questa parte è riservata agli abbonati

per continuare a leggere, attiva un abbonamento.

• Mensile: 7,99€ / mese • Trimestrale: 19,99€ / 3 mesi • Annuale: 79,99€ / anno

Attiva abbonamento

Già abbonato? Accedi