Esercizio urti 16

Urti in Meccanica classica

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Esercizio 16 (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Una molla di costante elastica k e massa trascurabile, viene compressa di una lunghezza l. Al suo estremo viene appoggiato un corpo di massa m su un piano orizzontale senza attrito (vedi figura).
Riestendendosi, la molla lancia il corpo che urta tangenzialmente contro la periferia di un disco omogeneo di massa M e raggio R. Dopo l’urto il corpo rimbalza indietro nella stessa direzione di prima dell’urto con velocità v_0. Si determini:
a) la velocità angolare \omega con cui il disco ruota dopo l’urto;
b) se c’è stata nell’urto variazione di energia cinetica e, se sì, quanto vale;
c) il modulo dell’impulso ricevuto dal supporto dell’asse del disco;
d) nell’ipotesi che la massa m non torni indietro e non ci siano urti successivi al primo, determinare il numero di giri fatti dal disco prima di fermarsi se sul suo asse agisce un momento di attrito \tau_0 costante.

 

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Svolgimento punto a).

Prima dell’urto con il disco, quando la massa m è a contatto con la molla, la massa m è soggetta solo a forze conservative e quindi possiamo applicare il principio di conservazione dell’energia meccanica[1] per determinare la velocità \vec{v}_1 con la quale lascia la molla (è la stessa velocità posseduta dal punto materiale m prima di urtare il disco in quanto il piano orizzontale sul quale scorre la massa m è privo di attrito, quindi, per il primo principio della dinamica, si muove di moto rettilineo uniforme[2]):

    \[\dfrac{1}{2}k\l^2=\dfrac{1}{2}mv_1^2 \quad \Leftrightarrow \quad v_1^2 = \dfrac{k\l^2}{m} \quad \Leftrightarrow \quad v_1 = \l\sqrt{\dfrac{k}{m}} .\]

Nell’istante in cui la massa m urta il disco si sviluppa una forza uguale ed opposta, di natura impulsiva[3] sul disco e sulla massa m che cercherà di far traslare il disco (ma essendo esso vincolato, non traslerà) ed inoltre, si genera un momento che farà ruotare il disco in senso antiorario avendo così una velocità angolare iniziale \vec{\omega}, mentre la massetta m ritornerà indietro con una velocità \vec{v}_0 per ipotesi.
Durante l’urto, il vincolo fa sì che si generi una forza esterna di natura anch’essa impulsiva applicata proprio nel centro del disco. Se scegliamo come polo il centro del disco per il calcolo dei momenti delle forze esterne osserviamo che si conserva il momento angolare[4].

Calcoliamo il momento angolare un istante prima dell’urto[5][6]

    \[L_i=mRv_1\]

e dopo l’urto[7], utilizzando il teorema di König per il momento angolare[8] abbiamo[9]

    \[L_f=-mv_0R+I_{CM}\omega=-mv_0R+\dfrac{1}{2}mR^2\omega.\]

Dalla conservazione del momento angolare si ha

    \[\begin{aligned} L_i = L_f & \quad \Leftrightarrow \quad mv_1R = -mv_0 R + \dfrac{1}{2}mR^2 \omega &&\quad \Leftrightarrow \quad \\ & \quad \Leftrightarrow \quad m(v_1+v_0) R = \dfrac{1}{2}MR^2 \omega &&\quad \Leftrightarrow \quad \omega = \dfrac{2m(v_1+v_0)}{MR}. \end{aligned}\]

Dunque, si conclude che la risposta al punto a) è quella che segue

    \[\boxcolorato{fisica}{\omega=\dfrac{2m\left(v_1+v_0 \right) }{MR}.}\]

 

Soluzione punto b).

Per calcolare l’energia dissipata nell’urto bisogna calcolare l’energia cinetica prima e dopo l’urto del sistema.
In generale quando si ha un sistema di punti materiali discreto o continuo l’energia totale del sistema è data dalla somma delle energie cinetiche di ognuno di essi.

Dunque, prima dell’urto l’energia sarà data solo dalla massa m poiché è in movimento mentre il disco è fermo[10]:

    \[E_i=\dfrac{1}{2}mv^2_1,\]

mentre dopo l’urto[11] , tenendo conto che il punto materiale avrà una velocità in modulo v_0 e il disco ruoterà rispetto ad un asse orizzontale passante per il proprio centro di massa, si ha

    \[E_F=\dfrac{1}{2}mv^2_0+\dfrac{1}{2}I_{CM}\omega^2=\dfrac{1}{2}mv^2_0+\dfrac{1}{2}\left( \dfrac{1}{2}MR^2\right)\omega^2=\dfrac{1}{2}mv^2_0+\dfrac{1}{4}MR^2\omega^2.\]

Calcoliamo la variazione di energia cinetica

    \[\begin{aligned} E_f-E_i & =\dfrac{1}{2}mv^2_0+\dfrac{1}{4}MR^2\omega^2-\dfrac{1}{2}mv^2_1=\\ & = \dfrac{1}{2}mv^2_0+\dfrac{1}{4}MR^2\left( \dfrac{2m\left(v_1+v_0 \right) }{MR}\right)^2-\dfrac{1}{2}m\left(l\sqrt{\dfrac{k}{m}} \right)^2=\\ & = \dfrac{1}{2}mv^2_0+\dfrac{m^2\left(v_1+v_0 \right)^2}{M}-\dfrac{1}{2}l^2k. \end{aligned}\]

Si conclude che la risposta al punto b è quella che segue

    \[\boxcolorato{fisica}{ E_f-E_i=\dfrac{1}{2}mv^2_0+\dfrac{m^2\left(v_1+v_0 \right)^2}{M}-\dfrac{1}{2}l^2k.}\]

 

Soluzione punto c).

Nell’urto si generano come già detto delle forze impulsive tra disco e massa m alle quali possono essere associati due impulsi uguali ed opposti agenti su ciascuno[12]. Il modulo dell’impulso è dato dalla seguente relazione[13]

    \[J = \Delta p = m\left(v_1+v_0 \right)=m\left(l\sqrt{\dfrac{k}{m}} +v_0 \right).\]

Il modulo dell’impulso generato dal vincolo è lo stesso per la terza legge della dinamica.

 

Soluzione punto d).

Dopo l’urto il disco ruoterà con velocità angolare \omega che con il tempo diminuirà per la presenza di un momento di attrito \tau_0 rispetto all’asse di rotazione.
Nel caso in cui agisca un momento di attrito, ipotizzato costante di modulo \tau_0 e applicando la seconda legge cardinale per i corpi rigidi[14] rispetto al centro di massa del disco abbiamo[15]

    \[I_{CM}\alpha = -\tau_0 \quad \Leftrightarrow \quad \alpha = -\dfrac{\tau_0}{\frac{1}{2}MR^2}.\]

Osserviamo che la decelerazione è costante[16]

e applichiamo la seguente legge

    \[\omega(\theta)^2=\omega^2_0+2(\theta-\theta_i)\alpha,\]

dove \omega(\theta) è la velocità angolare in una generica posizione \theta, \omega_0 è la velocità angolare iniziale.
Poniamo \omega(\theta) = 0, \omega_0=\omega, \theta-\theta_0 = 2\pi n e n il numero di giri compiuti, allora

    \[0 = \omega^2 +4\pi n \left( -\dfrac{\tau_0}{\frac{1}{2}MR^2} \right) \quad \Leftrightarrow \quad n = \dfrac{MR^2\omega^2}{8\pi\tau_0}.\]

 

Secondo metodo punto d).

Ricordiamo che l’energia cinetica di un corpo rigido che ruota rispetto ad un asse fisso perpendicolare al piano sul quale giace può essere espressa come segue:

(1)   \begin{equation*} K=\dfrac{1}{2}\int_{\gamma}v^2dm=\dfrac{1}{2}(\dot{\theta})^2\int_{\gamma}R^2dm=\dfrac{1}{2}I(\dot{\theta})^2 \end{equation*}

dove \dot{\theta}=\omega è la velocità angolare del corpo rigido.
Applichiamo il teorema delle forze vive (o dell’energia cinetica)[17] tenendo conto che la velocità angolare finale è nulla si ha

    \[\dfrac{1}{2}I_{CM}\omega^2 = \int_0^{2\pi n} \tau_0 \, d\theta = \tau_0 2\pi n\quad \Leftrightarrow \quad \dfrac{1}{4}MR^2\omega^2 = 2\pi n \tau_0 \quad \Leftrightarrow\quad n = \dfrac{MR^2\omega^2}{8\pi\tau_0}.\]

Si conclude che la risposta al punto d) del problema è quella che segue

    \[\boxcolorato{fisica}{ n = \dfrac{MR^2\omega^2}{8\pi\tau_0}.}\]

 

Osservazioni e richiami di teoria.

1. Principio di conservazione dell’energia. Se su un punto materiale agiscono solo forze conservative, allora la somma dell’energia cinetica e potenziale rimane costante durante il moto, ovvero

(2)   \begin{equation*} K+U=costante. \end{equation*}

dove K=\frac{1}{2}mv^2 con v modulo della velocità in un generico istante ed U energia potenziale associata al punto materiale nello stesso istante, che analiticamente può essere espressa in vari modi a seconda dell’entità della forza conservativa. ↩

 

2. Solo dopo aver lasciato la molla. ↩

 

3. Forza di durata molto breve.↩

 

4.Si ricorda che in generale se un polo è fisso e la somma di tutti i momenti esterni rispetto ad esso è nulla si conserva il momento angolare del sistema. Inoltre, le forze che si generano nell’urto tra disco e massa m sono forze interne ed infine la forza impulsiva generata dal vincolo è applicata nel polo e il suo momento è nullo. ↩

 

5. Si ricorda che il momento angolare di un punto materiale rispetto ad un punto è definito come \vec{L}_i=\vec{r}\wedge\vec{p} dove \vec{p}=m\vec{v} e \vec{r} è il vettore che individua il punto materiale rispetto al punto di riferimento. ↩

 

6. Prima dell’urto il disco è fermo quindi non dà contributo al momento angolare iniziale.↩

 

7. Siccome il disco ruota e la massa m torna indietro, entrambi danno un contributo al momento angolare finale..↩

 

8. Teorema di König per il momento angolare. Il momento angolare totale di un corpo rigido rispetto ad un sistema di riferimento inerziale è la somma del momento angolare dovuto al moto del centro di massa sommato a quello del sistema rispetto al centro di massa, in formule:

(3)   \begin{equation*} \vec{L}_O = \vec{L}^{\, \prime} + {\vec{L}_{CM}\,} =I_{CM}\vec{\omega}+ M \, \vec{r}_{CM} \wedge \vec{v}_{CM}, \end{equation*}

dove M è la massa totale del sistema, \vec{\omega} è la velocità angolare, \vec{r}_{CM} è il vettore posizione del centro di massa rispetto al sistema di riferimento inerziale e \vec{v}_{CM} è la velocità del centro di massa.↩

 

9. Siccome il polo rispetto al quale stiamo calcolando il momento angolare coincide con il centro di massa del disco, il contributo da parte del disco al momento angolare totale del sistema sarà L_{\text{Disco}}=I_{CM}\omega e, siccome il punto materiale m avrà una velocità opposta a quella che aveva prima dell’urto con il disco, il momento angolare sarà negativo, ovvero L_{f,m}=-mv_0R. ↩

 

10. Si ricorda che l’energia cinetica è definita come E=\dfrac{1}{2}mv^2. ↩

 

11. L’energia cinetica del disco sarà solo rotazionale ovvero E=\dfrac{1}{2}I\omega^2, con I momento d’inerzia rispetto all’asse di rotazione.↩

 

12. Teorema dell’impulso. Dato un punto materiale, se su di esso è applicata una forza, ad esempio di natura impulsiva, l’integrale di tale forza in un intervallo di tempo genera una variazione della quantità di moto e tale integrale si definisce come impulso

(4)   \begin{equation*} \vec{j}=\int_{t_i}^{t_f}\vec{F}\, dt=\Delta \vec{p}. \end{equation*}

↩

 

13. È importante notare che la velocità \vec{v_1} è diretta orizzontalmente verso destra prima dell’urto, mentre \vec{v}_0 è diretta orizzontalmente verso sinistra, quindi, ad esempio, scegliendo un sistema di riferimento Ox con l’asse x orientato positivamente verso destra, si ha

    \[\vec{v}_1=v_1\,\hat{x}\quad \text{e} \quad \vec{v}_0=-v_0\,\hat{x},\]

da cui

    \[\Delta\vec{p}=m\left(\vec{v}_0-\vec{v}_1 \right)=m\left(-v_0-v_1 \right) \hat{x}=-m\left(v_0+v_1 \right)\hat{x}.\]

In particolare, il modulo della quantità di moto è

    \[\Delta p=m\left(v_0+v_1 \right).\]

↩

 

14. La seconda legge cardinale per i corpi rigidi:

(5)   \begin{equation*} \displaystyle \sum_{k=1}^n {\vec{M}_k\,}^{\text{\tiny ext}} -m \vec{v}_O \wedge \vec{v}_{CM} = \dfrac{d\vec{L}_O}{dt}, \end{equation*}

dove \displaystyle \sum_{k=1}^n {\vec{M}_k\,}^{\text{\tiny ext}} è la somma di tutti i momenti esterni al sistema, \vec{v}_O è la velocità del polo scelto per il calcolo del momento angolare totale del sistema , \vec{v}_{CM} è la velocità del centro di massa ed infine \vec{L}_O è il momento della quantità di moto totale del sistema.
Nota. Il polo O è un punto generico e non coincide in generale con l’origine del sistema di riferimento. ↩

 

15. Il polo è fisso quindi si ha \vec{v}_O \wedge \vec{v}_{CM}=\vec{0}, \displaystyle \sum_{k=1}^n {\vec{M}_k\,}^{\text{\tiny ext}}=\vec{\tau}_0 e inoltre il disco possiede una certa simmetria rispetto ad un asse passante per il centro di massa, quindi, ricordando che il momento d’inerzia è definito come I=\int r^2 \,dm dove r è la distanza di un elemento elementare dm del disco rispetto all’asse di rotazione la seconda legge cardinale diventa

    \[\sum_{k=1}^n {\vec{M}_k\,}^{\text{\tiny ext}}=I_{CM}\vec{\alpha},\]

dove \vec{\alpha} è l’accelerazione angolare e I_{CM} il momento d’inerzia del disco rispetto al centro di massa. ↩

 

16. Il segno meno dell’accelerazione sta ad indicare convenzionalmente che il disco frena. ↩

 

17. Il teorema delle forze vive (o dell’energia cinetica) nel caso di un sistema di n punti materiali afferma che la somma dei lavori delle forze interne ed esterne uguaglia la somma delle variazioni di energia cinetica di ogni punto materiale, in formule

(6)   \begin{equation*} \sum_{k=1}^{n}L^{ext}_k+\sum_{k=1}^{n}L^{int}_k=K_{t,f}-K_{t,i} \end{equation*}

dove \displaystyle\sum_{k=1}^{n}L^{ext} è la somma di tutti i lavori delle forze esterne, \displaystyle\sum_{k=1}^{n}L^{int}_k è la somma dei lavori di tutte le forze interne,K_{t,f}=\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{2}m_kv_{f,k}^2 è la somma di tutte le energie cinetiche finali di ogni singolo punto materiale e infine K_{t,i}=\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{2}m_kv_{i,k}^2 è la somma di tutte le energie cinetiche iniziali del sistema.↩

 

18. Si ricorda che il lavoro del momento è definito come

    \[L=\int_{\theta_i}^{\theta_f}M\,d\theta.\]

Nota. il Joule può essere espresso come Newton per metro. ↩