Esercizio urti 22

Urti in Meccanica classica

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Esercizio 22 (\bigstar\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar). Una guida rettilinea, inclinata rispetto all’orizzontale di un angolo \alpha è saldata ad un blocco A appoggiato su di un piano orizzontale liscio; la massa complessiva della guida e del blocco è m_A.
Un corpo B, di piccole dimensioni e massa m_B, può scorrere lungo la guida con attrito trascurabile ed è collegato all’estremità superiore della guida mediante una molla di costante elastica k e lunghezza di riposo \ell_0.
Inizialmente il sistema è in quiete e in condizioni di equilibrio, un piccolo corpo di massa m_c è in caduta verticale, urta con velocità di modulo v_0 contro B e vi rimane attaccato. Si determini:

  1. il modulo a_A dell’accelerazione del blocco A subito dopo l’urto.
  2. Il modulo v_A della velocità del blocca A subito dopo l’urto.

Nel disegno che segue è stato rappresento un sistema di riferimento fisso 0xy, che può essere considerato come il “laboratorio” dal quale si osserveranno gli eventi che seguiranno prima e dopo l’urto.

 

 

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Svolgimento. Punto 1. Analizziamo il sistema prima dell’urto. Scegliamo un sistema di riferimento fisso O^\prime x^\prime y^\prime, tale per cui l’asse x^\prime sia parallelo alla guida rettilinea, come nella figura che segue.

 

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Per la seconda legge della diniaca nella direzione x^\prime, si ha

(1)   \begin{equation*} k\Delta x_{\text{eq}}-m_B g\sin\alpha=0\quad \Leftrightarrow \quad \Delta x_{eq}=\dfrac{m_B g\sin\alpha}{k}, \end{equation*}

dove \Delta x_{\text{eq}} è di quanto è allungata la molla quando il corpo m_B è in equilibrio prima dell’urto.
Analizziamo il sistema un’istante dopo l’urto. Nell’urto tra m_B ed m_C si genera una forza istantanea di natura impulsiva che perturba il sistema; di conseguenza il sistema entrerà in moto e non rimarrà più in equilibrio.
Scegliamo un sistema di riferimento non inerziale O^\prime x^\prime y^\prime solidale con m_A, orientato come il precedente sistema di riferimento, come nella figura che segue.

 

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Dalla seconda legge della dinamica per il corpo di massa m_B+m_C, nel sistema di riferimento O^\prime x^\prime y^\prime, si ha

(2)   \begin{equation*} \begin{cases} N-\left(m_B+m_C\right)a_A\sin\alpha+\left(m_B+m_C\right)g\cos\alpha=0\\ k\Delta x_{\text{eq}}-\left(m_B+m_C\right)a_A\cos\alpha-\left(m_B+m_C\right)g\sin\alpha=\left(m_B+m_C\right)a^\prime, \end{cases} \end{equation*}

dove a_A è l’accelerazione di A rispetto al laboratorio, N è il modulo della reazione vincolare tra la guida e il corpo m_B+m_C, \left(m_B+m_C\right)a_A\sin\alpha è la proiezione della forza apparente -(m_B+m_C)\vec{a}_A nella direzione dell’asse y^\prime, (m_B+m_C) g\cos \alpha è la proiezione della forza peso (m_B+m_C)\vec{g} nella direzione dell’asse y^\prime, k\Delta x_{\text{eq}} è la forza della molla nella direzione dell’asse x^\prime, -\left(m_B+m_C\right)a_A\cos\alpha è la proiezione della forza apparente -(m_B+m_C)\vec{a}_A nella direzione dell’asse x^\prime, -(m_B+m_C) g\sin \alpha è la proiezione della forza peso (m_B+m_C)\vec{g} nella direzione dell’asse x^\prime, e infine a^\prime è il modulo dell’accelerazione relativa di m_B+m_C rispetto ad A. Si osservi che il vettore \vec{a}{\,^\prime} è diretto nella sola direzione x^\prime perché il corpo m_B+m_C è vincolato a muoversi in quella direzione.
Dal sistema (2) si trova che

(3)   \begin{equation*} N=\left(m_B+m_C\right)g\cos\alpha-\left(m_B+m_C\right)a_A\sin\alpha . \end{equation*}

Osserviamo che M è soggetto alle forze -\vec{N} e -k\Delta\vec{x}_{\text{eq}}, uguale ed opposte ad \vec{N} e k\Delta\vec{x}_{\text{eq}} rispettivamente, per il terzo principio della dinamica. Nella figura che segue riportiamo le forze che agiscono su m_A.

 

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Osservando dal laboratorio, lungo l’asse delle x per la seconda legge della dinamica per m_A, si ha

(4)   \begin{equation*} N\sin\alpha-k\Delta x_{eq}\cos\alpha=m_Aa_A , \end{equation*}

dove N\sin \alpha è la proiezione delle forza -\vec{N} lungo l’asse delle x e -k\Delta x_{eq}\cos\alpha è la proiezione della forza della molla -k\Delta \vec{x}_{eq} lungo l’asse delle x.
Sostituiamo N (calcolata in (3)) in (4), ottenendo

(5)   \begin{equation*} \begin{aligned} &\left(\left(m_B+m_C\right)g\cos\alpha-\left(m_B+m_C\right)a_A\sin\alpha\right)\sin\alpha-k\Delta x_{\text{eq}}\cos\alpha=m_Aa_A\quad \Leftrightarrow\\ &\Leftrightarrow \quad\left(m_B+m_C\right)g\cos\alpha\sin\alpha-k\Delta x_{\text{eq}}\cos\alpha=m_Aa_A+\left(m_B+m_C\right)a_A\left(\sin\alpha\right)^2\quad\Leftrightarrow \\ &\Leftrightarrow\quad a_A=\dfrac{\left(m_B+m_C\right)g\cos\alpha\sin\alpha-k\Delta x_{\text{eq}}\cos\alpha}{m_A+\left(m_B+m_C\right)\sin^2\alpha}. \end{aligned} \end{equation*}

L’accelerazione di A subito dopo l’urto in funzione di \Delta x_{\text{eq}} è

(6)   \begin{equation*} \boxed{a_A=\dfrac{\left(m_B+m_C\right)g\cos\alpha\sin\alpha-k\Delta x_{\text{eq}}\cos\alpha}{m_A+\left(m_B+m_C\right)\sin^2\alpha}.} \end{equation*}

Sostituendo \Delta x_{eq} (calcolata in (1)) in (6), otteniamo

(7)   \begin{equation*} \begin{aligned} &a_A=\dfrac{\left(m_B+m_C\right)g\cos\alpha\sin\alpha-m_Bg\sin\alpha \cos\alpha}{m_A+\left(m_B+m_C\right)\sin^2\alpha}=\\ &=\dfrac{m_Cg\cos\alpha \sin\alpha}{M+\left(m_B+m_C\right)\sin^2\alpha}. \end{aligned} \end{equation*}

Si conclude che il modulo dell’accelerazione subito dopo l’urto è

    \[\boxcolorato{fisica}{ a_A=\dfrac{m_Cg\cos\alpha \sin\alpha}{m_A+\left(m_B+m_C\right)\sin^2\alpha}.}\]

 

Punto 2.  Consideriamo il sistema composto da m_A,\,m_B ed m_C. Nell’urto si genera una forza esterna di natura istantanea che perturba il sistema lungo la verticale (asse delle y). Da quanto detto deduciamo che si conserva la quantità di moto totale del sistema lungo l’orizzontale. Calcoliamo la quantità di moto p_{i,x} prima dell’urto lungo l’orizzontale. Siccome tutto è in quiete prima dell’urto si ha

(8)   \begin{equation*} p_{ABC,i,x}=0. \end{equation*}

Analizziamo la situazione dopo l’urto. Avvenuto l’urto la molla collegata ad m_B+m_C si allungherà di una quantità x^\prime, come illustrato nella figura che segue.

 

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Chiamiamo x_A la posizione del centro di massa del blocco m_A rispetto al sistema fisso. La quantità di moto del sistema dopo l’urto lungo l’orizzontale rispetto al laboratorio può essere scritta come segue

(9)   \begin{equation*} p_{ABC,f,x}=m_A\dot{x}_A+\left(m_B+m_C\right)\left(-\dot{x}^\prime\cos\alpha+\dot{x}_A\right), \end{equation*}

dove \dot{x}_A e -\dot{x}^\prime\cos\alpha+\dot{x}_A sono rispettivamente la velocità di A e m_B+m_C nella direzione dell’asse delle x.

Imponiamo la conservazione della quantità di moto, cioè

(10)   \begin{equation*} p_{ABC,i,x}=p_{ABC,f,x}, \end{equation*}

da cui, sfruttando le equazioni (8) e (9), l’equazione (10) diventa

(11)   \begin{equation*} 0=m_A \dot{x}_A+\left(m_B+m_C\right)\left(-\dot{x}^\prime \cos\alpha+\dot{x}_A\right). \end{equation*}

Consideriamo ora il sistema composto da m_B e m_C.
Osserviamo che lungo la direzione della guida rettilinea si conserva (asse x^\prime) la quantità di moto del sistema composto da m_B e m_C.
Prima dell’urto la quantità di moto è

(12)   \begin{equation*} p_{BC,i}=-m_Cv_0\sin\alpha . \end{equation*}

Dopo l’urto la quantità di moto è

(13)   \begin{equation*} p_{BC,f}=\left(m_B+m_C\right)\left(\dot{x}_A\cos\alpha-\dot{x}^\prime\right). \end{equation*}

Imponiamo la conservazione della quantità di moto. Abbiamo dunque

(14)   \begin{equation*} p_{BC,i}=p_{BC,f}, \end{equation*}

da cui, sfruttando le equazioni (12) e (13), l’equazione (14) diventa

(15)   \begin{equation*} -m_Cv_0\sin\alpha=\left(m_B+m_C\right)\left(\dot{x}_A\cos\alpha-\dot{x}^\prime\right). \end{equation*}

Mettiamo a sistema le equazioni (11) e (15), si ottiene

(16)   \begin{equation*} \begin{aligned} &\begin{cases} -m_Cv_0\sin\alpha=\left(m_B+m_C\right)\left(\dot{x}_A\cos\alpha-\dot{x}^\prime\right)\\ m_A \dot{x}_A+\left(m_B+m_C\right)\left(-\dot{x}^\prime\cos\alpha+\dot{x}_A\right)=0 \end{cases}\Leftrightarrow\\\\ &\Leftrightarrow\quad \begin{cases} -m_Cv_0\sin\alpha=\left(m_B+m_C\right)\dot{x}_A\cos\alpha-\left(m_B+m_C\right)\dot{x}^\prime\\ m_A \dot{x}_A-\dot{x}^\prime\cos\alpha\left(m_B+m_C\right)+\dot{x}_A\left(m_B+m_C\right)=0 \end{cases}\quad \Leftrightarrow\\\\ &\Leftrightarrow \quad\begin{cases} \dot{x}^\prime=\dfrac{m_Cv_0\sin\alpha+\left(m_B+m_C\right)\dot{x}_A\cos\alpha}{\left(m_B+m_C\right)}\\ m_A \dot{x}_A-\dot{x}^\prime\cos\alpha \left(m_B+m_C\right)+\dot{x}_A\left(m_B+m_C\right)=0, \end{cases} \end{aligned} \end{equation*}

pertanto

(17)   \begin{equation*} \begin{aligned} &m_A \dot{x}_A+\dot{x}_A\left(m_B+m_C\right)-\cos\alpha\left(m_Cv_0\sin\alpha+\left(m_B+m_C\right)\dot{x_A}\cos\alpha\right)=0\quad \Leftrightarrow\\ &\Leftrightarrow\quad \dot{x}_A\left(m_\alpha+\left(m_B+m_C\right)\sin^2\alpha\right)=m_Cv_0\sin\alpha\cos\alpha\quad \Leftrightarrow\\ &\Leftrightarrow \quad \dot{x}_A=v_A=\dfrac{m_Cv_0\sin\alpha \cos\alpha}{\left(m_A+\left(m_B+m_C\right)\sin^2\alpha\right)}. \end{aligned} \end{equation*}

Si conclude che la velocità di A dopo l’urto è

    \[\boxcolorato{fisica}{ v_A=\dfrac{m_Cv_0\sin\alpha \cos\alpha}{\left(m_A+\left(m_B+m_C\right)\sin^2\alpha\right)}.}\]

 

Fonte: Problemi di fisica generale – S.Rosati e L. Lovitch.