Esercizio urti 22

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L’Esercizio Urti 22 è il ventiduesimo della raccolta dedicata agli esercizi misti sugli urti. Questo esercizio segue l’Esercizio Urti 21. Successivamente, gli studenti potranno affrontare l’Esercizio Urti 23. Pensato per gli studenti di Fisica 1, è particolarmente utile per coloro che studiano ingegneria, fisica o matematica.

L’argomento successivo agli urti riguarda gli esercizi sulla gravitazione, mentre l’argomento precedente tratta gli esercizi svolti sulla dinamica del corpo rigido.

Testo esercizio urti 22

Esercizio 22 $(\bigstar\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Una guida rettilinea, inclinata rispetto all’orizzontale di un angolo $\alpha$ è saldata ad un blocco $A$ appoggiato su di un piano orizzontale liscio; la massa complessiva della guida e del blocco è $m_A$ .
Un corpo $B$ , di piccole dimensioni e massa $m_B$ , può scorrere lungo la guida con attrito trascurabile ed è collegato all’estremità superiore della guida mediante una molla di costante elastica $k$ e lunghezza di riposo $\ell_0$ .
Inizialmente il sistema è in quiete e in condizioni di equilibrio, un piccolo corpo di massa $m_c$ è in caduta verticale, urta con velocità di modulo $v_0$ contro $B$ e vi rimane attaccato. Si determini:

il modulo $a_A$ dell’accelerazione del blocco $A$ subito dopo l’urto.
Il modulo $v_A$ della velocità del blocca $A$ subito dopo l’urto.

Nel disegno che segue è stato rappresento un sistema di riferimento fisso $Oxy$ , che può essere considerato come il “laboratorio” dal quale si osserveranno gli eventi che seguiranno prima e dopo l’urto.

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Figura 1: schema del problema.

Svolgimento punto 1.

Analizziamo il sistema prima dell’urto. Scegliamo un sistema di riferimento fisso $O^\prime x^\prime y^\prime$ , tale per cui l’asse $x^\prime$ sia parallelo alla guida rettilinea, come nella figura 2.

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Figura 2: rappresentazione dei sistemi di riferimento.

Per la seconda legge della diniaca nella direzione $x^\prime$ , si ha

(1) $\begin{equation*} k\Delta x_{\text{eq}}-m_B g\sin\alpha=0\quad \Leftrightarrow \quad \Delta x_{eq}=\dfrac{m_B g\sin\alpha}{k}, \end{equation*}$

dove $\Delta x_{\text{eq}}$ è di quanto è allungata la molla quando il corpo $m_B$ è in equilibrio prima dell’urto. Analizziamo il sistema un’istante dopo l’urto. Nell’urto tra $m_B$ ed $m_C$ si genera una forza istantanea di natura impulsiva che perturba il sistema; di conseguenza il sistema entrerà in moto e non rimarrà più in equilibrio. Scegliamo un sistema di riferimento non inerziale $O^\prime x^\prime y^\prime$ solidale con $m_A$ , orientato come il precedente sistema di riferimento, come nella figura 3.

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Figura 3: rappresentazione del sistema di riferimento non inerziale.

Dalla seconda legge della dinamica per il corpo di massa $m_B+m_C$ , nel sistema di riferimento $O^\prime x^\prime y^\prime$ , si ha

(2) $\begin{equation*} \begin{cases} N-\left(m_B+m_C\right)a_A\sin\alpha+\left(m_B+m_C\right)g\cos\alpha=0\\ k\Delta x_{\text{eq}}-\left(m_B+m_C\right)a_A\cos\alpha-\left(m_B+m_C\right)g\sin\alpha=\left(m_B+m_C\right)a^\prime, \end{cases} \end{equation*}$

dove $a_A$ è l’accelerazione di $A$ rispetto al laboratorio, $N$ è il modulo della reazione vincolare tra la guida e il corpo $m_B+m_C$ , $\left(m_B+m_C\right)a_A\sin\alpha$ è la proiezione della forza apparente $-(m_B+m_C)\vec{a}_A$ nella direzione dell’asse $y^\prime$ , $(m_B+m_C) g\cos \alpha$ è la proiezione della forza peso $(m_B+m_C)\vec{g}$ nella direzione dell’asse $y^\prime$ , $k\Delta x_{\text{eq}}$ è la forza della molla nella direzione dell’asse $x^\prime$ , $-\left(m_B+m_C\right)a_A\cos\alpha$ è la proiezione della forza apparente $-(m_B+m_C)\vec{a}_A$ nella direzione dell’asse $x^\prime$ , $-(m_B+m_C) g\sin \alpha$ è la proiezione della forza peso $(m_B+m_C)\vec{g}$ nella direzione dell’asse $x^\prime$ , e infine $a^\prime$ è il modulo dell’accelerazione relativa di $m_B+m_C$ rispetto ad $A$ . Si osservi che il vettore $\vec{a}{\,^\prime}$ è diretto nella sola direzione $x^\prime$ perché il corpo $m_B+m_C$ è vincolato a muoversi in quella direzione. Dal sistema (2) si trova che

(3) $\begin{equation*} N=\left(m_B+m_C\right)g\cos\alpha-\left(m_B+m_C\right)a_A\sin\alpha . \end{equation*}$

Osserviamo che $M$ è soggetto alle forze $-\vec{N}$ e $-k\Delta\vec{x}_{\text{eq}}$ , uguale ed opposte ad $\vec{N}$ e $k\Delta\vec{x}_{\text{eq}}$ rispettivamente, per il terzo principio della dinamica. Nella figura 4 riportiamo le forze che agiscono su $m_A$ .

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Figura 4: rappresentazione delle forze agenti su $m_A$ .

Osservando dal laboratorio, lungo l’asse delle $x$ per la seconda legge della dinamica per $m_A$ , si ha

(4) $\begin{equation*} N\sin\alpha-k\Delta x_{eq}\cos\alpha=m_Aa_A , \end{equation*}$

dove $N\sin \alpha$ è la proiezione delle forza $-\vec{N}$ lungo l’asse delle $x$ e $-k\Delta x_{eq}\cos\alpha$ è la proiezione della forza della molla $-k\Delta \vec{x}_{eq}$ lungo l’asse delle $x$ . Sostituiamo $N$ (calcolata in (3)) in (4), ottenendo

(5) $\begin{equation*} \begin{aligned} &\left(\left(m_B+m_C\right)g\cos\alpha-\left(m_B+m_C\right)a_A\sin\alpha\right)\sin\alpha-k\Delta x_{\text{eq}}\cos\alpha=m_Aa_A\quad \Leftrightarrow\\ &\Leftrightarrow \quad\left(m_B+m_C\right)g\cos\alpha\sin\alpha-k\Delta x_{\text{eq}}\cos\alpha=m_Aa_A+\left(m_B+m_C\right)a_A\left(\sin\alpha\right)^2\quad\Leftrightarrow \\ &\Leftrightarrow\quad a_A=\dfrac{\left(m_B+m_C\right)g\cos\alpha\sin\alpha-k\Delta x_{\text{eq}}\cos\alpha}{m_A+\left(m_B+m_C\right)\sin^2\alpha}. \end{aligned} \end{equation*}$

L’accelerazione di $A$ subito dopo l’urto in funzione di $\Delta x_{\text{eq}}$ è

(6) $\begin{equation*} \boxed{a_A=\dfrac{\left(m_B+m_C\right)g\cos\alpha\sin\alpha-k\Delta x_{\text{eq}}\cos\alpha}{m_A+\left(m_B+m_C\right)\sin^2\alpha}.} \end{equation*}$

Sostituendo $\Delta x_{eq}$ (calcolata in (1)) in (6), otteniamo

(7) $\begin{equation*} \begin{aligned} &a_A=\dfrac{\left(m_B+m_C\right)g\cos\alpha\sin\alpha-m_Bg\sin\alpha \cos\alpha}{m_A+\left(m_B+m_C\right)\sin^2\alpha}=\\ &=\dfrac{m_Cg\cos\alpha \sin\alpha}{M+\left(m_B+m_C\right)\sin^2\alpha}. \end{aligned} \end{equation*}$

Si conclude che il modulo dell’accelerazione subito dopo l’urto è

$\boxcolorato{fisica}{ a_A=\dfrac{m_Cg\cos\alpha \sin\alpha}{m_A+\left(m_B+m_C\right)\sin^2\alpha}.}$

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