Login Abbonati
Accedi ai contenuti scaricabili
a

Menu

M

Chiudi

Esercizio urti 21

Urti in Meccanica classica

Home » Esercizio urti 21

L’Esercizio Urti 21 è il ventunesimo della raccolta dedicata agli esercizi misti sugli urti. Questo esercizio segue l’Esercizio Urti 20. Successivamente, gli studenti potranno affrontare l’Esercizio Urti 22. Pensato per gli studenti di Fisica 1, è particolarmente utile per coloro che studiano ingegneria, fisica o matematica.

L’argomento successivo agli urti riguarda gli esercizi sulla gravitazione, mentre l’argomento precedente tratta gli esercizi svolti sulla dinamica del corpo rigido.

 

Testo esercizio urti 21

Esercizio 21 (\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar). Consideriamo un disco di raggio R e massa m posto su un piano orizzontale che sta ruotando con velocità costante \omega ed un’asta di lunghezza R, massa m e spessore trascurabile, la quale procede con velocità \vec{v} come in figura 1. L’asta urta il disco rimandogli attaccata (urto completamente anelastico). Determinare la velocità del centro di massa, la velocità angolare del sistema dopo l’urto e la variazione di energia cinetica prima e dopo l’urto nelle seguenti situazioni:

a) Il disco è vincolato a ruotare rispetto ad un asse passante per il proprio centro di massa e perpendicolare al piano su cui giace;
b) Il disco non ha nessun tipo di vincolo.

Si trascuri ogni forma di attrito.

 

Figura 1: schema del problema.

Svolgimento punto a.

Rappresentiamo il sistema un’istante prima dell’urto in figura 2.

 

Rendered by QuickLaTeX.com

 

Figura 2: rappresentazione del sistema un istante prima dell’urto.

 

L’urto è completamente anelastico quindi il sistema, dopo l’urto, diventa un unico corpo rigido vincolato a ruotare rispetto ad un asse passante per il centro di massa del disco P e perpendicolare al piano su cui giace. Si sviluppa una forza esterna di natura impulsiva applicata nel centro di massa del disco e perciò non si conserva la quantità di moto totale del sistema; osserviamo però che tale forza ha momento nullo rispetto a P quindi si conserva il momento angolare[1].

Calcoliamo il momento angolare del sistema prima dell’urto. È utile applicare il teorema di König per il momento angolare[2] così da determinare il momento angolare prima dell’urto. Osserviamo che l’asta ha momento angolare nullo in quanto la velocità \vec{v} e il raggio vettore che congiunge il suo centro di massa con il centro del disco sono paralleli, quindi il contributo al momento angolare del sistema è dato solo dal disco che ruota rispetto al proprio centro di massa

    \[L_{i,1}=I_{i,1}\omega,\]

dove I_{i,1}=\dfrac{1}{2}mR^2 è il momento d’inerzia del disco rispetto al proprio centro di massa. Raffiguriamo il sistema subito dopo l’urto in figura 3.

   

Rendered by QuickLaTeX.com

 

Figura 3: rappresentazione del sistema fisico in esame dopo l’urto.

 

 

Come già detto, un istante dopo l’urto il sistema diventa unico e si muove all’unisono di moto circolare rispetto a P con velocità angolare \omega^\prime per cui possiamo scrivere[3]

    \[L_{f,1}=I_{f,1}\omega^\prime\]

dove[4] I_{f,1}=\left(\dfrac{1}{2}mR^2+\dfrac{1}{12}mR^2+m \left(\dfrac{R}{2}+R\right)^2\right)=\dfrac{17}{6}mR^2.

Dalla conservazione del momento angolare abbiamo

    \[\begin{aligned} L_{i,1}=L_{f,1}\quad \Leftrightarrow \quad I_{i,1}\omega = I_{f,1}\omega^\prime & \quad \Leftrightarrow \quad \dfrac{1}{2}mR^2\omega = \dfrac{17}{6}mR^2\omega^\prime \quad \Leftrightarrow \quad \\\\ & \quad \Leftrightarrow \quad \dfrac{1}{2}\omega = \dfrac{17}{6}\omega^\prime \quad \Leftrightarrow \quad \\\\ & \quad \Leftrightarrow \quad \omega^\prime =\dfrac{3}{17}\omega. \end{aligned}\]

Si conclude che la velocità angolare subito dopo l’urto è

    \[\boxcolorato{fisica}{ \omega^\prime =\dfrac{3}{17}\omega.}\]

 

Calcoliamo l’energia del sistema prima dell’urto; tale energia è data dalla somma dell’energia cinetica rotazionale del disco e dall’energia cinetica dell’asta che trasla senza ruotare. L’energia cinetica iniziale è[5]

    \[E_{i,1}=\dfrac{1}{2}mv^2+\dfrac{1}{2}I_{i,1}\omega^2=\dfrac{1}{2}mv^2+\dfrac{1}{4}mR^2\omega^2,\]

mentre dopo l’urto l’energia cinetica sarà solo rotazionale, quindi

    \[E_{f,1}=\dfrac{1}{2}I_{f,1}\left(\omega^\prime\right)^2=\dfrac{17}{6}mR^2\left(\omega^\prime\right)^2.\]

Pertanto

    \[\begin{aligned} \Delta E & = \dfrac{17}{6}mR^2\left(\omega^\prime\right)^2-\left(\dfrac{1}{2}mv^2+\dfrac{1}{4}mR^2\omega^2\right)= \dfrac{m}{2}\left(\dfrac{17}{3}R^2 {\omega^\prime}^2 - \dfrac{1}{2}R^2\omega^2 - v^2\right)=\\\\ &=\dfrac{m}{2}\left(\dfrac{17}{3}R^2 \left({\dfrac{3}{17}\omega}\right)^2 - \dfrac{1}{2}R^2\omega^2 - v^2\right)=-\dfrac{m}{2}\left(\dfrac{11}{34}R^2\omega^2+v^2\right). \end{aligned}\]

Si conclude che la variazione di energia cinetica è

    \[\boxcolorato{fisica}{ \Delta E=-\dfrac{m}{2}\left(\dfrac{11}{34}R^2\omega^2+v^2 \right) .}\]

 


Svolgimento punto b.

Nel secondo caso non abbiamo nessun tipo di vincolo, quindi sul piano orizzontale il sistema è isolato[6] quindi si conserva la quantità di moto totale del sistema e il momento angolare a prescindere dal polo scelto.

Calcoliamo la quantità di moto totale del sistema prima dell’urto, che quindi è data solo dal contributo dell’asta perché un istante prima dell’urto il disco ruota senza traslare:

    \[p_i=mv.\]

Dopo l’urto il sistema diventa un unico corpo di massa 2m che trasla con velocità v^\prime, per cui abbiamo

    \[p_f=2mv^\prime.\]

Dalla conservazione della quantità di moto possiamo scrivere

    \[p_f=p_i \quad \Leftrightarrow \quad (2m)v^\prime=mv\quad \Leftrightarrow \quad v^\prime = \dfrac{v}{2}.\]

Si conclude che la velocità del centro di massa dopo l’urto è

    \[\boxcolorato{fisica}{ v^\prime = \dfrac{v}{2}.}\]

 

È conveniente scegliere però come polo il centro di massa siccome dopo l’urto il sistema ruota rispetto al proprio centro di massa e trasla con velocità costante per il primo principio della dinamica. Dunque, se scegliamo come polo il centro di massa, annulliamo il contributo dovuto al moto del centro di massa

Scegliamo un sistema di riferimento Oxy con origine centrato in P\equiv O come in figura 4.

 

Rendered by QuickLaTeX.com

 

Figura 4: rappresentazione del sistema di riferimento.

 

Ora calcoliamo le coordinate del centro di massa del sistema rispetto al sistema di riferimento scelto

    \[\vec{r}_{CM}=-\dfrac{m\left(\dfrac{R}{2}+R\right)}{2m} \,\hat{x}+0\, \hat{y}=-\dfrac{3}{4}R\,\hat{x}.\]

Il momento angolare prima dell’urto si determina banalmente tendo conto delle considerazioni fatte nel punto a), prima dell’urto abbiamo

    \[L_{i,2}=L_{i,1}=I_{i,1}\omega\]

e dopo l’urto

    \[\,\,\,\,\,\,\,\,\,L_{f,2}=I_{2,f}\omega^\prime\]

dove I_{2,f}=\dfrac{1}{2}mR^2+\dfrac{9}{16}mR^2 + \dfrac{1}{12}mR^2 + m \left(\dfrac{R}{2}+\dfrac{R}{4}\right)^2 =\dfrac{41}{24}mR^2. Per la conservazione del momento angolare abbiamo

    \[L_{i,2} = L_{f,2} \quad \Leftrightarrow \quad \dfrac{1}{2}mR^2\omega = \dfrac{41}{24}mR^2 \omega^\prime \quad \Leftrightarrow \quad \dfrac{1}{2}\omega = \dfrac{41}{24}\omega^\prime \quad \Leftrightarrow \quad \omega^\prime = \dfrac{12}{41}\omega\]

concludendo così che la velocità angolare dopo l’urto è

    \[\boxcolorato{fisica}{ \omega^\prime = \dfrac{12}{41}\omega.}\]

Calcoliamo la variazione di energia cinetica. L’energia prima dell’urto è la stessa del punto a)

    \[E_{i,2}=E_{i,1}= \dfrac{1}{2}mv^2+\dfrac{1}{4}mR^2\omega^2 ,\]

mentre dopo l’urto, essendo il sistema non vincolato, traslerà e ruoterà, quindi l’energia cinetica oltre ad avere un contributo rotazionale avrà quello di traslazione[8], ovvero

    \[E_{f,2}=\dfrac{1}{2}(2m)\left(v^\prime\right)^2+ \dfrac{1}{2}I_{2,f} \left(\omega^\prime\right)^2=m\left(v^\prime\right)^2+ \dfrac{1}{2}I_{2,f} \left(\omega^\prime\right)^2.\]

Dunque la variazione di energia è data da

    \[\begin{aligned} \Delta E & = \dfrac{1}{2}I_{2,f} (\omega^\prime)^2 + m (v^\prime)^2 - \dfrac{1}{2}mv^2-\dfrac{1}{4}mR^2\omega^2 = \dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{41}{24}mR^2 (\omega^\prime)^2 + m(v^\prime)^2 - \dfrac{1}{4}mR^2\omega^2 - \dfrac{1}{2}mv^2 = \\\\ & = \dfrac{41}{48} mR^2 {\omega^\prime}^2 + m{v^\prime}^2 -\dfrac{1}{4}mR^2\omega^2 - \dfrac{1}{2}mv^2 =m\left(\dfrac{41}{48}R^2\cdot \dfrac{12^2}{41^2}\omega^2 + \dfrac{v^2}{4}-\dfrac{1}{4}R^2\omega^2-\dfrac{v^2}{2}\right) =\\\\ &=m\left(\dfrac{3}{41}\omega^2R^2-\dfrac{1}{4}\omega^2R^2+\dfrac{v^2}{4}-\dfrac{v^2}{2}\right)=m\left(-\dfrac{29}{164}\omega^2R^2-\dfrac{v^2}{2}\right)=-m\left(\dfrac{29}{164}\omega^2R^2+\dfrac{v^2}{2}\right). \end{aligned}\]

Si conclude che la variazione di energia cinetica è

    \[\boxcolorato{fisica}{ \Delta E=-m\left(\dfrac{29}{164}\omega^2R^2+\dfrac{v^2}{2}\right).}\]

 


Osservazioni e richiami di teoria.

 

1. Conservazione del momento angolare.  Se la somma dei momenti esterni è nulla rispetto ad un polo fisso, allora il momento angolare totale del sistema si conserva. ↩

 

2. Teorema di König. Il momento angolare del sistema si può scrivere, nel sistema di riferimento inerziale, come somma del momento angolare dovuto al moto del centro di massa e di quello rispetto al centro di massa, ovvero

(1)   \begin{equation*} \vec{L}=\vec{L}_{CM}+\vec{L}^\prime, \end{equation*}

dove \vec{L} è il momento angolare totale del sistema rispetto ad un sistema di riferimento fisso, \vec{L}_{CM} è il momento angolare del centro di massa rispetto al sistema di riferimento fisso e \vec{L}^\prime è il momento angolare totale del sistema rispetto al centro di massa. Nel caso dello studio di un corpo rigido, il momento angolare totale del sistema rispetto al centro di massa si può esprimere come

    \[\vec{L}^\prime=I_{CM}\vec{\omega},\]

dove I_{CM} è il momento d’inerzia del sistema rispetto al centro di massa e \vec{v}_{CM} è la velocità del centro di massa. Il momento angolare del centro di massa rispetto al sistema di riferimento fisso è

    \[\vec{L}_ {CM}=m\vec{R}\wedge\vec{v}_{CM},\]

dove \vec{v}_{CM} la velocità del centro di massa e \vec{R} è la posizione del centro di massa rispetto al sistema.↩

 

3. Momento angolare 2.  Quando un corpo rigido ruota rispetto ad un asse fisso tale che il momento angolare totale \vec{L} sia parallelo ad \vec{\omega} allora

    \[\vec{L}=I\vec{\omega},\]

dove I è il momento d’inerzia rispetto all’asse di rotazione.↩

 

4. Teorema di Huygens-Steiner. Il momento d’inerzia di un corpo di massa m rispetto ad un asse che si trova ad una distanza k dal centro di massa del corpo è data da

(2)   \begin{equation*} I=I_{CM} + M k^2, \end{equation*}

dove I_{CM} è il momento d’inerzia rispetto ad un asse parallelo al primo e passante per il centro di massa.

Quando si ha un corpo rigido “complesso”, ovvero dato dall’unione di più corpi rigidi, il momento d’inerzia totale del corpo rigido rispetto ad un asse è sempre dato dalla somma dei momenti d’inerzia di ogni singolo corpo rigido che lo forma.↩

 

5. Ricordiamo che l’energia cinetica di un corpo rigido che ruota rispetto ad un asse fisso perpendicolare al piano sul quale giace, può essere espressa come segue:

(3)   \begin{equation*} K=\dfrac{1}{2}\int_{\gamma}v^2dm=\dfrac{1}{2}(\dot{\theta})^2\int_{\gamma}R^2dm=\dfrac{1}{2}I(\dot{\theta})^2 \end{equation*}

dove \dot{\theta}=\omega è la velocità angolare del corpo rigido e I è il momento d’inerzia rispetto all’asse di rotazione. ↩

 

6. Non ci sono forze esterne. ↩

 

7. Basta applicare il teorema di König per il momento angolare. ↩

 

8. L’energia cinetica di un sistema di punti materiali discreto o continuo può essere scritta, nel sistema di riferimento inerziale, come la somma dell’energia cinetica dovuta al moto del centro di massa e di quella del sistema rispetto al centro di massa, ovvero

(4)   \begin{equation*} E=E^\prime+E_{CM} \end{equation*}

dove E è l’energia cinetica del sistema rispetto al sistema di riferimento inerziale, E^\prime è l’energia cinetica del sistema rispetto al centro di massa e E_{CM} è l’energia cinetica del centro di massa. Nel caso di un corpo rigido abbiamo che l’energia cinetica rispetto al centro di massa è

    \[E^\prime=\dfrac{1}{2}I_{CM}\omega^2,\]

mentre l’energia cinetica del centro di massa è

    \[E_{CM}=\dfrac{1}{2}mv_{CM}^2,\]

da cui

    \[E=\dfrac{1}{2}mv_{CM}^2 + \dfrac{1}{2}I_{CM}\omega^2.\]

↩

 

Scarica gli esercizi svolti

Ottieni il documento contenente 39 esercizi risolti, contenuti in 154 pagine ricche di dettagli, per migliorare la tua comprensione degli urti in meccanica classica.

 
 

Ulteriori risorse didattiche per la fisica

Leggi...

  • Physics Stack Exchange – Parte della rete Stack Exchange, questo sito è un forum di domande e risposte specificamente dedicato alla fisica. È un’ottima risorsa per discutere e risolvere problemi di fisica a tutti i livelli, dall’elementare all’avanzato.
  • ArXiv – ArXiv è un archivio di preprint per articoli di ricerca in fisica (e in altre discipline scientifiche). Gli articoli non sono peer-reviewed al momento della pubblicazione su ArXiv, ma rappresentano un’importante risorsa per rimanere aggiornati sugli sviluppi più recenti nella ricerca fisica.
  • Phys.org – Questo sito offre notizie e aggiornamenti su una vasta gamma di argomenti scientifici, con un focus particolare sulla fisica. È una risorsa utile per rimanere aggiornati sugli ultimi sviluppi nella ricerca e nelle scoperte fisiche.
  • Physics Forums – Una delle comunità online più grandi per la fisica e la scienza in generale. Offre discussioni su vari argomenti di fisica, aiuto con i compiti, e discussioni su articoli di ricerca.
  • The Feynman Lectures on Physics – Questo sito offre accesso gratuito alla famosa serie di lezioni di fisica di Richard Feynman, un’ottima risorsa per studenti di fisica di tutti i livelli.
  • American Physical Society (APS) – La APS è una delle organizzazioni più importanti per i fisici. Il sito offre accesso a pubblicazioni, conferenze, risorse educative e aggiornamenti sulle novità del mondo della fisica.
  • Institute of Physics (IOP) – L’IOP è un’importante organizzazione professionale per i fisici. Il sito offre risorse per l’apprendimento, accesso a riviste scientifiche, notizie e informazioni su eventi e conferenze nel mondo della fisica.
  • Physics World – Physics World è una rivista online che offre notizie, articoli, interviste e approfondimenti su vari argomenti di fisica. È una risorsa preziosa per chiunque sia interessato agli sviluppi contemporanei nella fisica.
  • Quanta Magazine (sezione Fisica) – Quanta Magazine è una pubblicazione online che copre notizie e articoli di approfondimento su matematica e scienze. La sezione fisica è particolarmente interessante per i contenuti di alta qualità e le spiegazioni approfondite.
  • Perimeter Institute – Il Perimeter Institute è un importante centro di ricerca in fisica teorica. Il sito offre accesso a conferenze, workshop e materiale educativo, ed è un’ottima risorsa per chi è interessato alla fisica teorica avanzata.

 
 






Document