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Esercizio urti 18

Urti in Meccanica classica

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L’Esercizio Urti 18 è il diciottesimo della raccolta dedicata agli esercizi misti sugli urti. Questo esercizio segue l’Esercizio Urti 17. Successivamente, gli studenti potranno affrontare l’Esercizio Urti 19. Pensato per gli studenti di Fisica 1, è particolarmente utile per coloro che studiano ingegneria, fisica o matematica.

L’argomento successivo agli urti riguarda gli esercizi sulla gravitazione, mentre l’argomento precedente tratta gli esercizi svolti sulla dinamica del corpo rigido.

 

Testo esercizio urti 18

Esercizio 18 (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Due dischi identici di massa M=5 kg e raggio R=0,2 m sono liberi di ruotare indipendentemente attorno ad un asse orizzontale fisso passante per i loro centri. Attorno al disco A è avvolto un filo che sostiene una massa m=2 kg. Si lascia libera m ed il disco A si mette in moto mentre il disco B resta fermo. Nell’istante in cui il disco A raggiunge la velocità angolare \omega_i=15\,\,\text{rad}\cdot \text{s}^{-1} il disco B viene spinto contro A e vi rimane incollato. Calcolare:

a) la velocità angolare del sistema subito dopo l’urto;

b) l’impulso trasmesso all’asse nell’urto.

Supporre che il disco A sia incernierato e il disco B sia libero di scorrere lungo l’asse di rotazione; questo ci permette di spostare il disco B dalla sua posizione iniziale e con un’opportuna forza esterna spingerlo contro il blocco A.

 

Rendered by QuickLaTeX.com

 

Figura 1: schema del problema.

Svolgimento punto a.

Consideriamo il sistema composto dalla massa m e dai due dischi di massa M. Studiamo l’urto che avviene tra tra il disco A e il disco B; entrambi sono vincolati a ruotare attorno all’asse passante per i centri. In tale tipo di urto si conserva solamente la conservazione del momento angolare. In effetti, al momento dell’urto, si generano due forze interne, \textcolor[HTML]{FF0000}{\vec{F}} e \textcolor[HTML]{FF0000}{-\vec{F}}, uguali in modulo, aventi la stessa direzione ed opposte in verso per il terzo principio della dinamica. Si genera anche una forza esterna al sistema, \vec{R}, di reazione al vincolo, la quale però ha braccio nullo rispetto all’asse di rotazione dei due dischi perché la stiamo immaginando proprio applicata nel centro dei due dischi.

Rendered by QuickLaTeX.com

 

Possiamo dunque studiare la conservazione del momento angolare durante l’urto; consideriamo allora il momento angolare iniziale L_i

\begin{equation*} L_i=\dfrac{1}{2}MR^2\omega_i+mR^2\omega_i, \end{equation*}

il quale è ottenuto dalla somma del contributo in momento angolare del disco A (l’unico in rotazione prima dell’urto) e della massa m[1] . Il momento angolare finale L_f sarà invece ottenuto da

\begin{equation*} L_f=\dfrac{1}{2}MR^2\omega_f+\dfrac{1}{2}MR^2\omega_f+mR^2\omega_f, \end{equation*}

dove \omega_f è la velocità angolare del sistema subito dopo l’urto; in questo caso i dischi sono attaccati e sono entrambi in rotazione. Pertanto, imponendo la conservazione del momento angolare, si ha

\begin{equation*} L_i= L_f, \end{equation*}

da cui

\begin{equation*} \dfrac{1}{2}MR^2\omega_i+mR^2\omega_i=\dfrac{1}{2}MR^2\omega_f+\dfrac{1}{2}MR^2\omega_f+mR^2\omega_f, \end{equation*}

o anche

\begin{equation*} \omega_f=\left(\dfrac{\dfrac{1}{2}MR^2+mR^2}{MR^2+mR^2}\right) \omega_i=\dfrac{\left(2m+M\right)\omega_i}{2(m+M)}=\dfrac{\text{(2$\cdot$2+5)}15}{2(2+5)}\,\text{rad}\cdot\text{s}^{-1}= . \end{equation*}

Si conclude che 

\[\boxcolorato{fisica}{ \omega_f=\dfrac{\left(2m+M\right)\omega_i}{2(m+M)}=9.64\,\,\text{rad}\cdot \text{s}^{-1}.}\]

 

1. Supponendo il filo inestensibile e la massa puntiforme, il contributo in momento angolare è quello di un punto di massa m situato a distanza R dall’asse di rotazione. ↩

 


Svolgimento punto b.

Per determinare l’impulso trasmesso all’asse durante l’urto osserviamo che quest’ultimo deve essere totalmente relativo alla massa m: infatti, essendo l’asse di rotazione anche l’asse passante per i baricentri dei dischi, la variazione di quantità di moto di questi ultimi è nulla. Soltanto la massa m ha una variazione apprezzabile di quantità di moto, la quale viene trasmessa all’asse dato che il moto della massa m si sviluppa perpendicolarmente alla direzione dell’asse stesso. Per determinare tale impulso, basta studiare la variazione di quantità di moto nel processo, e dunque, in modulo, cioè

\begin{equation*} \left \vert \Delta p\right \vert =\left \vert m\omega_f R-m\omega_i R\right \vert = \left \vert -2.144\,\,\text{kg}\cdot \text{m}\cdot \text{s}^{-1}\right \vert=2.144\,\,\text{kg}\cdot \text{m}\cdot \text{s}^{-1} , \nonumber \end{equation*}

da cui

\[\boxcolorato{fisica}{ \begin{equation} J= \left \vert \Delta p\right \vert =\left \vert m\omega_f R-m\omega_i R\right \vert = 2.144\,\,\text{kg}\cdot \text{m}\cdot \text{s}^{-1} ,}\]

che rappresenta la soluzione al punto b) del problema.


Fonte.

P. Mazzoldi, M. Nigro e C. Voci – Elementi di fisica, EdiSES.

 
 

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