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Esercizio moti relativi 3

Moti relativi in Meccanica classica

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Esercizio sui moti relativi 3 è il terzo esercizio della raccolta esercizi dedicati ai moti relativi. Il successivo esercizio disponibile nella sequenza è Esercizio sui moti relativi 4, mentre il precedente è Esercizio sui moti relativi 2. L’argomento dei moti relativi precede lo studio degli esercizi svolti sul lavoro e sull’energia e prosegue con l’analisi degli esercizi svolti sui sistemi di punti materiali. Questo esercizio è rivolto agli studenti del corso di Fisica 1, risultando particolarmente utile per i percorsi di studio in ingegneria, fisica e matematica.

 

Testo dell’Esercizio sui moti relativi 3

Esercizio 3 (\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar). Un bersaglio di dimensioni trascurabili è posto ad un’altezza h dal suolo; un carrello (di dimensioni trascurabili) che trasporta un cannoncino, è in moto sul piano di terra, con modulo della velocità V e si avvicina alla proiezione Q del bersaglio (vedi figura). L’attrito tra il piano e il carrello è trascurabile e l’unica forza esterna che agisce sul sistema è la forza di gravità. Quando dista h da Q il cannoncino, inclinato di un angolo \alpha rispetto al piano del carrello, spara un proiettile che proprio nel punto più alto della traiettoria colpisce il bersaglio; le dimensioni del carrello sono trascurabili rispetto ad h. Si calcolino: l’angolo \alpha di inclinazione del cannoncino; le componenti v_{0,x} e v_{0,z} della velocità iniziale \vec{v}_0 del proiettile rispetto a un sistema di riferimento inerziale solidale con il suolo.

 

 

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Figura 1: schema del problema.

 

Svolgimento.

Ricordiamo che dati due sistemi di riferimento Oxz e O^\prime x^\prime z^\prime, entrambi inerziali1, denotata con \vec{r}_{O^\prime} la distanza tra di essi e con \vec{r} e \vec{r}^{\, \prime} la posizione di un punto materiale P misurata rispetto a Oxz e O^\prime x^\prime z^\prime, allora vale la seguente relazione

\begin{equation*} \vec{r}=\vec{r}_{O^\prime}+\vec{r}^{\,\prime}. \end{equation*}

Derivando (1) rispetto al tempo, otteniamo

\begin{equation*} \vec{v}=\vec{v}_{O^\prime}+\vec{v}^{\, \prime}, \end{equation*}

dove \vec{v} è la velocità del punto materiale P rispetto ad Oxz, \vec{v}_{O^\prime} è la velocità del sistema O^\prime x^\prime z^\prime rispetto al sistema Oxz e infine \vec{v}^{\,\prime} è la velocità del punto materiale P rispetto al sistema O^\prime x^\prime z^\prime.

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Figura 2: sistemi di riferimento.

   

Tornando al sistema in esame consideriamo due sistemi di riferimento come in figura 2. Nel sistema di riferimento fisso Oxz, la traiettoria del proiettile è un arco di parabola di gittata 2h (h per arrivare fino al bersaglio e dopodiché la traiettoria è simmetrica rispetto all’asse del vertice) e vertice ad altezza h. Nel tratto in salita, di durata t, il moto in verticale è uniformemente accelerato con spostamento verticale h, velocità verticale iniziale v_{0,z} e velocità verticale finale nulla. Quindi dalle equazioni del moto uniformemente accelerato possiamo ricavare t e v_{0,z}

\begin{equation*} \begin{cases} h=-\dfrac{1}{2}gt^2+v_{0,z}t\\ 0=-gt+v_{0,z} \end{cases}\quad \Longleftrightarrow \begin{cases} h=-\dfrac{1}{2}gt^2+gt^2\\ v_{0,z}=gt \end{cases}\quad \Longleftrightarrow \begin{cases} t=\sqrt{\dfrac{2h}{g}}\\ v_{0,z}=\sqrt{2gh}. \end{cases}\, \end{equation*}

Lo spostamento in orizzontale ha ampiezza 2h e avviene a velocità orizzontale costante v_{0,x}, in un tempo 2t, dunque

\begin{equation*} v_{0,x}=\frac{2h}{2t}=\sqrt{\frac{hg}{2}}\,. \end{equation*}

Dato che il carrello si muove con velocità V concorde a quella del proiettile, nel sistema Ox^\prime z^\prime solidale col carrello la velocità iniziale del proiettile è (in accordo con la legge di composizione delle velocità (2))

\begin{equation*} \vec{v}^{\,\prime}_0=\vec{v}_0-\vec{V}\quad \Longleftrightarrow \begin{cases} v^{\,\prime}_{0,x}=v_0-V\\ v^\prime_{0,z}=v_{0,z} \end{cases}\,. \end{equation*}

Nel sistema solidale col carrello l’angolo al quale è inclinato il cannone è quindi

\begin{equation*} \alpha=\arctan\left(\frac{v_{0,z}^{\,\prime}}{v_{0,x}^{\,\prime}}\right)=\arctan\left(\frac{v_{0,z}}{v_{0,x}-V}\right)=\arctan\left(\frac{\sqrt{2gh}}{\sqrt{\dfrac{gh}{2}}-V}\right). \end{equation*}

Riassumendo

\[\boxcolorato{fisica}{ v_{0,x}=\sqrt{\dfrac{gh}{2}},\qquad v_{0,z}=\sqrt{2gh},\qquad \alpha=\arctan\left(\frac{\sqrt{2gh}}{\sqrt{\dfrac{gh}{2}}-V}\right).}\]

 

   

\[\]

  1. Un sistema di riferimento inerziale è un sistema di riferimento in cui è valido il primo principio della dinamica. ↩

Fonte.

Problemi di fisica generale – S.Rosati & L. Lovitch.

 

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