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Esercizio moti relativi 26

Moti relativi in Meccanica classica

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Esercizio sui moti relativi 26 è il ventiseiesimo esercizio della raccolta esercizi dedicati ai moti relativi. Il successivo esercizio disponibile nella sequenza è Esercizio sui moti relativi 27, mentre il precedente è Esercizio sui moti relativi 25. L’argomento dei moti relativi precede lo studio degli esercizi svolti sul lavoro e sull’energia e prosegue con l’analisi degli esercizi svolti sui sistemi di punti materiali. Questo esercizio è rivolto agli studenti del corso di Fisica 1, risultando particolarmente utile per i percorsi di studio in ingegneria, fisica e matematica.

 

Testo dell’Esercizio sui moti relativi 26

Esercizio 26 (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Osserviamo due punti materiali di massa m_1 e m_2 da un sistema di riferimento fisso Ox. I due punti materiali si muovono di moto armonico semplice oscillando intorno alle loro posizioni di equilibrio posizionate lungo l’asse x di ascissa x_1 per m_1 e x_2 per m_2. L’ampiezza di oscillazione è pari ad A e la pulsazione è \omega per entrambi i punti materiali, mentre la fasa di m_1 è zero e la fase di m_2 è {\pi}/{2}. Si richiede di trovare il sistema inerziale tale che per t={T}/{4} le energie cinetiche dei due oscillatori siano le stesse. Se a t=0 le origini del sistema di riferimento fisso e quello inerziale da determinare coincidono, trovare le leggi orarie dei due punti materiali rispetto al sistema di riferimento da determinare. Si supponga che m_1>m_2.

Svolgimento.

Nel sistema di riferimento fisso Ox le leggi orarie di m_1 ed m_2 sono

(1)   \begin{equation*} x_1(t)=x_1+A\sin\left(\omega t\right) \end{equation*}

e

(2)   \begin{equation*} x_2(t)=x_2+A\sin\left( \omega t+\dfrac{\pi}{2}\right)=x_2+\cos\omega t. \end{equation*}

Derivando ambo i membri le due precedenti equazioni rispetto al tempo si ha

(3)   \begin{equation*} \dot{x}_1(t)=A\omega \; \cos \left(\omega t\right) \end{equation*}

e

(4)   \begin{equation*} \dot{x}_2(t)=-A\omega \; \sin\left(\omega t\right). \end{equation*}

Le equazioni (3) e (5) rappresentano rispettivamente le velocità di m_1 e m_2 nel sistema di riferimento fisso Ox. Di seguito, in figura 1, rappresentiamo il sistema di riferimento fisso Ox, e le due posizioni x_1 e x_2.    

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    Definiamo un sistema di riferimento inerziale che si muove rispetto a quello fisso con velocità incognita \vec{v}_0 parallela all’asse delle x. La velocità \vec{v}_0 è costante in modulo, direzione e verso. Chiamiamo il sistema di riferimento inerziale da terminare S^\prime. Siano v_1^\prime e v_2^\prime rispettivamente le velocità di m_1 e m_2 nel sistema di riferimento S^\prime. Per il teorema delle velocità relativa per m_1 e m_2 si ha rispettivamente

(5)   \begin{equation*} v_1^\prime=\dot{x}_1-v_0 \end{equation*}

e

(6)   \begin{equation*} v_2^\prime=\dot{x}_2-v_0. \end{equation*}

Dato che i due punti materiali devono avere la stessa energia cinetica in entrambi i sistemi di riferimento deve valere

(7)   \begin{equation*} \dfrac{1}{2}m_1 {v_1^{\prime}}^2=\dfrac{1}{2}m_2 {v_2^{\prime}}^2. \end{equation*}

Avvalendoci delle equazioni (5) e (6) la precedente equazione diventa

(8)   \begin{equation*} \begin{aligned} &\dfrac{1}{2}m_1\left( \dot{x}_1-v_0\right)^2=\dfrac{1}{2}m_2(\dot{x}_2-v_0)^2 \quad \Leftrightarrow \\[10pt] & \quad \Leftrightarrow \quad m_1(\dot{x}_1^2+v_0^2-2\dot{x}_1v_0)=m_2(\dot{x}_2^2+v_0^2-2\dot{x}_2 v_0) \quad \Leftrightarrow \\[10pt] & \quad \Leftrightarrow \quad v_0^2(m_1-m_2)-2v_0(m_1\dot{x}_1-m_2\dot{x}_2) + m_1 \dot{x}_1^2 - m_2 \dot{x}_2^2 =0. \end{aligned} \end{equation*}

La precedente equazione è un’equazione di secondo grado completa nella variabile v_0. Applicando la formula risolutiva delle equazioni di secondo grado alla precedente equazione si hanno le seguenti soluzioni

(9)   \begin{equation*} \begin{aligned} &v_{0_{1,2}} = \dfrac{m_1\dot{x}_1-m_2\dot{x}_2 \pm\sqrt{ (m_1\dot{x}_1-m_2\dot{x}_2)^2 - (m_1-m_2)(m_1\dot{x}_1^2-m_2 \dot{x}_2^2)}}{m_1-m_2}=\\ &=\dfrac{m_1 \dot{x}_1 - m_2\dot{x_2}\pm\sqrt{-2m_1m_2 \dot{x}_1 \; \dot{x}_2 + m_1 m_2 \dot{x}_2^2 + m_1m_2 \dot{x}_1^2}}{m_1-m_2}=\\ &=\dfrac{m_1\dot{x}_1 -m_2 x_2 \pm\sqrt{m_1m_2(\dot{x}_1-\dot{x}_2)^2}}{m_1-m_2}=\\ &=\dfrac{m_1\dot{x}_1 -m_2 \dot{x}_2 \pm \sqrt{m_1m_2}\left \vert \dot{x}_1 - \dot{x}_2\right \vert}{m_1-m_2}. \end{aligned} \end{equation*}

Dobbiamo calcolare \dot{x_1}(t) e \dot{x_2}(t) quando t={T}/{4}. Ricordando che \omega=T/(2\pi) e valutando le equazioni (3) e (5) in t=T/4, si trova

(10)   \begin{equation*} \dot{x}_1\left( \dfrac{T}{4}\right)=A\omega\cos \left(\dfrac{2\pi}{T} \cdot \dfrac{T}{4}\right)=0, \end{equation*}

(11)   \begin{equation*} \dot{x}_2\left(\dfrac{T}{4} \right)=-A\omega \sin\left( \dfrac{2\pi}{T} \cdot \dfrac{T}{4}\right)=-A\omega, \end{equation*}

e

(12)   \begin{equation*} v_{0_{1,2}}=\dfrac{m_2 A\omega \pm \sqrt{m_1m_2} A\omega}{m_1-m_2}=\dfrac{m_2 \pm \sqrt{m_1m_2}}{m_1-m_2}A\omega=\dfrac{\sqrt{m_2} \left( \sqrt{m_2}\pm \sqrt{m_1}\right)}{m_1-m_2}A\omega. \end{equation*}

Per la condizione m_1>m_2 l’unica soluzione accettabile è

(13)   \begin{equation*} v_{0_{1}}= v_0=\dfrac{\sqrt{m_2} \left( \sqrt{m_2}+ \sqrt{m_1}\right)}{m_1-m_2}A\omega=\dfrac{m_2+\sqrt{m_1m_2}}{m_1-m_2}A\omega. \end{equation*}

Dunque, concludiamo che il sistema di riferimento S^\prime richiesto si muove con velocità definita dall’equazione (13).    Passiamo ora al secondo punto del problema: per determinare la leggi orarie in S^\prime basta ricordare come sono legate le coordinate dei due sistemi di riferimento tramite le trasformazioni di Galileo. Siano x_1^\prime(t) e x_2^\prime(t) le posizioni rispettivamente di m_1 e di m_2 nel sistema di riferimento S^\prime. Abbiamo dunque

(14)   \begin{equation*} x^\prime_1(t)=x_1(t)-v_0 t. \end{equation*}

e

(15)   \begin{equation*} x^\prime_2(t)=x_2(t)-v_0 t. \end{equation*}

Sfruttando le equazioni (3) e (5) le due precedenti equazioni diventano

    \[\boxcolorato{fisica}{x_1^\prime(t)=x_1+A\sin \omega t-v_0 t}\]

e

    \[\boxcolorato{fisica}{ x_2^\prime(t)=x_2+A\sin\left( \omega t+\dfrac{\pi}{2}\right)-v_0 t.}\]


 

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