Esercizio moti relativi 1

Home » Esercizio moti relativi 1

Esercizio sui moti relativi 1 apre la raccolta di esercizi dedicati ai moti relativi, offrendo agli studenti una prima introduzione ai principi fondamentali dell’argomento.
Il successivo esercizio disponibile nella sequenza è Esercizio sui moti relativi 2.

L’argomento dei moti relativi precede lo studio degli esercizi svolti sul lavoro e sull’energia e prosegue con l’analisi degli esercizi svolti sui sistemi di punti materiali.

Questo esercizio è rivolto agli studenti del corso di Fisica 1, risultando particolarmente utile per i percorsi di studio in ingegneria, fisica e matematica.

Testo dell’Esercizio sui moti relativi 1

Esercizio 1 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Un nuotatore attraversa un tratto rettilineo di un fiume di larghezza $D$ muovendosi di moto rettilineo uniforme.
La corrente del fiume va verso valle con velocità $\vec{V}$ , mentre il nuotatore si muove con velocità relativa costante $\vec{v}^\prime$ . Quanto tempo impiega il nuotatore ad attraversare il fiume, sapendo che il suo percorso è ortogonale alle sponde?

Premessa.

Presentiamo due metodi di risoluzione.

Svolgimento primo metodo.

Per un osservatore fisso sulla sponda del fiume, il nuotatore si sposta con velocità di modulo, direzione e verso costante $\vec{v}_1$

mentre la corrente si muove con velocità in modulo, direzione e verso costante $\vec{V}$

. Si sceglie un sistema di riferimento fisso $Oxy$

con l’origine coincidente con l’osservatore sulla sponda e un secondo sistema di riferimento inerziale $O^\prime x^\prime y^\prime$

solidale con la corrente del fiume, come rappresentato in figura 1.

Dati due sistemi di riferimento $Oxy$ e $O^\prime x^\prime y^\prime$ entrambi inerziali, sia $\vec{r}_{O^\prime}$ la distanza tra di essi e sia $P$ un punto materiale a distanza rispettivamente $\vec{r}$ e $\vec{r}^{\, \prime}$ dal sistema $Oxy$ e $O^\prime x^\prime y^\prime$ , allora vale la seguente relazione

(1) $\begin{equation*} \vec{r}=\vec{r}_{O^\prime}+\vec{r}^{\,\prime}. \end{equation*}$

Derivando (1) rispetto al tempo, otteniamo

(2) $\begin{equation*} \vec{v}=\vec{v}_{O^\prime}+\vec{v}^{\, \prime}, \end{equation*}$

dove $\vec{v}$ è la velocità del punto materiale $P$ rispetto ad $Oxy$ , ${\vec{v}}_{O^\prime}$ è la velocità del sistema $O^\prime x^\prime y^\prime$ rispetto al sistema $Oxy$ ed infine ${\vec{v}\,}^\prime$ è la velocità del punto materiale $P$ rispetto al sistema $O^\prime x^\prime y^\prime$ . Ora torniamo al nostro problema e consideriamo la figura 2.

dove $\vec{v}^{\, \prime}$ è la velocità relativa del nuotatore rispetto alla corrente e $\theta$ è l’angolo che forma la velocità relativa con l’asse $y^\prime$ .

Applichiamo (2) ottenendo

(3) $\begin{equation*} \vec{v}=\vec{v}_{O^\prime}+\vec{v}^{\, \prime} \quad \Leftrightarrow \quad \vec{v}_1=\vec{V}+\vec{v}^{\, \prime} \end{equation*}$

e dal momento che

$\vec{V}=-V\, \hat{y}$

$\vec{v}^{\, \prime}=v^\prime \sin \theta\, \hat{x}+v^\prime \cos \theta \, \hat{y},$

allora (3) diventa

$\vec{v}_1=\vec{V}+\vec{v}^{\, \prime}= -V\, \hat{y}+v^\prime \cos \theta \, \hat{y}+v^\prime \sin\theta \, \hat{x}= (-V+v^\prime\cos\theta) \hat{y}+ v^\prime\,\sin\theta \; \hat{x}.$

Per procedere con velocità costante lungo l’asse $x$ del sistema riferimento fisso deve valere

$-V+v^\prime\cos\theta=0 \quad \Leftrightarrow \quad \theta=\arccos\left(\dfrac{V}{v^\prime}\right) .$

Determiniamo il modulo di $\vec{v}_1$ sostituendo il valore appena ottenuto di $\theta$

$\vert \vec{v}_1 \vert= v^\prime \sin\theta = v^\prime \sin \arccos \left(\dfrac{V}{v^\prime}\right) .$

da cui[1]

$\vert \vec{v}_1 \vert= v^\prime \sqrt{1-\left(\dfrac{V}{v^\prime}\right)^2} = \sqrt{(v^\prime)^2-V^2}.$

Dal momento che il nuotatore si muove di moto rettilineo uniforme possiamo scrivere la sua legge oraria come

(4) $\begin{equation*} x(t)=\vert \vec{v}_1 \vert \, t \end{equation*}$

e ponendo

$x(t)=D$

allora il tempo che impiega a fare tale percorso è $t = T$ , da cui

$T = \dfrac{D}{\vert \vec{v}_1 \vert} = \dfrac{D}{\sqrt{(v^\prime)^2-(V)^2}}.$

Dunque concludiamo che il tempo cercato è

$\boxcolorato{fisica}{ T=\dfrac{D}{\sqrt{(v^\prime)^2-(V)^2}} .}$

Svolgimento secondo metodo.

Da (2) abbiamo che

$\vec{v}_1=\vec{V}+\vec{v}^{\, \prime} \quad \Leftrightarrow \quad \vec{v}_1-\vec{V}=\vec{v}^{\, \prime}.$

Consideriamo la seguente rappresentazione dei vettori dove abbiamo applicato la regola del parallelogramma

Consideriamo ora solo il triangolo

Dalla figura 2 osserviamo che $\vec{V}$ e $\vec{v}_1$ sono ortogonali, quindi possiamo porre $\alpha = \pi/2$ e quindi il precedente triangolo diventa

Allora abbiamo

$(v^\prime)^2=v_1^2+(V)^2 \quad\Leftrightarrow \quad v_1=\sqrt{(v^\prime)^2-(V)^2}.$

Abbiamo così determinato la velocità con la quale si muove il nuotatore rispetto all’osservatore fisso.

Tenendo nuovamente in considerazione (4), otteniamo

$T = \dfrac{D}{\sqrt{(v^\prime)^2-(V)^2}}$

concludendo che il tempo cercato è

$\boxcolorato{fisica}{ T=\dfrac{D}{\sqrt{(v^\prime)^2-(V)^2}}.}$

1. Dalla prima relazione fondamentale della goniometria abbiamo

$\sin^2x+\cos^2x=1\quad \Leftrightarrow \quad \left \vert \sin x \right \vert =\sqrt{1-\cos^2 x}$

e, ponendo in quest’ultima $x=\arccos \theta$ , abbiamo

(5) $\begin{equation*} \left \vert \sin \arccos \theta \right \vert =\sqrt{1-\cos^2 \arccos \theta}=\sqrt{1- \theta^2}. \end{equation*}$

↩

Scarica gli esercizi svolti

Ottieni il documento contenente 37 esercizi risolti, contenuti in 131 pagine ricche di dettagli, per migliorare la tua comprensione dei moti relativi in meccanica classica.

Ulteriori risorse didattiche per la fisica

Leggi...

Physics Stack Exchange – Parte della rete Stack Exchange, questo sito è un forum di domande e risposte specificamente dedicato alla fisica. È un’ottima risorsa per discutere e risolvere problemi di fisica a tutti i livelli, dall’elementare all’avanzato.
ArXiv – ArXiv è un archivio di preprint per articoli di ricerca in fisica (e in altre discipline scientifiche). Gli articoli non sono peer-reviewed al momento della pubblicazione su ArXiv, ma rappresentano un’importante risorsa per rimanere aggiornati sugli sviluppi più recenti nella ricerca fisica.
Phys.org – Questo sito offre notizie e aggiornamenti su una vasta gamma di argomenti scientifici, con un focus particolare sulla fisica. È una risorsa utile per rimanere aggiornati sugli ultimi sviluppi nella ricerca e nelle scoperte fisiche.
Physics Forums – Una delle comunità online più grandi per la fisica e la scienza in generale. Offre discussioni su vari argomenti di fisica, aiuto con i compiti, e discussioni su articoli di ricerca.
The Feynman Lectures on Physics – Questo sito offre accesso gratuito alla famosa serie di lezioni di fisica di Richard Feynman, un’ottima risorsa per studenti di fisica di tutti i livelli.
American Physical Society (APS) – La APS è una delle organizzazioni più importanti per i fisici. Il sito offre accesso a pubblicazioni, conferenze, risorse educative e aggiornamenti sulle novità del mondo della fisica.
Institute of Physics (IOP) – L’IOP è un’importante organizzazione professionale per i fisici. Il sito offre risorse per l’apprendimento, accesso a riviste scientifiche, notizie e informazioni su eventi e conferenze nel mondo della fisica.
Physics World – Physics World è una rivista online che offre notizie, articoli, interviste e approfondimenti su vari argomenti di fisica. È una risorsa preziosa per chiunque sia interessato agli sviluppi contemporanei nella fisica.
Quanta Magazine (sezione Fisica) – Quanta Magazine è una pubblicazione online che copre notizie e articoli di approfondimento su matematica e scienze. La sezione fisica è particolarmente interessante per i contenuti di alta qualità e le spiegazioni approfondite.
Perimeter Institute – Il Perimeter Institute è un importante centro di ricerca in fisica teorica. Il sito offre accesso a conferenze, workshop e materiale educativo, ed è un’ottima risorsa per chi è interessato alla fisica teorica avanzata.

Document

Menu

Chiudi