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Equazione di Binet

Gravitazione in Meccanica classica

Home » Equazione di Binet

In questo articolo presentiamo l’equazione di Binet, che fornisce un’espressione dell’accelerazione di un corpo soggetto a una forza centrale, riportandone anche una dimostrazione dettagliata.

Oltre alla lista alla fine dell’articolo, segnaliamo il seguente materiale su argomenti correlati all’equazione di Binet:

 
 
 
 

Autori e revisori

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Autori: Valerio Brunetti, Anna D’Addio, Federico Manzoni.

Revisori: Andrea Corradini, Alberro Cella, Nicola Fusco.


 
 

Introduzione

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La formula di Binet esprime l’accelerazione di un corpo soggetto a una forza F centrale, ossia diretta verso un punto fisso, detto polo. La formula di Binet mostra che questa accelerazione è esprimibile come funzione della distanza r dal polo e del momento angolare del moto (che si prova essere costante).

In questo articolo enunciamo la formula e ne forniamo una dimostrazione completa.


 
 

Formula di Binet

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Possiamo utilizzare i risultati riguardo la conservazione del momento angolare per ricavare una relazione che trova applicazione nello studio della dinamica in un campo gravitazionale, la formula di Binet.

\[\quad\]

Equazione di Binet. Sia un punto materiale di massa m soggetto ad una forza centrale di modulo F(r), con r distanza tra il punto materiale e il centro O. Allora è possibile esprimere la sua accelerazione \vec{a} in funzione della sola distanza r e del momento angolare del moto, cioè:

(1) \begin{equation*} \vec{a}=-\dfrac{L^2}{m^2r^2}\,\left[\dfrac{d^2}{d\theta^2}\left(\dfrac{1}{r}\right)+\dfrac{1}{r}\right]\,\hat{r}, \end{equation*}

dove L è il momento angolare e \hat{r} è il versore introdotto per indicare la direzione radiale.

\[\,\]

\[\,\]

Dimostrazione. Un corpo soggetto ad una forza centrale ha modulo del momento angolare L costante. L’espressione che descrive il momento angolare vale

(2) \begin{equation*} L=mr^2\,\dfrac{d\theta}{dt}. \end{equation*}

Consideriamo l’accelerazione del punto materiale m in coordinate polari, ricavata nell’Esercizio 1 in Teoria sulla gravitazione:

(3) \begin{equation*} \vec{a}=\left(\dfrac{d^2r}{dt^2}-r\,\left(\dfrac{d\theta}{dt}\right)^2 \right)\,\hat{r}+\left(\dfrac{1}{r}\,\dfrac{d}{dt}\,\left(r^2\,\dfrac{d\theta}{dt}\right)\right)\,\hat{\theta} \end{equation*}

in cui \hat{\theta} è il versore introdotto per indicare la direzione perpendicolare ad \hat{r}, in altri termini \hat{\theta} è il versore trasverso. Si osservi che i versori \hat{r} e \hat{\theta} cambiano direzione durante il moto del punto materiale di massa m istante per istante. Poiché

(4) \begin{equation*} r^2\,\dfrac{d\theta}{dt}=\text{costante} \end{equation*}

derivando rispetto al tempo t si ha

(5) \begin{equation*} \dfrac{d}{dt}\left(r^2\,\dfrac{d\theta}{dt}\right)=\dfrac{d}{dt}(\text{costante})=0, \end{equation*}

da cui

(6) \begin{equation*} \vec{a}=\left(\dfrac{d^2r}{dt^2}-r\,\left(\dfrac{d\theta}{dt}\right)^2 \right)\,\hat{r}. \end{equation*}

Quindi l’accelerazione ha solo la componente radiale non nulla. Ora, dobbiamo cercare di esprimere l’accelerazione solo in funzione della variabile r. Per fare ciò, ci avvaliamo della nota formula della catena o formula di Faà di Bruno1, cioè

(7) \begin{equation*} \dfrac{d^2r}{dt^2}=\dfrac{d^2r}{d\theta^2}\,\left(\dfrac{d\theta}{dt}\right)^2+\dfrac{dr}{d\theta}\,\dfrac{d^2\theta}{dt^2}=\dfrac{L^2}{m^2r^4}\,\dfrac{d^2r}{d\theta^2}+\dfrac{dr}{d\theta}\,\dfrac{d^2\theta}{dt^2}, \end{equation*}

in cui abbiamo usato la relazione (2) per sostituire \dfrac{d\theta}{dt} con \dfrac{L}{mr^2}. Sfruttando la medesima relazione (2) derivata rispetto al tempo t, si ha

(8) \begin{equation*} \dfrac{d^2\theta}{dt^2}=\dfrac{L}{m}\dfrac{d}{dt}\left(\dfrac{1}{r^2}\right) \end{equation*}

che può essere riscritta come

(9) \begin{equation*} \dfrac{d^2\theta}{dt^2}=\dfrac{L}{m}\dfrac{d\theta}{dt}\dfrac{d}{d\theta}\left(\dfrac{1}{r^2}\right)=\frac{L^2}{m^2r^2}\dfrac{d}{d\theta}\left(\dfrac{1}{r^2}\right)\,; \end{equation*}

in cui si è usata la regola della catena per la derivata prima \dfrac{d}{dt}\left(\dfrac{1}{r^2}\right) nel primo passaggio e la relazione (2) nel secondo passaggio. Sostituendo in equazione (7) si ottiene

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(10) \begin{equation*} \dfrac{d^2r}{dt^2}=\dfrac{L^2}{m^2r^4}\dfrac{d^2r}{d\theta^2}+\frac{L^2}{m^2r^2}\dfrac{dr}{d\theta}\dfrac{d}{d\theta}\left(\dfrac{1}{r^2}\right)=\frac{L^2}{m^2r^2}\left[\dfrac{1}{r^2}\dfrac{d^2r}{d\theta^2}+\dfrac{dr}{d\theta}\dfrac{d}{d\theta}\left(\dfrac{1}{r^2}\right)\right]. \end{equation*}

Notiamo che il termine tra parentesi quadre si può riscrivere come

(11) \begin{equation*} \dfrac{1}{r^2}\dfrac{d^2r}{d\theta^2}+\dfrac{dr}{d\theta}\dfrac{d}{d\theta}\left(\dfrac{1}{r^2}\right)=\dfrac{d}{d\theta}\left(\dfrac{dr}{d\theta}\dfrac{1}{r^2}\right)=\dfrac{d}{d\theta}\left(-\dfrac{d}{d\theta}\left(\dfrac{1}{r}\right)\right)=-\dfrac{d^2}{d\theta^2}\left(\dfrac{1}{r}\right), \end{equation*}

per cui

(12) \begin{equation*} \dfrac{d^2r}{dt^2}=\dfrac{L^2}{m^2r^2}\left(-\dfrac{d^2}{d\theta^2}\left(\dfrac{1}{r}\right)\right)=-\dfrac{L^2}{m^2r^2}\dfrac{d^2}{d\theta^2}\left(\dfrac{1}{r}\right). \end{equation*}

Sfruttando la (12) allora la (6) diventa

(13) \begin{equation*} \vec{a}=\left(\dfrac{d^2r}{dt^2}-r\dfrac{L^2}{m^2r^4}\right)\hat{r}=-\left(\dfrac{L^2}{m^2r^2}\dfrac{d^2}{d\theta^2}\left(\dfrac{1}{r}\right)+r\dfrac{L^2}{m^2r^4}\right)\hat{r}=-\dfrac{L^2}{m^2r^2}\left(\dfrac{d^2}{d\theta^2}\left(\dfrac{1}{r}\right)+\dfrac{1}{r}\right)\hat{r}, \end{equation*}

che è esattamente quello che volevamo ottenere. Utilizzando l’ultima equazione, l’accelerazione diventa

(14) \begin{equation*} \boxcolorato{fisica}{ \vec{a}=-\dfrac{L^2}{m^2r^2}\,\left[\dfrac{d^2}{d\theta^2}\left(\dfrac{1}{r}\right)+\dfrac{1}{r}\right]\,\hat{r}. } \end{equation*}

Questa espressione è detta formula di Binet.    

  1. La regola della catena permette di derivare una funzione composta di due funzioni derivabili.

    Regola della catena per la derivata prima e seconda: Siano f e g di classe \mathcal{C}^2, allora

    (15) \begin{equation*} \dfrac{df}{dx}=\dfrac{df}{dg}\cdot \dfrac{dg}{dx};\,\,\,\dfrac{d^2f}{dx^2}=\dfrac{d^2f}{dg^2}\,\left(\dfrac{dg}{dx}\right)^2+\dfrac{df}{dg}\cdot\dfrac{d^2g}{dx^2}. \end{equation*}

    Tale regola si generalizza con derivate di qualsiasi ordine per funzioni derivabili almeno fino a tale ordine con la nota formula di Faà di Bruno. ↩

 
 

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    Ulteriori risorse didattiche per la fisica

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