Teoria sulla gravitazione

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Benvenuti nella nostra guida alla teoria sulla gravitazione!
In questo articolo presentiamo la teoria di base su questa importante interazione fisica dovuta alle masse dei corpi: trattiamo i principi di base, la famosa legge della gravitazione di Newton, l’energia potenziale gravitazionale e le loro conseguenze sul moto dei corpi. Il testo offre una visione completa sull’argomento, con definizioni e spiegazioni rigorose, oltre a esempi, esercizi e illustrazioni per chiarire i concetti.

Consigliamo le seguenti raccolte di esercizi su questo e altri temi della meccanica classica:

Buona lettura!

Sommario

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In questo elaborato è presentata un’analisi dinamica e cinematica di oggetti che si muovono sotto l’influenza di una forza centrale. Si pone particolare attenzione alla forza di gravità, classificata come una forza centrale che agisce tra due corpi in base alla loro massa e alla loro distanza. L’analisi dettagliata della forza gravitazionale ci consente di applicare i risultati studiati a numerosi contesti astrofisici.

Autori e revisori

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Autori: Valerio Brunetti, Anna D’Addio, Federico Manzoni.

Revisori: Andrea Corradini, Alberto Cella, Nicola Fusco.

Notazioni

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Simbolo $\wedge$	Prodotto vettoriale;
Simbolo $\cdot$	Prodotto scalare;
Simbolo $\nabla$	Gradiente;
CM	Centro di massa;
$\varepsilon$	Eccentricità;
$G$	Costante di gravitazione universale;
$m_S$	Massa del Sole;
$m_T$	Massa della Terra;
$M_L$	Massa della Luna;
$g$	Accelerazione di gravità.

Introduzione

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La gravità è una delle quattro interazioni fondamentali del nostro Universo assieme alle interazioni elettromagnetica, debole e forte. Nonostante in senso assoluto la gravità sia la più debole delle interazioni fondamentali, gioca un ruolo di primo piano in tutti i processi astrofisici in cui le masse, o le densità, degli oggetti sotto studio sono tali da renderla un’interazione tutt’altro che trascurabile. Infatti, su tutte le scale di studio dell’astrofisica, dallo studio dei pianeti ai sistemi di ammassi di galassie, la dinamica è completamente dovuta all’interazione gravitazionale.

È stato Isaac Newton (Woolsthorpe-by-Colsterworth, 1642 – Londra, 1726), alla fine dei Principia, a descrivere la gravitazione come una causa che opera sul Sole e i pianeti “in accordo alla quantità di materia solida che contengono e propagandosi in ogni direzione per immense distanze, decrescendo sempre come l’inverso del quadrato della distanza” é [10].

Questo elaborato presenta gli aspetti fondamentali della teoria della gravitazione.

$\quad$

Nella sezione 1 è introdotto il concetto di forza centrale e sono presentate le relative proprietà.

La sezione 2 è interamente dedicata alla trattazione della teoria della gravitazione. Dopo un breve richiamo alle conoscenze che si avevano prima di Newton sul moto dei pianeti, viene enunciata la legge di gravitazione universale e introdotto il concetto di campo gravitazionale.

Nella sezione 3 l’attenzione è rivolta allo studio di sistemi di punti materiali interagenti mediante la forza gravitazionale, in particolare all’analisi energetica e cinematica. Infine, viene presentata una dimostrazione del teorema di Gauss in ambito gravitazionale.

Nella sezione 4, i risultati ottenuti dallo studio della forza gravitazionale sono utilizzati per analizzare alcuni meccanismi astronomici che regolano la dinamica dei corpi celesti.

Forze centrali

Proprietà.

Sia $Oxy$

un sistema di riferimento fisso con origine in $O$

, e $P$

un punto generico del piano $xy$

, come rappresentato in figura 1.

$\quad$

Figura 1: rappresentazione di un punto generico $P$ nel piano $xy$ .

$\quad$

Si definisce forza centrale [8] una forza che soddisfa le seguenti proprietà:

$\quad$

in ogni punto $P$ del piano $xy$ tale forza ha direzione passante per un punto fisso $O$ , chiamato centro di forza;

il suo modulo dipende unicamente dalla distanza $r=\left|\overrightarrow{OP}\right|$ dal centro stesso.

Una qualsiasi forza avente le proprietà elencate si può dunque scrivere come $\vec{F}(r)=f(r)\,\hat{r}$ , dove $\hat{r}$ è il versore che indica la direzione radiale e dove il modulo di $\vec{F}(r)$ dipende dalla distanza $r$ mediante la funzione $f(r)$ , con $f(r)>0$ ( $f(r)<0$ ) se la forza è repulsiva (attrattiva).

$\quad$

Figura 2: schematizzazione di una forza centrale attrattiva.

$\quad$

Figura 3: schematizzazione di una forza centrale repulsiva.

$\quad$

L’azione di una forza avente tali caratteristiche in una certa regione di spazio si può descrivere associando ad ogni punto un vettore, stabilendo un cosiddetto campo di forza.

$\quad$

Figura 4: campo generato da una forza centrale attrattiva.

$\quad$

Figura 5: campo generato da una forza centrale repulsiva.

$\quad$

Dimostriamo ora che in un campo di forze centrali il momento angolare $\vec{L}$ è costante in modulo, direzione e verso. La rappresentazione del campo di forze centrali, nelle figure 4 e 5, ci suggerisce di introdurre un nuovo sistema di coordinate polari $\{r,\theta\}$ alternative a quelle cartesiane definite dai versori $\hat{x}$ e $\hat{y}$ associati agli assi cartesiani. L’angolo $\theta$ è preso in modo tale da crescere in senso antiorario e tale che sia nullo quando il punto materiale si trova sull’asse $x$ . Introduciamo, quindi, i versori $\hat{r}$ e $\hat{\theta}$ : il primo punta nella direzione radiale, mentre il secondo punta, rispettando la regola della mano destra, nella direzione di crescita dell’angolo $\theta$ . In tali coordinate, il generico raggio vettore $\vec{r}$ ha solo componente radiale

(1) $\begin{equation*} \vec{r} = r \ \hat{r}; \end{equation*}$

è inoltre da sottolineare che, in generale, il versore $\hat{\theta}$ non deve essere tangente alla curva che descrive la traiettoria del corpo. Pertanto, i versori $\hat{r}$ e $\hat{\theta}$ non sono fissi nel tempo ma evolvono con lo spostarsi del corpo lungo la traiettoria e, quindi, evolvono nel tempo.

$\quad$

Figura 6: rappresentazione della velocità in coordinate polari.

$\quad$

Con riferimento alla figura 6, possiamo rappresentare la velocità $\vec{v}$ in coordinate polari scomponendola in due componenti:

(2) $\begin{equation*} \vec{v}=v_r\,\hat{r}+v_{\theta}\,\hat{\theta}, \end{equation*}$

dove $v_r$ , detta velocità radiale, è la componente velocità in direzione del raggio vettore e $v_{\theta}$ , detta velocità trasversa, è la componente della velocità in direzione ortogonale al raggio vettore. Come già detto, i versori $\hat{r}$ e $\hat{\theta}$ non sono fissi, tuttavia indicano la direzione delle componenti della velocità istante per istante. Sia inoltre $\hat{z}=\hat{r}\wedge\hat{\theta}$ il versore ortogonale al piano individuato da $\vec{r}$ e $\hat{\theta}$ .

Si ricordi che il momento angolare $\vec{L}_O$ di una particella avente massa $m$ rispetto ad un polo $O$ è definito come

(3) $\begin{equation*} \vec{L}_O=\vec{r}\wedge\vec{p}=m\vec{r}\wedge\vec{v}, \end{equation*}$

in cui $\vec{p}=m\vec{v}$ è la quantità di moto della particella. Dunque, in un moto curvilineo di un corpo di massa $m$ , il momento angolare rispetto a un polo $O$ coincidente con il centro di forza diventa

(4) $\begin{equation*} \vec{L}_O=m\,r\,\hat{r}\wedge(v_r\,\hat{r}+v_{\theta}\,\hat{\theta})=m\,r\,v_{\theta}\,\hat{z} \end{equation*}$

dove $r\,\hat{r}\wedge v_r\,\hat{r}=\vec{0}$ per le proprietà del prodotto vettoriale. Per quanto riguarda l’espressione esplicita di $v_{\theta}$ abbiamo che

$\begin{aligned} \vec{v} & = \dfrac{d\vec{r}}{dt} = \dfrac{d(r \, \hat{r})}{dt} = \dfrac{dr}{dt} \, \hat{r} + r \, \dfrac{d\hat{r}}{dt} =\\ \label{2} & = \dfrac{dr}{dt} \, \hat{r} + r \, \dfrac{d\theta}{dt} \, \hat{\theta}; \end{aligned}$

da cui

(5) $\begin{equation*} \vec{L}_O=m\,r^2\,\dfrac{d\theta}{dt}\,\hat{z}. \end{equation*}$

Notiamo che nel sistema in questione il momento angolare è calcolato rispetto a un polo $O$ fisso nel sistema di riferimento inerziale $xy$ . In questo caso, il teorema del momento angolare garantisce che il momento angolare $L_O$ di un punto materiale in moto sul piano $xy$ evolve nel tempo secondo la seguente equazione differenziale

(6) $\begin{equation*} \vec{M}_O=\dfrac{d\vec{L}_O}{dt}, \end{equation*}$

in cui $M_O$ è il momento torcente totale dovuto alle forze esterne che agiscono sul punto materiale calcolato rispetto allo stesso polo $O$ . Tuttavia, il momento torcente $\vec{M}_O$ rispetto a un polo fisso $O$ è la somma dei momenti delle forze esterne $\vec{F}_i^{(E)}$ applicate ad un punto materiale, calcolati rispetto allo stesso polo fisso $O$

(7) $\begin{equation*} \vec{M}_O=\vec{r}\wedge \sum_i\vec{F}_i^{(E)}, \end{equation*}$

in cui $r$ è il vettore posizione del punto materiale rispetto al polo $O$ ; segue che

(8) $\begin{equation*} \dfrac{d\vec{L}_O}{dt}=\vec{r}\wedge \sum_i\vec{F}_i^{(E)}. \end{equation*}$

Si consideri una regione di spazio in cui agisce la sola forza centrale $\vec{F}(r)$ ; il momento di tale forza rispetto al centro è nullo, essendo $\vec{r}$ e $\vec{F}(r)$ due vettori paralleli:

(9) $\begin{equation*} \vec{M}_O=\vec{r}\wedge\vec{F}(r)=r\,F(r)\,\hat{r}\wedge\hat{r}=\vec{0}. \end{equation*}$

Ne consegue che

(10) $\begin{equation*} \boxcolorato{fisica}{\dfrac{d\vec{L}_O}{dt}=\vec{0}\qquad\Rightarrow\qquad\vec{L}_O=\text{costante}.} \end{equation*}$

La conseguenza fondamentale dell’equazione (10) è che il moto di un generico punto materiale $P$ avviene in un piano fisso contenente¹ $\vec{r}$ e $\vec{v}$ , essendo quest’ultimo per definizione ortogonale a $\vec{L}_O$ . Ricordando l’equazione (5), deduciamo che, nonostante le grandezze $r$ e $\dfrac{d\theta}{dt}$ siano variabili nel tempo, si mantiene costante il prodotto $r^2\,\dfrac{d\theta}{dt}$ .

Introduciamo ora la velocità areale $\dfrac{dA}{dt}$ , ovvero una grandezza che esprime la rapidità con cui il raggio vettore $\vec{r}$ del punto $P$ spazza l’area della regione di spazio compresa tra il polo $O$ e una porzione della traiettoria del punto materiale:

(11) $\begin{equation*} \dfrac{dA}{dt} = \dfrac{1}{2} \, r^2 \, \dfrac{d\theta}{dt}. \end{equation*}$

La più importante conseguenza della conservazione del momento angolare è che la velocità areolare di un punto soggetto a un campo di forze centrali si mantiene anch’essa costante. Per dimostrare tale risultato si consideri la figura 7.

$\quad$

Figura 7: rappresentazione dell’area spazzata $dA$ dal vettore di modulo $r$ congiungente $O$ e $P$ in un tempo $dt$ .

$\quad$

L’area infinitesima $dA$ spazzata dal raggio vettore $\vec{r}$ in un tempo $dt$ si può approssimare con l’area di un triangolo di base $r\,d\theta$ e altezza $r$ :

(12) $\begin{equation*} dA=\dfrac{1}{2}\,r^2\,d\theta. \end{equation*}$

La velocità areolare $dA/dt$ esprime il tasso di variazione dell’area spazzata da $\vec{r}$ e, usando la (5), può essere riscritta come

(13) $\begin{equation*} \boxcolorato{fisica}{\dfrac{dA}{dt}=\dfrac{1}{2}\,r^2\,\dfrac{d\theta}{dt}=\dfrac{L_O}{2\,m},} \end{equation*}$

in cui $L_O$ è il modulo del vettore momento angolare $\vec{L}_O$ . Grazie all’equazione (13) è immediato constatare che la costanza della velocità areolare è una diretta conseguenza della conservazione del momento angolare.

Un’altra importante caratteristica delle forze centrali è che sono conservative, ovvero il lavoro da esse compiuto quando un punto materiale si sposta tra due punti $A$ a $B$ non dipende dal particolare percorso che congiunge tali punti.

Richiami teorici: forze conservative

Prima di proseguire con lo studio delle forze centrali, soffermiamoci su alcuni richiami riguardanti le forze conservative che ci saranno utili per mostrare che le forze centrali sono effettivamente conservative. Per approfondire le tematiche seguenti si consiglia di consultare [12].

Per prima cosa introduciamo intuitivamente il concetto di campo vettoriale con il quale le forze fisiche vengono modellizzate. Un campo vettoriale² $\vec{F}$ è una funzione a più variabili a valori vettoriali, ossia

(14) $\begin{equation*} \vec{F}: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^m \end{equation*}$

in cui $n$ e $m$ sono, rispettivamente, le dimensioni dello spazio di partenza e arrivo. In altri termini, un campo vettoriale è una funzione che associa a ogni punto di uno spazio euclideo $n$ dimensionale un vettore dello spazio Euclideo $m$ dimensionale. Pertanto una notazione comoda per indicare un campo vettoriale è $\vec{F}(\vec{x})=(F_1(\vec{x}),F_2(\vec{x}),...,F_m(\vec{x}))$ in cui $\vec{x}=(x_1,x_2,..,x_n)$ . Noi ci focalizzeremo sui campo vettoriali in cui $n,m \in \{1,2,3\}$ poiché in ambito fisico le forze sono formalizzate, matematicamente, come campi vettoriali. Una classe particolarmente rilevante di campi vettoriali sono i cosiddetti campi vettoriali conservativi che ci apprestiamo a definire e studiare brevemente. Per procedere, definiamo il lavoro di un campo vettoriale $\vec{F}$ . Detta $\gamma$ un generico cammino³ tramite il quale un punto materiale va da $A$ a $B$ , come mostrato in figura 8, la definizione di lavoro di un campo vettoriale è la seguente

(15) $\begin{equation*} W_{A\rightarrow B}=\int_{\gamma } \vec{F}(\vec{x})\cdot d\vec{s} \end{equation*}$

in cui $d\vec{s}$ è il vettore spostamento infinitesimo lungo il cammino $\gamma$ .

$\quad$

Figura 8: generico cammino congiungente due punti $A$ e $B$ .

$\quad$

Un campo vettoriale $\vec{F}$ si definisce conservativo se il suo lavoro non dipende dal cammino $\gamma$ scelto per congiungere i punti $A$ e $B$ . In altri termini, con riferimento alla figura 9, se $\gamma$ è un cammino che congiunge $A$ e $B$ , $\gamma_1$ è un secondo cammino che congiunge $A$ e $B$ , e $\gamma_i$ è qualunque altro cammino che congiunge $A$ e $B$ e vale che

(16) $\begin{equation*} \int_{\gamma} \vec{F}(\vec{x}) \cdot d\vec{s}=\int_{\gamma_1} \vec{F}(\vec{x}) \cdot d\vec{s}=\int_{\gamma_i} \vec{F}(\vec{x}) \cdot d\vec{s} \end{equation*}$

allora il campo vettoriale $\vec{F}$ è conservativo.

$\quad$

Figura 9: vari cammini congiungenti $A$ e $B$ . Il cammino trattegiato $\gamma_i$ indica un qualunque generico cammino congiungente $A$ e $B$ .

$\quad$

Guardando la prima uguaglianza in equazione (16) possiamo scrivere

(17) $\begin{equation*} \int_{\gamma} \vec{F}(\vec{x}) \cdot d\vec{s}-\int_{\gamma_1} \vec{F}(\vec{x}) \cdot d\vec{s}=0; \end{equation*}$

poichè il segno meno davanti al secondo integrale indica di cambiare il verso di percorrenza⁴, tale risultato esprime il fatto che il lavoro compiuto dal campo vettoriale $\vec{F}$ per portare il punto materiale da $A$ a $B$ e poi indietro da $B$ ad $A$ è nullo. Inoltre, sempre da (16), questo ragionamento vale se applicato a qualunque coppia di cammini che congiungono $A$ e $B$ . Pertanto la definizione di campo vettoriale conservativo può essere riformulata richiedendo che il lavoro su ogni cammino chiuso⁵ $\tilde{\gamma}$ sia nullo, in formule

(18) $\begin{equation*} \oint_{\tilde{\gamma}}\vec{F}(\vec{x}) \cdot d\vec{s}=0. \end{equation*}$

In generale, l’integrale di una campo vettoriale $\vec{F}$ lungo un cammino chiuso viene chiamato circuitazione del campo $\vec{F}$ e non ha ragione di essere nullo. Tuttavia, come già detto, se la circuitazione del campo $\vec{F}$ è nulla allora il campo vettoriale $\vec{F}$ è conservativo e vale anche il viceversa. È possibile, nell’ambito dell’analisi vettoriale [2], enunciare e dimostrare rigorosamente un teorema che stabilisce l’equivalenza tra le seguenti tre condizioni

$\quad$

$\vec{F}$ è un campo vettoriale conservativo;

dati due qualunque cammini $\gamma_1$ e $\gamma_2$ che congiungono gli stessi punti $A$ e $B$ si ha
(19) $\begin{equation*} \int_{\gamma_1} \vec{F}(\vec{x}) \cdot d\vec{s}=\int_{\gamma_2} \vec{F}(\vec{x}) \cdot d\vec{s}; \end{equation*}$

dato un qualunque cammino chiuso $\tilde{\gamma}$ si ha
(20) $\begin{equation*} \oint_{\tilde{\gamma}} \vec{F}(\vec{x}) \cdot d\vec{s}=0. \end{equation*}$

Il prossimo passo è trasformare le condizioni integrali sul campo vettoriale $\vec{F}$ (le condizioni 2 e 3) in condizioni differenziali, ossia in condizioni che hanno a che fare con il concetto di derivata e non con quello di integrale. Per prima cosa argomentiamo come per un campo conservativo $\vec{F}$ esiste una funzione scalare $U$ tale che

(21) $\begin{equation*} \vec{F}=-\vec{\nabla}U \end{equation*}$

in cui $\vec{\nabla}$ è chiamato operatore nabla ed è il vettore delle derivate parziali⁶; in tre dimensioni e in coordinate cartesiane assume la forma $\vec{\nabla}=\left(\dfrac{\partial}{\partial x}, \dfrac{\partial}{\partial y}, \dfrac{\partial}{\partial z} \right)$ . L’argomento per arrivare al risultato espresso dalla relazione (21) è il seguente. Poichè il lavoro lungo un cammino che congiunge il punto $A$ al punto $B$ del campo vettoriale $\vec{F}$ dipende solo dai punti $A$ e $B$ segue che deve esistere una funzione scalare⁷ $U$ tale che

(22) $\begin{equation*} \int_{\gamma} \vec{F}(\vec{x}) \cdot d\vec{s}=U(A)-U(B). \end{equation*}$

La funzione scalare $U$ è detta potenziale del campo vettoriale $\vec{F}$ e il teorema del gradiente⁸ ci assicura che deve valere la relazione (21) in cui $U$ è continua e derivabile. Da notare che la relazione (21) in cui $U$ è continua e derivabile, può essere presa come definizione di campo vettoriale conservativo e dimostrare a posteriori l’indipendenza del lavoro del campo vettoriale dal particolare cammino scelto per congiungere i punti $A$ e $B$ . Per amore della completezza vale la pena citare che una condizione necessaria affinché un campo vettoriale $\vec{F}$ sia conservativo è che

(23) $\begin{equation*} \left({\frac {\partial F_{3}}{\partial y}}-{\frac {\partial F_{2}}{\partial z}}, {\frac {\partial F_{1}}{\partial z}}-{\frac {\partial F_{3}}{\partial x}}, {\frac {\partial F_{2}}{\partial x}}-{\frac {\partial F_{1}}{\partial y}}\right)=\vec{0}. \end{equation*}$

Tale condizione è detta di irrotazionalità e spesso, ma non sempre, è una condizione anche sufficiente per la conservatività del campo⁹.

Tornando al caso delle forze centrali, indichiamo con $\gamma$ una generica traiettoria tramite la quale un punto materiale va da $A$ a $B$ . Per definizione di lavoro, possiamo esprimere il lavoro della generica forza centrale come segue

(24) $\begin{equation*} W_{A\rightarrow B}=\int_{\gamma } \vec{F}(r)\cdot d\vec{s}. \end{equation*}$

Esprimendo il vettore spostamento infinitesimo $d\vec{s}$ appartenente alla curva $\gamma$ in coordinate polari

(25) $\begin{equation*} d\vec{s}=dr\,\hat{r}+r\,d\theta\,\hat{\theta}, \end{equation*}$

dove $dr$ e $rd\theta$ sono le componenti dello spostamento infinitesimo rispettivamente lungo $\hat{r}$ e $\hat{\theta}$ , si ha

(26) $\begin{equation*} W_{A\rightarrow B}=\int_\gamma F(r)\,\hat{r}\cdot (dr\,\hat{r}+r\,d\theta\,\hat{\theta}), \end{equation*}$

da cui, sfruttando il fatto che $\hat{r}\cdot\hat{\theta}=0$ e $\hat{r}\cdot\hat{r}=1$ , si ottiene

(27) $\begin{equation*} W_{A\rightarrow B}=\int_\gamma F(r)\,dr. \end{equation*}$

Dunque, il lavoro compiuto dalla forza $F$ dipende solo dalle distanze di partenza e di arrivo del punto di applicazione, pertanto la forza è conservativa. Quindi, supponendo che $F(r)$ sia Riemann-integrabile, il lavoro compiuto su una particella che si sposta da una posizione iniziale $r_0$ a una finale $r$ è determinato dalla variazione di una funzione della sola coordinata radiale che si chiama energia potenziale e che indicheremo con $U(r)$ :

(28) $\begin{equation*} U(r)=-\int_{r_0}^{r}F(r)\,dr+\text{costante}. \end{equation*}$

Scegliamo $r_0=\infty$ come punto di riferimento a cui attribuiamo per convenzione $U(r=r_0)=0$ . A titolo esemplificativo, consideriamo un particolare campo di forze che è in modulo inversamente proporzionale al quadrato della distanza

(29) $\begin{equation*} \vec{F}(r)=-\dfrac{k}{r^2}\,\hat{r}, \end{equation*}$

con $k$ costante. Una simile legge descrive generalmente una forza generata in una regione di spazio da una sorgente puntiforme, come ad esempio la forza di attrazione tra due corpi dotati di massa e la forza di attrazione/repulsione fra due particelle elettricamente cariche. Tuttavia, non tutte le forze centrali osservabili in natura obbediscono a tale legge: per esempio, la forza elastica è una forza centrale, ma segue un andamento diverso, dettato dalla legge di Hooke. Semplici calcoli mostrano che la corrispondente energia potenziale è

(30) $\begin{equation*} U(r)=-\int_{r_0}^{r}-\dfrac{k}{r'^2}\,dr'=-\dfrac{k}{r}+\dfrac{k}{r_0}. \end{equation*}$

Imponendo che $r_0=\infty$ si trova:

(31) $\begin{equation*} U(r)=-\dfrac{k}{r}, \end{equation*}$

dove

(32) $\begin{equation*} r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}. \end{equation*}$

Per calcolare $\vec{F}$ in funzione delle variabili $x$ , $y$ e $z$ , ricordiamo la definizione di forza conservativa in termini della sua energia potenziale:

(33) $\begin{equation*} \vec{F}=-\vec{\nabla}U, \end{equation*}$

dove l’operatore $\nabla$ indica il gradiente. Esplicitamente

(34) $\begin{equation*} \vec{F}(x,y,z)=-\left(\dfrac{\partial U}{\partial x}\,\hat{x}+\dfrac{\partial U}{\partial y}\,\hat{y}+\dfrac{\partial U}{\partial z}\,\hat{z}\right) \end{equation*}$

da cui le componenti cartesiane della forza si possono ricavare nel modo seguente:

(35) $\begin{equation*} \begin{cases} F_x=-\dfrac{\partial U}{\partial x}=\dfrac{\partial}{\partial x}\left(\dfrac{k}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\right)=-\dfrac{k\,x}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}} \\[10pt] F_y=-\dfrac{\partial U}{\partial y}=\dfrac{\partial}{\partial y}\left(\dfrac{k}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\right)=-\dfrac{k\,y}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}}\\[10pt] F_z=-\dfrac{\partial U}{\partial z}=\dfrac{\partial}{\partial z}\left(\dfrac{k}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\right)=-\dfrac{k\,z}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}}.\\ \end{cases} \end{equation*}$

Si conclude che

(36) $\begin{equation*} \vec{F}=-\dfrac{k}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}}(x\,\hat{x}+y\,\hat{y}+z\,\hat{z})=-\dfrac{k}{r^3}\,\vec{r}. \end{equation*}$

Nelle prossime sezioni ci concentreremo su un fondamentale esempio di forza centrale: la forza espressa dalla legge di gravitazione universale.

Riassumendo, un punto materiale sotto l’influenza di un campo di forze centrali

$\quad$

ha un momento angolare costante;

ha una traiettoria che giace in un piano fisso ortogonale al momento angolare individuato dalle condizioni iniziali $\vec{r}(t_0)$ e $\vec{v}(t_0)$ ;

si muove con una velocità areolare costante.

Esercizio 1 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$

. Le coordinate polari di un punto che si muove in un piano variano nel tempo secondo la legge $r(t)=r_0 \exp{\left(-\dfrac{\omega t}{2\pi}\right)},$

$\theta(t) = \omega t$

con $r_0,\omega \in \mathbb{R}$

. Calcolare la velocità del punto nell’istante $t=0$

e dire se il moto avviene sotto l’azione di una forza centrale.

$\quad$

Svolgimento. Scegliamo un sistema di riferimento fisso $Oxy$ che descrive il moto del punto in coordinate polari (vedi figura 10):

$\quad$

Figura 10: moto di un punto in coordinate polari.

$\quad$

Si ricorda che data la parametrizzazione $\vec{r}(t)= x(t) \, \hat{x} + y(t) \, \hat{y}$ del percorso $\gamma$ fatta dal punto materiale nel piano cartesiano, si definisce velocità vettoriale il limite del rapporto incrementale di $\vec{r}$ :

(37) $\begin{equation*} \lim_{h \to 0} \dfrac{\vec{r}(t+h)-\vec{r}(t)}{h} = \vec{v}(t) = \dfrac{d\vec{r}}{dt}(t). \end{equation*}$

Scriviamo $\vec{v}$ in coordinate polari introducendo i versori $\hat{r}$ ed $\hat{\theta}$ e da (37) abbiamo

(38) $\begin{equation*} \vec{v} & = \dfrac{d\vec{r}}{dt} = \dfrac{d(r \, \hat{r})}{dt} = \dfrac{dr}{dt} \, \hat{r} + r \, \dfrac{d\hat{r}}{dt} & = \dfrac{dr}{dt} \, \hat{r} + r \, \dfrac{d\theta}{dt} \, \hat{\theta}. \end{equation*}$

Per ipotesi sappiamo che

(39) $\begin{equation*} r(t)=r_0 e^{-\frac{\omega t}{2\pi}}, \,\,\theta(t) = \omega t \end{equation*}$

quindi confrontando (39) con (38), si ottiene:

$\vec{v} = \underbrace{r_0 \left(-\dfrac{\omega}{2\pi}\right) \; e^{-\frac{\omega t}{2\pi}} \; \hat{r}}_{\vec{v}_r \; \text{velocità radiale}} + \underbrace{r_0 \; e^{-\frac{\omega t}{2\pi}} \; \omega \; \hat{\theta}}_{\vec{v}_\theta \; \text{velocità trasversa}}.$

Valutiamo la velocità all’istante $t=0$ , ottenendo:

$\boxcolorato{fisica}{\vec{v}(0) = - \dfrac{\omega \; r_0}{2\pi} \; \hat{r} + r_0 \, \omega \, \hat{\theta}.}$

Si ricorda che in un campo di forze centrali il momento angolare rispetto al centro della forza rimane costante nel tempo ovvero si conserva. Nel nostro sistema di riferimento prendiamo come polo della forza $O$ .

Deriviamo (38) rispetto al tempo:

(40) $\begin{equation*} \begin{split} \dfrac{d\vec{v}}{dt} & = \dfrac{d^2r}{dt^2} \, \hat{r} + \dfrac{dr}{dt} \; \dfrac{d\theta}{dt} \; \hat{\theta} + \dfrac{dr}{dt} \; \dfrac{d\theta}{dt} \; \hat{\theta} + r \; \dfrac{d^2\theta}{dt^2} \hat{\theta} - r \; \dfrac{d\theta}{dt} \; \dfrac{d\theta}{dt} \hat{r} =\\[5pt] & = \hat{r} \left(\dfrac{d^2r}{dt^2}- r \left(\dfrac{d\theta}{dt}\right)^2\right) + \hat{\theta} \left(2 \; \dfrac{dr}{dt} \; \dfrac{d\theta}{dt} + r \; \dfrac{d^2\theta}{dt^2}\right) =\\[5pt] & = \hat{r} \left(\dfrac{d^2r}{dt^2}-r \left(\dfrac{d\theta}{dt}\right)^2\right) + \hat{\theta} \; \dfrac{1}{r} \; \left(\dfrac{d\left(r^2 \frac{d\theta}{dt}\right)}{dt}\right). \end{split} \end{equation*}$

Sostituendo (39) in (40) otteniamo

$\begin{aligned} \dfrac{d\vec{v}}{dt} & = \hat{r} \left(r_0 \; e^{-\frac{\omega t}{2\pi}} \left( \left(-\dfrac{\omega}{2\pi}\right)^2 - \omega^2 \right) \right) + \hat{\theta} \left(2 r_0 \left(- \dfrac{\omega}{2\pi}\right)\; e^{-\frac{\omega t}{2\pi}} \; \omega \right) = \\[5pt] & = \hat{r} \left(\dfrac{r_0 \omega^2 (1-4\pi^2)}{4\pi^2} e^{-\frac{\omega t}{2\pi}} \right) + \hat{\theta} \left(- \dfrac{\omega^2 r_0}{\pi} \; e^{-\frac{\omega t}{2\pi}}\right). \end{aligned}$

Si ricordi il teorema del momento angolare per un punto materiale

$\dfrac{{}d\vec{L}_{O}}{dt} = {\vec{M}_{O}}^{\text{\tiny ext}}.$

Prendendo come polo il centro della forza e supponendo che sia fisso, abbiamo

$\begin{aligned} \dfrac{{}d\vec{L}_{O}}{dt} & ={\vec{M}_{O}}^{\text{\tiny ext}} = \\ & = \vec{r} \wedge \vec{F} = \\ & = \vec{r} \wedge m \; \dfrac{d\vec{v}}{dt} =\\ & =m r\,\left(-\dfrac{\omega^2 r_0}{\pi} \; e^{-\frac{\omega t}{2\pi}} \right)\, \hat{r} \wedge \hat{\theta} = \\ & =m \left(r_0 e^{-\frac{\omega t}{2\pi}}\right)\left(-\dfrac{\omega^2 r_0}{\pi} \; e^{-\frac{\omega t}{2\pi}} \right)\, \hat{r} \wedge \hat{\theta} = \\ & = -m \dfrac{\omega^2}{\pi} r_0^2 \; e^{-\frac{\omega t}{2\pi}} \hat{z} \neq 0, \end{aligned}$

dove $\hat{z}$ è il versore nella direzione dell’asse delle $z$ . Si conclude che $\vec{L}$ non si conserva quindi il moto non avviene sotto una forza centrale.

Nel caso limite in cui $\vec{r}$ è parallelo a $\vec{v}$ il moto avviene lungo una retta passante per $O$ . ↩

Andrebbe specificato su uno spazio Euclideo ma poiché lavoreremo solo su spazi Euclidei omettiamo quasta specificazione. ↩

Tale cammino deve soddisfare alcune richieste di regolarità, ossia essere liscia a tratti. Intuitivamente questo vuol dire che la curva presenta solo una quantità numerabile di punti in cui forma spigoli. ↩

Questo è analogo al segno meno davanti agli integrali su segmenti rettilinei che indica di scambiare gli estremi di integrazione. ↩

Ossia che parte e arriva nello stesso punto. ↩

Intuitivamente, la derivata parziale di $f$ rispetto alla variabile $k$ è la derivata ordinaria rispetto alla variabile $k$ da cui $f$ dipende mantenendo costanti tutte le altre variabili da cui $f$ dipende. ↩

Scalare perché l’integrale restituisce una quantità scalare. ↩

Il teorema del gradiente è la generalizzazione agli integrali performati su linee curve del teorema fondamentale del calcolo per gli integrali su segmenti rettilinei. Il lettore interessato può dare uno sguardo al riferimento bibliografico [2]. ↩

Senza entrare nei dettagli, la condizione di irrotazionalità implica la condizione di conservatività solo se lo spazio in questione non ha buchi. Per saperne di più si conculti, ad esempio, [11] ↩

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