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Esercizi sul calcolo vettoriale

Esercizi misti in cinematica del punto materiale, Esercizi misti Meccanica classica, Metodi matematici per la meccanica classica

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Benvenuti nella nostra raccolta di esercizi sul calcolo vettoriale! Questa serie di problemi risolti mira a illustrare le nozioni teoriche sul calcolo e l’analisi in più dimensione, mediante l’applicazione dei concetti a situazioni pratiche.
La raccolta è pertanto rivolta agli studenti di Fisica generale 1, che desiderano rafforzare la loro padronanza delle operazioni tra vettori in vista dell’applicazione ai problemi fisici più vari.
Buona lettura a tutti!

Oltre al materiale contenuto in Cinematica del punto materiale e Dinamica del punto materiale, consigliamo la lettura dei seguenti articoli su argomenti affini:

 

Introduzione: vettori e calcolo vettoriale

Leggi...

Benvenuti alla raccolta di esercizi sul calcolo vettoriale, pensati per studenti che stanno seguendo un corso di Fisica 1 e Meccanica Razionale. Il calcolo vettoriale è uno strumento fondamentale in fisica e ingegneria, utilizzato per descrivere e analizzare una vasta gamma di fenomeni fisici.

Questi esercizi sono progettati come ripasso preliminare prima di iniziare la cinematica del punto materiale. Affrontando questi problemi, rafforzerete la vostra comprensione dei concetti base del calcolo vettoriale, essenziali per affrontare con successo gli argomenti più avanzati di Fisica 1 e Meccanica Razionale.

In questa raccolta, troverete esercizi che coprono vari aspetti del calcolo vettoriale, tra cui:

Le operazioni fondamentali con i vettori, come somma, sottrazione e moltiplicazione per uno scalare. Il prodotto scalare, strumento chiave per calcolare angoli e proiezioni tra vettori. Il prodotto vettoriale, utilizzato per determinare momenti angolari e aree di parallelogrammi definiti da due vettori. La decomposizione dei vettori nelle loro componenti cartesiane e l’uso delle coordinate polari e sferiche. Applicazioni pratiche del calcolo vettoriale in problemi di cinematica e dinamica, inclusi moto rettilineo, moto circolare e forze centripete. Ogni esercizio è accompagnato da una soluzione dettagliata che spiega i passaggi necessari per arrivare alla risposta corretta, facilitando così l’apprendimento e l’autovalutazione. Questo approccio vi permetterà di verificare la vostra comprensione e di correggere eventuali errori concettuali prima di passare agli argomenti successivi.

Vi invitiamo a lavorare su questi esercizi con attenzione e curiosità, sperimentando diverse strategie di soluzione e confrontando i risultati con le spiegazioni fornite. Il calcolo vettoriale non è solo una tecnica matematica, ma un linguaggio potente per descrivere il mondo fisico che ci circonda. Buon lavoro e buon divertimento con il calcolo vettoriale!


 

Esercizi sul calcolo vettoriale: testi e soluzioni

Esercizio 1 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Sia fissato un sistema di riferimento Oxyz, dove \bm{\hat{x}}, \bm{\hat{y}} e \bm{\hat{z}} sono rispettivamente i versori dell’asse x, y e z. Dati i vettori

\[\bm{v_1}=\, 3\bm{\hat{x}} - 2\,\bm{\hat{y}} + 5\,\bm{\hat{z}} \qquad \mbox{e} \qquad \bm{v_2} = -\bm{\hat{x}} + 3\,\bm{\hat{y}} + \bm{\hat{z}},\]

determinare

  1. il vettore somma \bm{v_1}+ \bm{v_2} e il vettore differenza \bm{v_1}-\bm{v_2} ;
  2. il prodotto scalare \bm{v_1}\cdot \bm{v_2} ;
  3. il prodotto vettoriale \bm{v_1}\wedge \bm{v_2} ;
  4. il modulo dei vettori \vert \bm{v_1}\vert e \vert \bm{v_2} \vert;
  5. L’angolo \vartheta compreso tra i due vettori.

Svolgimento punto 1.

Dati due vettori

\[\bm{v}_1=v_{1,x}\,\bm{\hat{x}}+v_{1,y}\,\bm{\hat{y}}\]

e

\[\bm{v}_2=v_{2,x}\,\bm{\hat{x}}+v_{2,y}\,\bm{\hat{y}},\]

la loro somma è data da

\[\bm{v}_1+\bm{v}_2=\left(v_{1,x}+v_{2,x}\right)\bm{\hat{x}}+\left(v_{1,y}+v_{2,y}\right)\bm{\hat{y}},\]

mentre la loro differenza è

\[\bm{v}_1-\bm{v}_2=\left(v_{1,x}-v_{2,x}\right)\bm{\hat{x}}+\left(v_{1,y}-v_{2,y}\right)\bm{\hat{y}}.\]

Sfruttando quanto detto, si ha

\[\bm{v_1}+ \bm{v_2} = (3-1)\bm{\hat{x}} + (-2+3)\bm{\hat{y}} + (5+1)\ebm{\hat{z}} = 2\bm{\hat{x}} +\bm{\hat{y}} + 6\bm{\hat{z}}\]

e

\[\bm{v_1}- \bm{v_2} = (3-(-1))\bm{\hat{x}} + (-2-3)\bm{\hat{y}} + (5-1)\bm{\hat{z}} = 4\bm{\hat{x}} -5 \bm{\hat{y}} + 4\bm{\hat{z}}.\]

Dunque le soluzioni richieste sono

\[\boxcolorato{fisica}{\bm{v_1}+ \bm{v_2}=2\bm{\hat{x}} +\bm{\hat{y}} + 6\bm{\hat{z}} \qquad \mbox{e} \qquad \bm{v_1}- \bm{v_2} = 4\bm{\hat{x}} -5 \bm{\hat{y}} + 4\bm{\hat{z}}.}\]

Svolgimento punto 2.

Riprendendo i vettori \bm{v}_1 e \bm{v}_2 definiti nell’esercizio precedente, ricordiamo che il prodotto scalare tra di essi è dato da

(1) \begin{equation*} \bm{v}_1\cdot \bm{v}_2 =\left \vert \bm{v}_1\right \vert \left \vert \bm{v}_2\right \vert \cos \theta, \end{equation*}

dove \theta è l’angolo compreso tra i due vettori, mentre \left \vert \bm{v}_1\right \vert e \left \vert \bm{v}_2\right \vert rappresentano rispettivamente il modulo di \bm{v}_1 e \bm{v}_2. È altresì possibile esprimere il prodotto scalare di due vettori anche in termini delle loro componenti, cioè

(2) \begin{equation*} \bm{v}_1\cdot \bm{v}_2= v_{1,x} \cdot v_{2,x} + v_{1y} \cdot v_{2,y} + v_{1,z} \cdot v_{2,z}. \end{equation*}

Dalle equazioni (1) e (2), otteniamo

(3) \begin{equation*} \left \vert \bm{v}_1\right \vert \left \vert \bm{v}_2\right \vert \cos \theta=v_{1,x} \cdot v_{2,x} + v_{1y} \cdot v_{2,y} + v_{1,z} \cdot v_{2,z}. \end{equation*}

Sfruttando (3), otteniamo

\[\bm{v_1}\cdot \bm{v_2} = 3 \cdot (-1) + (-2) \cdot 3 + 5 \cdot 1 = -3 -6 + 5 = \text{-4.}\]

Dunque la soluzione richiesta è

\[\boxcolorato{fisica}{\bm{v_1}\cdot \bm{v_2}= \text{-4.}}\]

Svolgimento punto 3.

Il prodotto vettoriale di due vettori del tipo

\[\bm{v_1}= v_{1x} \bm{\hat{x}} + v_{1y} \bm{\hat{y}} + v_{1z} \bm{\hat{z}} \qquad \mbox{e} \qquad \bm{v_2} = v_{2x} \bm{\hat{x}} + v_{2y} \bm{\hat{y}} + v_{2z} \bm{\hat{z}}\]

è un vettore ortogonale al piano contenente i due vettori, le cui componenti sono date da

\[\bm{v_1}\wedge \bm{v_2} = \begin{vmatrix} \bm{\hat{x}} & \bm{\hat{y}} & \bm{\hat{z}}\\ v_{1x} & v_{1y} & v_{1z}\\ v_{2x} & v_{2y} & v_{2z} \end{vmatrix}.\]

Pertanto nel nostro caso

\[\bm{v_1}\wedge \bm{v_2} = \begin{vmatrix} \bm{\hat{x}} & \bm{\hat{y}} & \bm{\hat{z}}\\ 3 & -2 & 5\\ -1 & 3 & 1 \end{vmatrix} = \bm{\hat{x}} (-2-15) - \bm{\hat{y}} (3+5) + \bm{\hat{z}} (9-2) = -17\bm{\hat{x}} - 8\bm{\hat{y}} + 7\bm{\hat{z}},\]

dove, per calcolare il determinante, abbiamo sfruttato il metodo di Laplace. Dunque la soluzione richiesta è

\[\boxcolorato{fisica}{\bm{v_1}\wedge \bm{v_2} =-17\bm{\hat{x}} - 8\bm{\hat{y}} + 7\bm{\hat{z}}.}\]

Svolgimento punto 4.

Per calcolare il modulo di un vettore di n componenti \bm{v}=(v_1,\dots,v_n) si sommano, sotto radice, i quadrati delle sue componenti:

\[\vert \bm{v} \vert = \sqrt{\sum_{i=1}^n v_{i}^2}.\]

Nel nostro caso

\[\vert \bm{v_1}\vert = \sqrt{3^2 + (-2)^2 + 5^2} = \sqrt{9 + 4 +25} = \sqrt{38}\]

e

\[\vert \bm{v_2} \vert = \sqrt{(-1)^2 + 3^2 + 1^2} = \sqrt{1+9+1} = \sqrt{11}.\]

Dunque le soluzioni richieste sono

\[\boxcolorato{fisica}{\vert \bm{v_1}\vert = \sqrt{38} \qquad \mbox{e} \qquad \vert \bm{v_2} \vert = \sqrt{11}.}\]

Svolgimento punto 5.

Riprendendo i vettori come definiti in precedenza ed in particolare la relazione (1), l’angolo \vartheta formato da due vettori è dato da

\[\cos \vartheta = \dfrac{\bm{v_1}\cdot \bm{v_2}}{\vert \bm{v_1}\vert \vert \bm{v_2} \vert} = \dfrac{-4}{\sqrt{38} \, \sqrt{11}},\]

dove abbiamo sfruttato i risultati dei punti 1 e 2. Dunque concludiamo che

\[\boxcolorato{fisica}{\vartheta \simeq \text{101,28}^\circ.}\]

 

Esercizio 2 (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Sia fissato un sistema di riferimento Oxyz, dove \bm{\hat{x}}, \bm{\hat{y}} e \bm{\hat{z}} sono rispettivamente i versori dell’asse x, y e z. Dati i vettori

\[\bm{v_1}= \bm{\hat{x}} - 3\bm{\hat{z}} \qquad \mbox{e} \qquad \bm{v_2} = 2\bm{\hat{y}} + \bm{\hat{z}},\]

determinare un terzo vettore \bm{v_3} di modulo pari a \sqrt{41} e ortogonale a \bm{v_1} e \bm{v_2}.

Premessa.

Proporremo due soluzioni diverse per questo problema.

Svolgimento metodo 1.

Affinché \bm{v_3} sia ortogonale ad entrambi i vettori dati \bm{v_1} e \bm{v_2}, significa che deve essere ortogonale al piano contenente i due vettori, pertanto deve essere un vettore dato da

\[\bm{v_3} = c \left(\bm{v_1}\wedge \bm{v_2}\right) = c \; \begin{vmatrix} \bm{\hat{x}} & \bm{\hat{y}} & \bm{\hat{z}}\\ 1 & 0 & -3\\ 0 & 2 & 1 \end{vmatrix} = c \left( 6\bm{\hat{x}} - \bm{\hat{y}} + 2\bm{\hat{z}}\right),\]

con c \in \mathbb{R}. La costante c si determina con la richiesta sul modulo di \bm{v_3}, ovvero imponendo

\[\vert \bm{v_3} \vert = \sqrt{41} \quad \Rightarrow \quad \sqrt{(6c)^2 + (-c)^2 + (2c)^2} = \sqrt{41} \quad \Rightarrow \quad \sqrt{41c^2} = \sqrt{41} \quad \Rightarrow \quad c=\pm 1.}\]

Dunque i vettori richiesti sono

\[\boxcolorato{fisica}{\bm{v_3} = \pm \left( 6\bm{\hat{x}} - \bm{\hat{y}} + 2\bm{\hat{z}}\right)}\]

Svolgimento metodo 2.

Sia \bm{v}_3=v_{3,x}\,\bm{\hat{x}} + v_{3,y}\,\bm{\hat{y}} +v_{3,z}\,\bm{\hat{z}}. Sappiamo che il vettore \bm{v}_3 deve verificare

\[\begin{cases} \bm{v}_3\cdot \bm{v}_1=0\\ \bm{v}_3\cdot \bm{v}_2=0\\ \left \vert \bm{v}_3\right \vert =\sqrt{41}, \end{cases}\]

da cui

\[\begin{cases} v_{3,x}-3v_{3,z}=0\\ 2v_{3,y}+v_{3,z}=0\\ v_{3,x}^2+v_{3,y}^2+v_{3,z}^2=41. \end{cases}\]

Il sistema ha soluzioni

\[\begin{cases} v_{3,x}=-6\\ v_{3,y}=1\\ v_{3,z}=-2 \end{cases}\]

e

\[\begin{cases} v_{3,x}=6\\ v_{3,y}=-1\\ v_{3,z}=2. \end{cases}\]

Concludiamo che

\[\boxcolorato{fisica}{\bm{v_3} = \pm \left( 6\bm{\hat{x}} - \bm{\hat{y}} + 2\bm{\hat{z}}\right).}\]

 
 

Esercizio 3 (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Sia fissato un sistema di riferimento Oxyz, dove \bm{\hat{x}}, \bm{\hat{y}} e \bm{\hat{z}} sono rispettivamente i versori dell’asse x, y e z. Dati i vettori

\[\bm{v_1}= \bm{\hat{x}} +4\bm{\hat{y}} \qquad \mbox{e} \qquad \bm{v_2} = 5\bm{\hat{y}} -3\bm{\hat{z}},\]

determinare la componente y \in \mathbb{R} del seguente vettore

\[\bm{v_3} = \bm{\hat{x}} + y \bm{\hat{y}} - 2\bm{\hat{z}}\]

affinché i tre vettori siano complanari.

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