Esercizio leggi della dinamica 5

Dinamica del punto materiale Leggi di Newton in meccanica classica

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L’esercizio 5 sulle leggi della dinamica è il quinto della raccolta inclusa nella cartella Dinamica del punto materiale: Leggi di Newton in meccanica classica. Questo esercizio è il successivo di Esercizio leggi della dinamica 4 ed è il precedente di Esercizio leggi della dinamica 6. Questo esercizio è progettato per studenti che frequentano un corso di Fisica 1, indirizzato a chi studia ingegneria, fisica o matematica.

Testo leggi della dinamica 5

Esercizio 5 $(\bigstar\bigstar \largewhitestar \largewhitestar\largewhitestar)$ Due masse $m_A$ e $m_B$ sono posizionate su un piano inclinato con angolo $\theta$ . I coefficienti di attrito dinamico tra i blocchi $A$ e $B$ e il piano sono rispettivamente $\mu_A$ e $\mu_B$ , con $\mu_A \neq \mu_B$ . Le masse sono collegate da un filo di lunghezza $d$ .

All’istante $t=0$ , la massa $A$ inizia a scivolare lungo il piano. All’istante $t_1$ , il filo si tende e la massa $B$ comincia a muoversi. Da quel momento, entrambe le masse si muovono con velocità costante.

Si richiede di calcolare:

Valori dei coefficienti di attrito. Il coefficiente di attrito $\mu_A$ in funzione di $\theta$ , $g$ , $d$ e $t_1$ , mentre $\mu_B$ va espresso in funzione di $g$ , $\theta$ , $m_A$ , $m_B$ , $d$ e $t_1$ .
La tensione del filo in funzione di $m_A$ , $g$ , $\theta$ , $d$ e $t_1$ .

Richiami teorici.

Ricordiamo il secondo principio della dinamica: in un sistema di riferimento inerziale la somma di tutte le forze agenti su un punto materiale uguaglia la derivata della quantità di moto rispetto al tempo:

(1) $\begin{equation*} \sum_{k=1}^{n}\vec{F}_k=\dfrac{d\vec{P}}{dt}, \end{equation*}$

dove $\vec{P}=m\vec{v}$ .

Svolgimento.

Rappresentiamo in figura 1 il moto del solo corpo $A$

nel periodo di tempo $0\leq t \leq t_1$

e le forze agenti su di esso.

Le forza agenti su $m_A$ sono: la reazione vincolare $\vec{N}_A$ generata dal contatto di $A$ con il piano inclinato, $m_A \vec{g}$ è la forza peso del corpo $A$ e infine $\vec{f}_A$ è la forza di attrito dinamica generata sempre dal contatto di $A$ con il piano inclinato. Applichiamo (1) al corpo $A$ e abbiamo

$\vec{N}_A+m_A \vec{g}+\vec{f}_A=m_A\vec{a}_A.$

Scegliamo un sistema di riferimento fisso $Oxy$ come in figura 2.

Scomponiamo le forze lungo l’asse $x$ e $y$ di tale sistema di riferimento

$\begin{cases} -f_A+m_Ag \sin \theta=m_Aa_A \\ N_A=m_Ag \cos \theta . \end{cases}$

In generale, la forza di attrito dinamico può essere espressa come il prodotto tra il modulo della reazione vincolare perpendicolare al piano di appoggio del punto materiale e il coefficiente di attrito dinamico, quindi, nel nostro caso

$f_A=N_A\mu_A,$

quindi

$\begin{cases} N_A\mu_A-m_Ag \sin \theta=-m_Aa_A \\ N_A=m_Ag \cos \theta . \end{cases}$

Dal sistema si ottiene

(2) $\begin{equation*} m_A \, g \, \sin \theta - \mu_A \, m_A \, g \, \cos \theta = m_Aa_A \quad \Leftrightarrow \quad a_A = g \sin \theta - \mu_A \, g \cos \theta. \end{equation*}$

Osserviamo che il moto del corpo $A$ è rettilineo uniformemente accelerato, perché l’accelerazione è costante, quindi possiamo scrivere la sua legge oraria tenendo conto che la sua velocità iniziale è nulla

$x_A(t)=\dfrac{1}{2}a_At^2.$

Posto $t=t_1$ sappiamo per ipotesi che il corpo $A$ percorre uno spazio pari alla lunghezza del filo, quindi

$x_A(t_1) =d=\dfrac{1}{2}a_1t^2 \quad \Leftrightarrow \quad a_1 = \dfrac{2d}{t_1^2},$

allora, sostituendo in (2), abbiamo

$a_A = g \sin \theta - \mu_A \, g \cos \theta \quad\Leftrightarrow\quad \dfrac{2d}{t_1^2} = g \sin \theta - \mu_A \, g \cos \theta \quad\Leftrightarrow\quad \mu_A = \dfrac{1}{g \cos \theta}\left(g \sin \theta-\dfrac{2d}{t_1^2} \right) .$

Dunque, il valore del coefficiente di attrito per il corpo $A$ è quello che segue

$\mu_A = \dfrac{1}{g \cos \theta}\left(g \sin \theta-\dfrac{2d}{t_1^2} \right)=\tan \theta -\dfrac{2d}{gt_1^2\cos \theta},$

cioè

$\boxcolorato{fisica}{\mu_A =\tan \theta -\dfrac{2d}{gt_1^2\cos \theta}.}$

All’istante $t=t_1$ il filo si tende e il corpo $B$ viene trascinato dal corpo $A$ . I due corpi si muovono lungo il piano inclinato con moto rettilineo uniforme. Nella figura 3 sono rappresentati il movimento dei corpi e le forze applicate su di essi.

Per il corpo $A$ abbiamo la reazione vincolare $\vec{N}_A$ generata dal contatto con il piano inclinato, la forza peso $m_A\vec{g}$ , la forza di attrito dinamico $\vec{f}_A$ e la tensione $\vec{T}$ generata dal filo teso che lo collega a $B$ .

Per il corpo $B$ abbiamo la reazione vincolare $\vec{N}_B$ generata dal contatto con il piano inclinato, la forza peso $m_B\vec{g}$ , la forza di attrito dinamico $\vec{f}_B$ e la tensione $-\vec{T}$ , opposta e uguale, generata dal filo che lo collega a $A$ , supposto di massa trascurabile.

Applichiamo (1) ai due corpi

$\begin{cases} \vec{T}+\vec{f}_A+m_A\vec{g}+\vec{N}_A=m_A\vec{a}_A\\ -\vec{T}+\vec{f}_B+m_B\vec{g}+\vec{N}_B=m_B\vec{a}_B, \end{cases}$

siccome i due corpi procedono di moto rettilineo uniforme abbiamo

$\vec{a}_A=\vec{a}_B=\vec{0}$

e dunque il sistema diventa

$\begin{cases} \vec{T}+\vec{f}_A+m_A\vec{g}+\vec{N}_A=\vec{0}\\ -\vec{T}+\vec{f}_B+m_B\vec{g}+\vec{N}_B=\vec{0}. \end{cases}$

Ora scegliamo un sistema di riferimento fisso $Oxy$ orientato come in figura 4.

Proiettiamo le forze lungo gli assi di tale sistema di riferimento

$\begin{cases} -f_A+m_Ag \sin \theta-T=0\\ N_A=m_Ag \cos \theta \\ -f_B+m_Bg\sin\theta +T=0\\ N_B=m_Bg \cos \theta. \end{cases}$

Considerando che la forza di attrito dinamico può essere espressa come il prodotto tra il modulo della reazione vincolare perpendicolare al piano d’appoggio del punto materiale e il coefficiente di attrito dinamico, si ottiene

$f_A=N_A\mu_A \quad \text{e} \quad f_B=N_B\mu_B,$

da ciò, il sistema precedente diventa

$\begin{cases} -N_A\mu_A+m_Ag \sin\theta-T=0\\ N_A=m_Ag \cos \theta \\ -N_B\mu_B+m_Bg\sin \theta +T=0\\ N_B=m_Bg \cos \theta. \end{cases}$

Per la massa $A$ abbiamo

(3) $\begin{equation*} -T + m_A g \sin \theta - \mu_A \, m_A g \cos \theta = 0 \end{equation*}$

e per la massa $B$ abbiamo

(4) $\begin{equation*} T + m_B g \sin \theta - \mu_B \; m_B \, g \cos \theta = 0. \end{equation*}$

Sommando membro a membro (3) e (4), otteniamo

$m_A \, g \, \sin \theta + m_B \, g \sin \theta - \mu_A \, m_A \, g \cos \theta - \mu_B \, m_B \, g \, \cos \theta = 0,$

da cui

$\mu_B = \dfrac{m_A \, g \, \sin \theta+ m_B \, g \sin \theta - \mu_A \, m_A \, g \cos \theta}{m_B \, g \, \cos\theta} .$

Sostituendo

$\mu_A =\tan \theta -\dfrac{2d}{gt_1^2\cos \theta},$

nella precedente espressione, troviamo

$\boxcolorato{fisica}{\mu_B=\dfrac{m_A \, g \, \sin \theta+ m_B \, g \sin \theta - m_A \left(g \sin \theta-\dfrac{2d}{t_1^2} \right)}{m_B \, g \, \cos\theta}. }$

Non ci rimane che calcolare la tensione sostituendo ad esempio $\mu_A$ in (3)

$\begin{aligned} & -T + m_A g \sin \theta - \mu_A \, m_A \cos \theta = 0\quad\Leftrightarrow\quad T = m_A \, g \sin \theta - \mu_A \; m_A \, g \cos \theta =\\ &= m_A \, g \sin \theta - m_A \, g \cos \theta \dfrac{1}{g \cos \theta}\left(g \sin \theta-\dfrac{2d}{t_1^2} \right)=m_A \, g \sin \theta - m_A \left(g \sin \theta-\dfrac{2d}{t_1 ^2} \right). \end{aligned}$

Si conclude che il valore della tensione cercato è

$\boxcolorato{fisica}{T=m_A \, g \sin \theta - m_A \left(g \sin \theta-\dfrac{2d}{t_1^2} \right).}$

Ricapitoliamo tutti i valori ottenuti

$\boxcolorato{fisica}{\begin{aligned} & \mu_A = \dfrac{1}{g \cos \theta}\left(g \sin \theta-\dfrac{2d}{t_1^2} \right); \\[10pt] & \mu_B=\dfrac{m_A \, g \, \sin \theta+ m_B \, g \sin \theta - m_A \left(g \sin \theta-\dfrac{2d}{t_1^2} \right)}{m_B \, g \, \cos\theta} ; \\[10pt] & T= m_A \, g \sin \theta - m_A \left(g \sin \theta-\dfrac{2d}{t_1^2} \right). \end{aligned} }$

Fonte.

P.Mazzoldi, M.Nigro, C.Voci – Elementi di Fisica, Edises.

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Un po’ di storia sulle leggi della dinamica

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Le leggi della dinamica rappresentano uno dei pilastri fondamentali della fisica classica. Formulate da Isaac Newton nel XVII secolo, queste leggi hanno rivoluzionato la nostra comprensione del movimento e delle forze, gettando le basi per la fisica moderna. La storia delle leggi della dinamica inizia con le prime intuizioni pre-scientifiche e arriva fino alle scoperte rivoluzionarie di Newton, estendendosi al loro impatto duraturo sulla scienza e sulla tecnologia contemporanea.

Prima di Newton, la comprensione del movimento e delle forze era dominata dalle idee di Aristotele, un filosofo greco del IV secolo a.C. Aristotele credeva che tutti i corpi avessero un “luogo naturale” e che si muovessero solo quando una forza esterna agiva su di essi. Questa visione, conosciuta come “fisica aristotelica”, affermava che un oggetto in movimento si fermava automaticamente una volta cessata la forza che lo spingeva. Questa concezione aristotelica rimase predominante per secoli, influenzando profondamente la filosofia naturale. Tuttavia, presentava limitazioni significative, specialmente nella spiegazione di fenomeni come il moto dei pianeti o il comportamento dei proiettili. Nonostante i suoi limiti, la fisica aristotelica gettò le basi per lo sviluppo successivo delle leggi della dinamica.

Un punto di svolta nella comprensione del movimento fu segnato da Galileo Galilei, un matematico e fisico italiano del XVI secolo. Galileo sfidò molte delle idee di Aristotele, introducendo concetti che sarebbero stati fondamentali per la formulazione delle leggi della dinamica. Galileo fu il primo a dimostrare che la velocità di caduta di un oggetto non dipende dalla sua massa, ma dal tempo trascorso. Egli introdusse il concetto di inerzia, l’idea che un corpo in movimento rimane in movimento a meno che una forza esterna non intervenga. Questo principio di inerzia costituì la base della Prima legge di Newton, una delle tre leggi della dinamica che avrebbero rivoluzionato la fisica. Oltre a queste scoperte, Galileo sviluppò la metodologia scientifica basata sull’osservazione e l’esperimento, ponendo le basi per la fisica moderna. Le sue idee furono cruciali per la successiva formulazione delle leggi della dinamica da parte di Newton.

Isaac Newton, uno dei più grandi scienziati della storia, formulò le leggi della dinamica nel suo capolavoro “Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica”, pubblicato nel 1687. Le tre leggi di Newton descrivono il comportamento del movimento e delle forze in modo preciso e matematico, fornendo una base solida per la meccanica classica. La Prima legge della dinamica, nota anche come legge dell’inerzia, afferma che un corpo in stato di quiete o di moto rettilineo uniforme rimane in tale stato finché non agisce su di esso una forza esterna. Questa legge formalizza il concetto introdotto da Galileo, stabilendo che il movimento non richiede una forza continua per essere mantenuto, ma solo per essere alterato. La legge dell’inerzia fu rivoluzionaria perché sfidava direttamente la fisica aristotelica, dimostrando che il moto non è il risultato di un’azione continua ma di una condizione naturale degli oggetti.

La Seconda legge della dinamica, forse la più famosa delle tre, stabilisce che la forza che agisce su un corpo è direttamente proporzionale alla sua massa e alla sua accelerazione, secondo la formula F = ma. Questa legge descrive come le forze influenzano il movimento degli oggetti e fornisce una base per calcolare le forze necessarie per muovere o fermare un oggetto. Questa legge è stata fondamentale per lo sviluppo della meccanica classica, permettendo di comprendere e prevedere con precisione il comportamento degli oggetti sotto l’influenza di forze diverse. È grazie a questa legge che possiamo spiegare fenomeni quotidiani, come la caduta di un oggetto o il lancio di un proiettile, con una precisione matematica.

La Terza legge della dinamica è forse la più intuitiva: afferma che per ogni azione esiste una reazione uguale e contraria. Questo significa che quando un oggetto esercita una forza su un altro, il secondo oggetto esercita una forza uguale e opposta sul primo. Questa legge è evidente in molti fenomeni quotidiani, come il rimbalzo di una palla o il funzionamento di un razzo. La comprensione di questa legge è essenziale per l’ingegneria e la tecnologia moderne, poiché spiega come le forze interagiscono in sistemi complessi.

Le leggi della dinamica di Newton hanno avuto un impatto profondo e duraturo sulla fisica classica. Prima della loro formulazione, la comprensione del movimento e delle forze era frammentaria e spesso basata su osservazioni qualitative piuttosto che su principi matematici. Le leggi di Newton hanno fornito una struttura coerente e matematica per descrivere il comportamento degli oggetti in movimento, permettendo ai fisici di fare previsioni accurate e di sviluppare nuove tecnologie. Grazie alle leggi della dinamica, è stato possibile sviluppare la meccanica celeste, che spiega il movimento dei pianeti e delle stelle. Queste leggi hanno permesso di calcolare con precisione le orbite dei corpi celesti, confermando le teorie di Keplero e contribuendo alla comprensione dell’universo. Le leggi della dinamica hanno anche gettato le basi per l’ingegneria moderna, permettendo la progettazione di macchine, edifici e veicoli con una comprensione precisa delle forze in gioco. Senza le leggi di Newton, molte delle tecnologie che diamo per scontate oggi, come gli aerei, le automobili e i ponti, non sarebbero possibili.

Con l’avvento della fisica moderna, alcune delle previsioni delle leggi della dinamica di Newton sono state riviste e ampliate. In particolare, la teoria della relatività di Einstein ha dimostrato che le leggi di Newton non sono sufficienti per descrivere il movimento a velocità prossime a quella della luce o in campi gravitazionali molto forti. Tuttavia, le leggi della dinamica rimangono valide e utili nella maggior parte delle situazioni quotidiane e continuano a essere insegnate come parte fondamentale della fisica.

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