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Lavoro ed energia: esercizio 49

Dinamica del punto materiale: Lavoro ed energia in Meccanica classica

Home » Lavoro ed energia: esercizio 49

Esercizio lavoro ed energia 49

L’esercizio 49 sul lavoro e l’energia fa parte della raccolta inclusa nella cartella Dinamica del punto materiale: Lavoro ed energia in Meccanica classica. Questo esercizio segue Esercizio lavoro ed energia 48 ed è il precedente di un eventuale Esercizio lavoro ed energia 50. Questo esercizio è progettato per studenti che frequentano un corso di Fisica 1, indirizzato a chi studia ingegneria, fisica o matematica.

 

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Testo lavoro ed energia 49

Esercizio 49 (\bigstar\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar). Un punto materiale di massa m è soggetto ad una forza \vec{F}=\vec{c}\wedge\vec{v}, dove \vec{v} e \vec{c} sono rispettivamente la sua velocità rispetto ad un sistema di riferimento fisso e un vettore di modulo, direzione e verso costante, come rappresentato in figura 1. Inoltre, l’unità di misura del vettore \vec{c} è \text{kg}\cdot \text{s}^{-1}. Si determinino le possibili traiettorie del punto di materiale di massa m rispetto ad un sistema di riferimento fisso Oxyz.

 

 

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Premessa.

Di seguito proponiamo due procedimenti per la risoluzione del problema: il primo metodo sfrutta le leggi della dinamica e il teorema delle forze vive, mentre il secondo sfrutta le sole leggi della dinamica.

 

Svolgimento metodo 1.

Scegliamo un sistema di riferimento cartesiano fisso Oxyz, con l’asse z orientato nella stessa direzione del vettore \vec{c} e gli assi x ed y che definiscono un piano ad esso ortogonale, come illustrato in figura 1. Siano x(t), y(t) e z(t) le posizioni di m rispettivamente lungo l’asse x, y e z nel generico istante t>0. Rispetto a questo sistema di riferimento il vettore \vec{c} avrà componenti

(1)   \begin{equation*} \vec{c}=(0,0,c), \end{equation*}

mentre il vettore velocità è

(2)   \begin{equation*} \vec{v}=\left(\dfrac{dx(t)}{dt},\dfrac{dy(t)}{dt},\dfrac{dz(t)}{dt}\right). \end{equation*}

Siano \hat{x}, \hat{y} e \hat{z} i versori rispettivamente dell’asse delle x, y e z. Per come abbiamo definito il sistema di riferimento Oxyz segue che il vettore \vec{F}, dato dal prodotto vettoriale \vec{c}\wedge\vec{v}, è

(3)   \begin{equation*} \vec{F}=\vec{c}\wedge\vec{v}=\det \begin{pmatrix} \hat{x}& \hat{y} & \hat{z}\\[10pt] 0 & 0 & c\\[10pt] \dfrac{dx(t)}{dt} & \dfrac{dy(t)}{dt} & \dfrac{dz(t)}{dt} \end{pmatrix}. \end{equation*}

Applicando la regola di Laplace, la precedente equazione diventa

(4)   \begin{equation*} \vec{F}=\hat{x}\det \begin{pmatrix} 0 & c\\[10pt] \dfrac{dy(t)}{dt} & \dfrac{dz(t)}{dt}. \end{pmatrix}-\hat{y}\det \begin{pmatrix} 0 & c\\[10pt] \dfrac{dx(t)}{dt} & \dfrac{dz(t)}{dt}. \end{pmatrix}+\hat{z}\det \begin{pmatrix} 0 & 0\\[10pt] \dfrac{dx(t)}{dt} & \dfrac{dy(t)}{dt} \end{pmatrix}, \end{equation*}

o anche

(5)   \begin{equation*} \vec{F}=\left(-c\dfrac{dy(t)}{dt},c\dfrac{dx(t)}{dt},0\right). \end{equation*}

Per il secondo principio della dinamica, sappiamo che

(6)   \begin{equation*} \vec{F}=m\dfrac{d\vec{v}}{dt}=m\left(\dfrac{d^2x(t)}{dt^2},\dfrac{d^2y(t)}{dt^2},\dfrac{d^2z(t)}{dt^2}\right), \end{equation*}

da cui sfruttando l’equazione (5), la precedente equazione diventa

(7)   \begin{equation*} \begin{cases} -c\dfrac{dy(t)}{dt}=m\dfrac{d^2x(t)}{dt^2}\\[10pt] c\dfrac{dx(t)}{dt}=m\dfrac{d^2y(t)}{dt^2}\\[10pt] 0=m\dfrac{d^2z(t)}{dt^2}. \end{cases} \end{equation*}

Dalla terza equazione del sistema (7), osserviamo che lungo l’asse z il corpo ha accelerazione nulla, ossia si muove di moto rettilineo uniforme. Notiamo che, la forza \vec{F} non compie lavoro sul corpo m, in quanto

(8)   \begin{equation*} L=\int \vec{F}\cdot\vec{ds}=\int\vec{F}\cdot\vec{v}\,dt=\int (\vec{c}\wedge\vec{v})\cdot\vec{v}\,dt=\int 0\,dt=0, \end{equation*}

dove abbiamo sfruttato il fatto che il vettore \vec{c}\wedge\vec{v} è perpendicolare al vettore \vec{v}, e pertanto il loro prodotto scalare è zero. Dal teorema delle forze vive sappiamo che il lavoro compiuto dalla forza \vec{F} in un certo intervallo di tempo è pari alla variazione di energia cinetica del corpo \Delta K nello stesso intervallo temporale, ossia

(9)   \begin{equation*} L=\Delta K=\dfrac{1}{2}mv^2(t)-\dfrac{1}{2}mv_0^2, \end{equation*}

dove v(t) e v_0 sono rispettivamente la velocità nel generico istante t>0 e la velocità iniziale. Pertanto dalle equazioni (8) e (9) deduciamo che il modulo della velocità si conserva, ossia per qualunque istante di tempo t>0, abbiamo

(10)   \begin{equation*} \dfrac{1}{2}mv^2(t)-\dfrac{1}{2}mv_0^2=0, \end{equation*}

cioè

(11)   \begin{equation*} v^2(t)=v^2_0, \end{equation*}

in altri termini

(12)   \begin{equation*} v^2(t)=\left(\dfrac{dx(t)}{dt}\right)^2+\left(\dfrac{dy(t)}{dt}\right)^2+\left(\dfrac{dz(t)}{dt}\right)^2=v_0^2. \end{equation*}

Precedentemente abbiamo mostrato che lungo l’asse delle z il corpo si muove di moto rettilineo uniforme, e quindi \dfrac{dz(t)}{dt}=v_{0,z} è anch’esso una costante, pertanto l’equazione (12) si riscrive come

(13)   \begin{equation*} \left(\dfrac{dx(t)}{dt}\right)^2+\left(\dfrac{dy(t)}{dt}\right)^2=v_0^2-v_{0,z}^2=\text{costante}. \end{equation*}

L’accelerazione \vec{a} può essere riscritta in coordinate tangenziali e normali, cioè

(14)   \begin{equation*} \vec{a}=\dfrac{dv}{dt}\,\hat{t}+\dfrac{v^2}{R}\,\hat{n}, \end{equation*}

dove \hat{t}, \hat{n} e R sono rispettivamente il versore nella direzione tangente alla traiettoria, il versore nella direzione normale alla traiettoria e il raggio della circonferenza osculatrice. Siccome v è costante, si ha {dv}/{dt}=0 e {v^2}/{R}=\text{costante}, per cui l’accelerazione è diretta nella sola direzione normale alla traiettoria, cioè

(15)   \begin{equation*} \vec{a}=\dfrac{v^2}{R}\,\hat{n}. \end{equation*}

La forza \vec{F}, dunque, è diretta nella sola direzione normale, pertanto vale

(16)   \begin{equation*} \left \vert \vec{F} \right \vert =m\dfrac{v^2}{R}. \end{equation*}

Calcoliamo \left \vert \vec{F} \right \vert. Sfruttando l’equazione (5) possiamo calcolare

(17)   \begin{equation*} \left \vert \vec{F} \right \vert=\sqrt{c^2\left(\dfrac{dy(t)}{dt}\right)^2+c^2\left(\dfrac{dx(t)}{dt}\right)^2}=c\sqrt{\left(\dfrac{dy(t)}{dt}\right)^2+\left(\dfrac{dx(t)}{dt}\right)^2}=\text{costante} \end{equation*}

per il risultato pervenuto nell’equazione (13). Dunque, mettendo a sistema (17) con l’equazione (16) si ha che R=\text{costante}. Concludiamo che il punto materiale di massa m si muove di moto circolare in un piano orizzontale parallelo al piano xy e lungo l’asse z il punto materiale m si muove di moto rettilineo uniforme; in altri termini, il punto materiale di massa m si muove di moto circolare uniforme su di un piano parallelo al piano xy che si sposta di velocità costante v_{0,z}.

 


Osservazione 1.

Si osservi che, v \text{costante} non implica che il moto sia circolare uniforme, ma solo che l’accelerazione tangenziale sia nulla. Si pensi, ad esempio, all’Esercizio lavoro ed energia 39, dove si conserva il modulo della velocità v, ma il moto della massa m collegata alla fune non è circolare uniforme. Infatti, se la forza \vec{F} non fosse stata costante in modulo, avremmo avuto che R (raggio della circonferenza osculatrice) non sarebbe stato costante. Nel nostro caso, il centro della circonferenza osculatrice si trova sul piano parallelo al piano xy che si muove di velocità costante v_{0,z} e ha raggio costante.

 


Svolgimento metodo 2.

Partendo dal fatto che lungo l’asse z il punto materiale di massa m si muove di moto rettilineo uniforme, cerchiamo di capire cosa succede lungo gli assi x ed y, non avvalendosi del teorema delle forze vive o teorema dell’energia lavoro. Deriviamo rispetto al tempo, ambo i membri dell’equazione (7)_1, ottenendo

(18)   \begin{equation*} \dfrac{d}{dt}\left(-c\dfrac{dy(t)}{dt}\right)=m\dfrac{d}{dt}\left(\dfrac{d^2x(t)}{dt^2}\right)\quad\Leftrightarrow\quad -c\dfrac{d^2y(t)}{dt^2}=m\dfrac{d^3x(t)}{dt^3}, \end{equation*}

cioè

(19)   \begin{equation*} \dfrac{d^2y(t)}{dt^2}=-\dfrac{m}{c}\dfrac{d^3x(t)}{dt^3}. \end{equation*}

Utilizzando il risultato ottenuto all’equazione (19) nella seconda equazione del sistema (7), si trova

(20)   \begin{equation*} c\dfrac{dx(t)}{dt}=m\left(-\dfrac{m}{c}\dfrac{d^3x(t)}{dt^3}\right), \end{equation*}

oppure

(21)   \begin{equation*} \dfrac{d^3x(t)}{dt^3}=-\dfrac{c^2}{m^2}\dfrac{dx(t)}{dt}. \end{equation*}

Per risolvere l’equazione (21) definiamo

(22)   \begin{equation*} \tilde{x}(t)\equiv\dfrac{dx(t)}{dt}, \end{equation*}

da cui, derivando rispetto al tempo ambo i membri della precedente equazione, otteniamo

(23)   \begin{equation*} \dfrac{d\tilde{x}(t)}{dt}=\dfrac{d^2x(t)}{dt^2}, \end{equation*}

di nuovo, derivando rispetto al tempo ambo i membri della precedente equazione, otteniamo

(24)   \begin{equation*} \dfrac{d^2\tilde{x}(t)}{dt^2}=\dfrac{d^3x(t)}{dt^3}. \end{equation*}

In virtù delle equazioni (22) e (24), l’equazione (21) diventa

(25)   \begin{equation*} \dfrac{d^2\tilde{x}(t)}{dt^2}=-\dfrac{c^2}{m^2}\tilde{x}. \end{equation*}

L’equazione (25) è l’equazione di un oscillatore armonico semplice, di pulsazione \omega=c/m, che ha come legge oraria

(26)   \begin{equation*} \tilde{x}(t)=A\sin(\omega t+\phi), \end{equation*}

dove A e \phi rappresentano rispettivamente l’ampiezza massima e la fase iniziale del moto del corpo di massa m. Sostituendo la definizione di \tilde{x}(t) data dall’equazione (22) nella legge oraria (26), si ottiene

(27)   \begin{equation*} \dfrac{dx(t)}{dt}=A\sin(\omega t+\phi). \end{equation*}

Integrando rispetto al tempo, ambo i membri dell’equazione (27), si giunge ad

(28)   \begin{equation*} \int \dfrac{dx(t)}{dt}dt=\int A\sin(\omega t+\phi)dt, \end{equation*}

ovvero

(29)   \begin{equation*} x(t)=-\dfrac{A}{\omega}\cos\left(\omega t +\phi\right)+\text{c}, \end{equation*}

dove c\in\mathbb{R}. Chiamiamo x(0)=x_0 la posizione iniziale di m lungo l’asse delle x all’istante t=0, cioè l’istante iniziale. Abbiamo dunque

(30)   \begin{equation*} x(0)=x_0=-\dfrac{A}{\omega}\cos\phi+\text{c}, \end{equation*}

ovvero

(31)   \begin{equation*} x_0+\dfrac{A}{\omega}\cos\phi=\text{c}. \end{equation*}

Sfruttando quanto ottenuto e definito, l’equazione (29) diventa

(32)   \begin{equation*} x(t)=-\dfrac{A}{\omega}\cos\left(\omega t +\phi\right)+x_0+\dfrac{A}{\omega}\cos\phi. \end{equation*}

Definiamo

(33)   \begin{equation*} a\equiv x_0+\dfrac{A}{\omega}\cos\phi, \end{equation*}

da cui, la legge oraria lungo l’asse delle x diventa

(34)   \begin{equation*} \boxed{ x(t)=\dfrac{A}{\omega}\cos\phi+a.} \end{equation*}

Dunque, lungo l’asse delle x il corpo di massa m si muove di moto armonico. Procedendo in modo analogo a prima, dalla prima equazione del sistema (7), utilizzando l’equazione (27), diviene

(35)   \begin{equation*} -c\dfrac{dy(t)}{dt}=m\dfrac{d^2x(t)}{dt^2}=-\dfrac{m}{c}\dfrac{d}{dt}\left(\dfrac{dx(t)}{dt}\right)=-\dfrac{A\,m\,\omega}{c}\cos(\omega t+\phi), \end{equation*}

da cui, ricordando che \omega=c/m, la precedente equazione diventa

(36)   \begin{equation*} \dfrac{dy(t)}{dt}=-A\cos(\omega t+\phi). \end{equation*}

Integrando rispetto al tempo, ambo i membri della precedente equazione, si giunge ad

(37)   \begin{equation*} \int \dfrac{dy(t)}{dt}\,dt=\int -A\cos(\omega t+\phi)\,dt, \end{equation*}

conseguentemente

(38)   \begin{equation*} y(t)=-\dfrac{A}{\omega}\sin \left(\omega t +\phi\right)+k, \end{equation*}

dove k\in\mathbb{R}. Chiamiamo y(0)=y_0 la posizione iniziale di m lungo l’asse delle y all’istante iniziale, cioè t=0. Abbiamo dunque

(39)   \begin{equation*} y(0)=y_0=-\dfrac{A}{\omega}\sin\phi+k, \end{equation*}

o anche

(40)   \begin{equation*} k=y(0)+A\sin \phi. \end{equation*}

Sfruttando quanto ottenuto e definito, l’equazione (38) diventa

(41)   \begin{equation*} y(t)=-A\sin \left(\omega t +\phi\right)+y(0)+A\sin \phi. \end{equation*}

Definiamo

(42)   \begin{equation*} b\equiv x_0+\dfrac{A}{\omega}\cos\phi, \end{equation*}

da cui, la legge oraria lungo l’asse delle x diventa

(43)   \begin{equation*} \boxed{ y(t)=-\dfrac{A}{\omega}\sin \left(\omega t +\phi\right)+b.} \end{equation*}

Dunque, lungo l’asse delle y il corpo di massa m si muove di moto armonico. Osserviamo, inoltre che, x(t) e y(t) sono sfasati di \pi/2. Ricapitolando il corpo di massa m si muove nello spazio secondo le leggi

(44)   \begin{equation*} x(t)=a-\dfrac{A}{\omega}\cos(\omega t+\phi)\quad\Leftrightarrow\quad x(t)-a=-\dfrac{A}{\omega}\cos(\omega t+\phi); \end{equation*}

(45)   \begin{equation*} y(t)=b-\dfrac{A}{\omega}\sin(\omega t+\phi)\quad\Leftrightarrow\quad y(t)-b=-\dfrac{A}{\omega}\sin(\omega t+\phi); \end{equation*}

e

(46)   \begin{equation*} z(t)=v_{0,z}t+z_0. \end{equation*}

Elevando al quadrato, ambo i membri delle equazioni (44) e (45), e successivamente sommando ambo i membri delle stesse una volta elevato al quadrato ambo i membri, si ottiene

(47)   \begin{equation*} \left(x-a\right)^2+\left(y-b\right)^2=\dfrac{A^2}{\omega^2}\left(\cos^2\left(\omega t+\phi\right)+\sin^2\left(\omega t+\phi\right)\right), \end{equation*}

ovvero

(48)   \begin{equation*} (x(t)-a)^2+(y(t)-b)^2=\left(\dfrac{A}{\omega}\right)^2. \end{equation*}

L’equazione (48) descrive una circonferenza di raggio A/\omega. Deduciamo pertanto che il corpo percorre una traiettoria circolare nel piano xy. Il centro della circonferenza è (a,b) e il raggio è A/\omega. Notiamo che, dalla sola determinazione delle leggi orarie x(t) e y(t) si riesce a concludere che il moto è circolare, senza la specifica che sia uniforme. Dalla teoria, come è noto in lettura, siccome x(t) e y(t) sono due moti armonici con stessa ampiezza, stessa fase iniziale e stasati di \pi/2, si può concludere di nuovo che il moto è circolare uniforme; altrimenti, basta derivare x(t) e y(t) rispetto al tempo e mostrare che il modulo della velocità è costante.

 


Osservazione 2.

La forza di Lorentz è definita come

(49)   \begin{equation*} \vec{F}=q\,\vec{v}\wedge \vec{B}, \end{equation*}

dove q, \vec{v} e \vec{B} sono rispettivamente la carica elettrica, velocità della carica e campo magnetico nel quale è immersa la carica. Sappiamo che, se la velocità \vec{v} e il campo magnetico \vec{B} non sono perpendicolare la carica q si muove di moto elicoidale, che è proprio lo stesso percorso dalla massa m soggetta alla forza

(50)   \begin{equation*} \vec{F}=\vec{c}\wedge\vec{v}=-\vec{v}\wedge\vec{c}=\vec{v}\wedge\left(-\vec{c}\right)=\vec{v}\wedge\vec{k}, \end{equation*}

dove abbiamo posto \vec{k}=-\vec{c}. Infatti, notiamo che, le equazioni (49) e (50) hanno la stessa forma. Pertanto, la risposta al problema può essere posta in modo sintetico dicendo che m si muove di modo elicoidale.

 


Approfondimento.

Di seguito, proponiamo un metodo diverso per ottenere le leggi x(t) e y(t). Moltiplichiamo ambo i membri della seconda equazione del sistema (7) per l’unità immaginaria i, ottenendo

(51)   \begin{equation*} i c\dfrac{dx(t)}{dt}=im\dfrac{d^2y(t)}{dt^2}. \end{equation*}

Sommando ambo i membri delle equazioni (51) e (7)_1, si ottiene

(52)   \begin{equation*} -c\dfrac{dy(t)}{dt}+ic\dfrac{dx(t)}{dt}=m\dfrac{d^2x(t)}{dt^2}+im\dfrac{d^2y(t)}{dt^2}, \end{equation*}

ovvero

(53)   \begin{equation*} ic\dfrac{d}{dt}(x(t)+iy(t))=m\dfrac{d^2}{dt^2}(x(t)+iy(t)). \end{equation*}

Definiamo

(54)   \begin{equation*} w(t)\equiv x(t)+iy(t), \end{equation*}

da cui, l’equazione (53) diventa

(55)   \begin{equation*} m\dfrac{d^2w(t)}{dt^2}=ic\dfrac{dw(t)}{dt}, \end{equation*}

ovvero

(56)   \begin{equation*} \dfrac{d}{dt}\left(\dfrac{dw(t)}{dt}-i\dfrac{c}{m}w(t)\right)=0, \end{equation*}

o anche, ricordando che \omega=c/m, si ha

(57)   \begin{equation*} \dfrac{d}{dt}\left(\dfrac{dw(t)}{dt}-i\omega w(t)\right)=0, \end{equation*}

conseguentemente

(58)   \begin{equation*} \dfrac{dw(t)}{dt}-i\omega w(t)=\text{costante}=A+iB, \end{equation*}

dove A e B sono costanti. L’equazione (58) è un’equazione differenziale del primo ordine, lineare, a coefficienti complessi e non omogenea, che ha come soluzione generale

(59)   \begin{equation*} \omega (t)=e^{-\int\left(-i\omega\right)\,dt }\left(\int \left(e^{\int\left(-i\omega\right)\,dt }\left(A+iB\right)\right)+C+Di\right), \end{equation*}

dove D e C sono costanti. Svolgendo i calcoli, abbiamo

(60)   \begin{equation*} \begin{aligned} \omega (t)&=e^{i\omega t }\left(\int \left(e^{-i\omega t }\left(A+iB\right)\right)+C+Di\right)=\\[10pt] &=e^{i\omega t }\left(\dfrac{e^{-i\omega t }\left(A+iB\right)}{-i\omega}+\sqrt{C^2+D^2}e^{i\phi}\right), \end{aligned} \end{equation*}

dove \phi è l’angolo che forma il numero complesso A+iB con l’asse dei reale dei piano di Argand-Gauss. Definiamo

(61)   \begin{equation*} -\dfrac{\tilde{A}}{\omega}=\sqrt{C^2+D^2}, \end{equation*}

dove \tilde{A} è una costante negativa, e quindi la precedente equazione diventa

(62)   \begin{equation*} \begin{aligned} \omega (t)&=e^{i\omega t }\left(i\dfrac{e^{-i\omega t }\left(A+iB\right)}{\omega}-\dfrac{\tilde{A}}{\omega}e^{i\phi}\right)=\\[10pt] &=i\dfrac{\left(A+iB\right)}{\omega}-\dfrac{\tilde{A}}{\omega}e^{i\left(\phi+\omega t\right)}=\\[10pt] &=\dfrac{A}{\omega}i-\dfrac{B}{\omega}-\dfrac{\tilde{A}}{\omega}\cos \left(\phi+\omega t\right)-\dfrac{\tilde{A}}{\omega}i \sin\left(\omega t +\phi\right)=\\[10pt] &=\left(-\dfrac{B}{\omega}-\dfrac{\tilde{A}}{\omega}\cos \left(\phi+\omega t\right)\right)+i\left(\dfrac{{A}}{\omega}-\dfrac{\tilde{A}}{\omega} \sin\left(\omega t +\phi\right)\right). \end{aligned} \end{equation*}

Definendo

(63)   \begin{equation*} a=-\dfrac{B}{\omega} \end{equation*}

e

(64)   \begin{equation*} b=\dfrac{A}{\omega}, \end{equation*}

la precedente equazione diventa

(65)   \begin{equation*} \begin{aligned} \omega (t)=\left(a-\dfrac{\tilde{A}}{\omega}\cos \left(\phi+\omega t\right)\right)+i\left(b-\dfrac{\tilde{A}}{\omega} \sin\left(\omega t +\phi\right)\right). \end{aligned} \end{equation*}

Ricordando l’equazione (54), la precedente equazione diventa

(66)   \begin{equation*} x(t)+iy(t)=\left(a-\dfrac{\tilde{A}}{\omega}\cos \left(\phi+\omega t\right)\right)+i\left(b-\dfrac{\tilde{A}}{\omega} \sin\left(\omega t +\phi\right)\right), \end{equation*}

conseguentemente

(67)   \begin{equation*} \begin{cases} x(t)=a-\dfrac{\tilde{A}}{\omega}\cos \left(\phi+\omega t\right)\\[10pt] y(t)= b-\dfrac{\tilde{A}}{\omega} \sin\left(\omega t +\phi\right), \end{cases} \end{equation*}

oppure

(68)   \begin{equation*} \begin{cases} x(t)-a=-\dfrac{\tilde{A}}{\omega}\cos \left(\phi+\omega t\right)\\[10pt] y(t)-b=-\dfrac{\tilde{A}}{\omega} \sin\left(\omega t +\phi\right), \end{cases} \end{equation*}

in accordo con quanto ricavato in precedenza.


 
 

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    • Physics Stack Exchange – Parte della rete Stack Exchange, questo sito è un forum di domande e risposte specificamente dedicato alla fisica. È un’ottima risorsa per discutere e risolvere problemi di fisica a tutti i livelli, dall’elementare all’avanzato.
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    Lavoro ed energia nelle energie rinnovabili: fondamenti per un futuro sostenibile

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    L’energia è un concetto fondamentale che pervade tutti gli aspetti della vita moderna, dall’alimentazione delle abitazioni e delle industrie, alla mobilità e alla comunicazione globale. Con l’emergere delle preoccupazioni legate al cambiamento climatico e all’esaurimento delle risorse fossili, le energie rinnovabili sono diventate un tema centrale nella ricerca di soluzioni sostenibili per il futuro energetico del pianeta. Questo articolo esplora i concetti di lavoro ed energia nell’ambito delle energie rinnovabili, evidenziando il loro ruolo cruciale nella transizione verso una produzione energetica più pulita e sostenibile.

    Il concetto di lavoro in fisica si riferisce al trasferimento di energia attraverso l’applicazione di una forza su un corpo che si muove nella direzione della forza stessa. In termini di energia rinnovabile, il lavoro viene svolto ogni volta che una fonte naturale di energia, come il vento, il sole, o l’acqua, viene convertita in una forma di energia utilizzabile, come l’elettricità. Ad esempio, nelle turbine eoliche, il lavoro è compiuto dal vento che esercita una forza sulle pale, facendole ruotare. Questa rotazione viene convertita in energia elettrica attraverso un generatore. Il vento compie lavoro sulle pale, trasferendo loro l’energia cinetica necessaria per generare elettricità. Nei pannelli fotovoltaici, i fotoni provenienti dal sole “spingono” gli elettroni attraverso un semiconduttore, generando corrente elettrica. Anche se il concetto di lavoro qui è meno intuitivo rispetto all’eolico, l’energia solare svolge un lavoro fondamentale nel liberare gli elettroni necessari per produrre energia. Nelle centrali idroelettriche, l’acqua che cade da un’altezza compie lavoro sulle turbine situate alla base delle dighe. Questo lavoro, dovuto all’energia potenziale dell’acqua, viene trasformato in energia cinetica e infine in energia elettrica.

    L’energia è la capacità di un sistema di compiere lavoro. Nelle energie rinnovabili, la sfida principale è catturare e convertire l’energia disponibile nell’ambiente in una forma utilizzabile. Le principali forme di energia coinvolte nelle tecnologie rinnovabili includono l’energia cinetica, come quella del vento e dell’acqua in movimento, che può essere convertita direttamente in energia elettrica, l’energia solare, che può essere convertita in energia elettrica attraverso pannelli fotovoltaici o utilizzata per riscaldare fluidi in impianti solari termici, e l’energia potenziale, come l’energia immagazzinata nell’acqua dietro una diga, che può essere rilasciata per generare energia elettrica.

    Uno degli obiettivi principali nello sviluppo delle tecnologie rinnovabili è migliorare l’efficienza con cui queste tecnologie convertono l’energia disponibile in energia utilizzabile. L’efficienza è spesso definita come il rapporto tra l’energia prodotta e l’energia disponibile, e può essere limitata da vari fattori, tra cui le perdite energetiche sotto forma di calore e l’inefficienza dei componenti meccanici ed elettrici. La sostenibilità delle energie rinnovabili non dipende solo dall’efficienza, ma anche dalla capacità di queste tecnologie di ridurre l’impatto ambientale rispetto alle fonti fossili. A differenza del carbone, del petrolio e del gas naturale, le fonti rinnovabili non emettono direttamente gas serra durante la produzione di energia e possono essere sfruttate in modo continuo senza esaurirsi nel tempo.

    Mentre il mondo si sposta verso un futuro più sostenibile, l’importanza delle energie rinnovabili continuerà a crescere. Gli sviluppi tecnologici stanno rendendo queste fonti di energia sempre più competitive rispetto alle fonti tradizionali, riducendo i costi e migliorando l’affidabilità. Con il continuo progresso nella scienza dei materiali e nelle tecnologie di stoccaggio dell’energia, le energie rinnovabili sono destinate a svolgere un ruolo centrale nel soddisfare le esigenze energetiche globali, contribuendo al contempo a mitigare il cambiamento climatico. In conclusione, il concetto di lavoro ed energia è intrinsecamente legato alle energie rinnovabili, fornendo una base per comprendere come queste tecnologie catturano e trasformano le risorse naturali in energia utilizzabile. Con l’aumento della consapevolezza ambientale e la pressione per ridurre le emissioni di carbonio, le energie rinnovabili rappresentano non solo una soluzione necessaria, ma anche una strada percorribile verso un futuro energetico sostenibile.


     

    Lavoro ed energia: l’evoluzione storica e scientifica di due concetti fondamentali della fisica

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    Il concetto di lavoro ed energia ha radici profonde nella storia della fisica e della filosofia naturale, evolvendosi attraverso secoli di osservazioni e teorie che hanno cercato di spiegare il funzionamento del mondo naturale. Il concetto di lavoro in fisica, come misura del trasferimento di energia attraverso l’applicazione di una forza, è relativamente recente nella storia della scienza, risalente al XVIII secolo. Prima di questo periodo, i filosofi naturali, come Aristotele, avevano concetti più rudimentali di movimento e forza, senza una chiara distinzione tra energia e lavoro. Il termine “lavoro” in senso fisico fu formalmente introdotto dal matematico francese Gaspard-Gustave Coriolis nel 1829. Coriolis definì il lavoro come il prodotto della forza applicata su un corpo e dello spostamento del corpo nella direzione della forza. Questa definizione permise di quantificare il lavoro meccanico e divenne un concetto fondamentale nella meccanica classica.

    Il concetto di energia ha una storia più lunga e complessa. L’idea che il movimento e le forze potessero essere legate a una sorta di “capacità di compiere lavoro” risale all’antichità, ma il concetto moderno di energia iniziò a prendere forma solo nel XVII secolo. Un passo importante fu fatto con i lavori di Gottfried Wilhelm Leibniz e Émilie du Châtelet nel XVII e XVIII secolo. Leibniz sviluppò il concetto di vis viva (forza viva), che corrisponde all’energia cinetica moderna, come il prodotto della massa di un corpo e del quadrato della sua velocità. Questo concetto fu ulteriormente sviluppato da Émilie du Châtelet, che chiarì il ruolo dell’energia potenziale, contribuendo a formare la base del principio di conservazione dell’energia.

    Nel XIX secolo, scienziati come Joule, Helmholtz, e Thomson (Lord Kelvin) consolidarono il concetto di energia come quantità fisica conservata. Joule, in particolare, dimostrò l’equivalenza tra lavoro meccanico e calore, stabilendo il principio di conservazione dell’energia, noto come la prima legge della termodinamica.

    La formalizzazione del lavoro e dell’energia come concetti interconnessi permise agli scienziati di sviluppare una comprensione più profonda dei processi fisici. In meccanica classica, il lavoro svolto su un sistema è strettamente legato alle variazioni di energia del sistema, e questa comprensione è alla base di molte applicazioni in ingegneria e fisica. Nel tempo, questi concetti sono diventati fondamentali non solo nella meccanica, ma anche in altre branche della fisica, come la termodinamica e l’elettromagnetismo, fornendo un linguaggio comune per descrivere e analizzare un’ampia gamma di fenomeni naturali.






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