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Esercizio 50  (\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar). Una massa puntiforme m si muove su un piano orizzontale, privo di attrito, collegata all’estremità libera di una molla ideale di costante elastica k e lunghezza a riposo \ell_0. La seconda estremità della molla è fissata in un punto C sul piano, e, quando la lunghezza della molla è pari a quella a riposo, la velocità della massa, di modulo v_0, forma un angolo \theta rispetto all’orientazione della molla, come mostrato in figura 1. Quando la molla raggiunge la sua massima lunghezza, \ell_M, la velocità della massa ha modulo v\neq 0. Determinare il valore di v_0 e v. Supporre che valga {(1-\alpha)}/{\left(1-\alpha^2\sin^2\theta\right)}>0, dove \alpha=\ell_M/\ell_0.

 

 

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Svolgimento.

Osserviamo che, la massa puntiforme in esame è vincolata a muoversi sul piano orizzontale, pertanto la forza peso, che ha direzione perpendicolare al piano orizzontale, non contribuirà all’evoluzione dinamica del sistema perché controbilanciata dalla reazione vincolare del piano. In virtù di ciò, l’unica forza agente sulla massa che ne modifica la dinamica è la forza elastica \vec{F}_{\text{el}}. La forza elastica è una forza centrale, pertanto il momento angolare della massa rispetto al polo C è costante. Nell’istante iniziale la pallina si trova ad una distanza \ell_0 dal polo C ad una velocità \vec{v}_0, come illustrato in figura 2 (a), per cui il modulo del momento angolare iniziale \vec{L}_\text{in} è dato da

(1)   \begin{equation*} |\vec{L}_\text{in}|=|\vec{\ell_0}\wedge m\vec{v}_0|=mv_0\ell_0\sin\theta, \end{equation*}

dove abbiamo utilizzato la relazione |\vec{\ell_0}\wedge\vec{v}_0|=v_0\ell_0\sin\theta, essendo \theta l’angolo compreso tra \vec{\ell}_0 e \vec{v}_0. Il corpo si muove di moto armonico, dato che è soggetto alla sola forza della molla nel piano orizzontale, di conseguenza in corrispondenza della massima elongazione della molla \ell_M, la componente della velocità \vec{v} lungo la direzione della molla deve risultare nulla (cioè la componente radiale) e quindi, per la conservazione del momento angolare deduciamo che \vec{v} sarà diretta perpendicolarmente alla direzione della molla stessa, come illustrato in figura 2 (b). Dunque, il modulo del momento angolare finale \vec{L}_\text{f} è dato da

(2)   \begin{equation*} \left \vert\vec{L}_\text{fin}\right \vert =\left \vert \vec{\ell}_M\wedge m\vec{v}\right \vert =mv\ell_M. \end{equation*}

 

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Dalla conservazione del momento angolare tra l’istante iniziale e finale considerato, si ha

(3)   \begin{equation*} |\vec{L}_\text{in}|=|\vec{L}_\text{fin}|, \end{equation*}

da cui, utilizzando le equazioni (1) e (2), si ottiene

(4)   \begin{equation*} mv_0\ell_0\sin\theta=mv\ell_M\quad\Leftrightarrow\quad v_0\ell_0\sin\theta=v\ell_M. \end{equation*}

La forza elastica è anche una forza conservativa, oltre che essere centrale, per cui nel sistema in esame è conservata l’energia meccanica in ogni istante t>0. L’energia meccanica iniziale E_\text{i}, all’istante t=0, è data dalla somma del contributo elastico U_\text{el,in} e quello cinetico K_{\text{in}}, ossia

(5)   \begin{equation*} E_\text{in}=U_\text{el,i}+K_i=\dfrac{1}{2}k\ell_0^2+\dfrac{1}{2}mv_0^2. \end{equation*}

Nell’istante finale, cioè quando la molla è allungata di \ell_M, analogamente, l’energia meccanica finale E_{\text{fin}} è data dalla somma del contributo elastico U_\text{el,fin} e quello cinetico K_{\text{fin}}, ossia

(6)   \begin{equation*} E_\text{fin}=U_\text{el,fin}+K_{\text{fin}}=\dfrac{1}{2}k\ell_M^2+\dfrac{1}{2}mv^2. \end{equation*}

Dalla conservazione dell’energia meccanica, tra l’istante iniziale e finale considerato, segue che

(7)   \begin{equation*} E_\text{in}=E_\text{fin}, \end{equation*}

da cui, utilizzando le equazioni (5) e (6), si ottiene

(8)   \begin{equation*} \dfrac{1}{2}k\ell_0^2+\dfrac{1}{2}mv_0^2=\dfrac{1}{2}k\ell_M^2+\dfrac{1}{2}mv^2\quad\Leftrightarrow\quad k\ell_0^2+mv_0^2=k\ell_M^2+mv^2. \end{equation*}

Mettendo a sistema le equazioni (4) e (8), otteniamo

(9)   \begin{equation*} \begin{cases} v_0\ell_0\sin\theta=v\ell_M\\\\ k\ell_0^2+mv_0^2=k\ell_M^2+mv^2 \end{cases} \Leftrightarrow\quad \begin{cases} v=\dfrac{v_0\ell_0\sin\theta}{\ell_M}\\\\ k\ell_0^2+mv_0^2=k\ell_M^2+mv^2 \end{cases} \Leftrightarrow\quad \begin{cases} v=\dfrac{v_0\ell_0\sin\theta}{\ell_M}\\\\ k\ell_0^2+mv_0^2=k\ell_M^2+m\left(\dfrac{v_0\ell_0\sin\theta}{\ell_M}\right)^2. \end{cases} \end{equation*}

Dalla seconda equazione del sistema (9), si trova

(10)   \begin{equation*} k(\ell_M^2-\ell_0^2)=mv_0^2\left(1-\left(\dfrac{\ell_0\sin\theta}{\ell_M}\right)^2\right), \end{equation*}

da cui

(11)   \begin{equation*} v_0^2=\dfrac{k(\ell_M^2-\ell_0^2)}{m\left(1-\left(\dfrac{\ell_0}{\ell_M}\sin\theta\right)\right)}=\dfrac{k\ell_M^2(1-\alpha)}{m\left(1-\alpha^2\sin^2\theta\right)}, \end{equation*}

dove abbiamo posto \alpha\equiv \ell_M/\ell_0. Inoltre, si osservi che l’espressione di v_0^2 appena ricavata è ben definita, poiché {(1-\alpha)}/{\left(1-\alpha^2\sin^2\theta\right)}>0. Dall’equazione (11) si trova che il modulo della velocità iniziale v_0 del corpo è pari a

    \[\boxcolorato{fisica}{ v_0=\ell_M\sqrt{\dfrac{k(1-\alpha)}{m\left(1-\alpha^2\sin^2\theta\right)}}.}\]

 

Dalla prima equazione del sistema 9, sostituendo l’espressione di v_0 appena ricavata, otteniamo che il modulo della velocità v del corpo quando la molla è alla massima elongazione \ell_M, è pari ad

(12)   \begin{equation*} v=\left(\ell_M\sqrt{\dfrac{k(1-\alpha)}{m\left(1-\alpha^2\sin^2\theta\right)}}\right)\dfrac{\ell_0\sin\theta}{\ell_M}, \end{equation*}

cioè

    \[\boxcolorato{fisica}{ v=\ell_0\sin\theta\sqrt{\dfrac{k(1-\alpha)}{m\left(1-\alpha^2\sin^2\theta\right)}}.}\]

 

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