Lavoro ed energia: esercizio 51

Dinamica del punto materiale: Lavoro ed energia in Meccanica classica

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Esercizio lavoro ed energia 51

L’esercizio 51 sul lavoro e l’energia fa parte della raccolta inclusa nella cartella Dinamica del punto materiale: Lavoro ed energia in Meccanica classica. Questo esercizio segue Esercizio lavoro ed energia 50 ed è il precedente di un eventuale Esercizio lavoro ed energia 52. Questo esercizio è progettato per studenti che frequentano un corso di Fisica 1, indirizzato a chi studia ingegneria, fisica o matematica.

Testo lavoro ed energia 51

Esercizio 51 $(\bigstar\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Da un sistema di riferimento fisso $Oxy$ si osserva un punto materiale di massa $m$ muoversi sotto l’azione della forza peso lungo una guida liscia, la cui forma è rappresentato dal grafico della funzione $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ tale che $y=f(x)$ , dove per convenienza l’asse $y$ è stato diretto verso il basso. All’istante iniziale $t=0$ , il punto materiale è nell’origine $O$ con velocità iniziale diretta parallelamente all’asse $y$ e di modulo pari a $v_0$ . Si determini

la scrittura analitica delle funzione $f$ affinché il punto materiale di massa $m$ si muova di moto rettilineo uniforme lungo l’asse delle $y$ ;
le componenti lungo l’asse delle $x$ e delle $y$ della reazione vincolare $\vec{R}$ generata dal vincolo sul punto materiale di massa $m$ .

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Figura 1: rappresentazione grafica del moto di un punto materiale lungo una guida liscia, con riferimento al sistema Oxy e il calcolo dell’energia.

Richiami teorici.

Immaginiamo di avere un sistema di riferimento fisso $Oy$ dal quale si osserva un punto materiale sottoposto ad una forza muoversi lungo una traiettoria generica $\gamma$ . Il punto materiale è sottoposto alla forza $\vec{F}$ e alla forza $m\vec{g}$ che è diretta sempre parallelamente all’asse delle $y$ . Nella figura di seguito rappresentiamo il sistema di riferimento $Oy$ e il punto materiale muoversi lungo una traiettoria qualsiasi.

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Figura 2: diagramma del moto di un punto materiale sotto l’azione di una forza lungo una traiettoria curva, con l’asse delle $y$ verso l’alto.

Rappresentazione della traiettoria di un punto materiale sotto l'azione di una forza, con calcolo del lavoro e dell'energia nel sistema Oxy

Dalla definizione di forza conservativa, si ha

(1) $\begin{equation*} -mg=-\dfrac{dU}{dy} \end{equation*}$

da cui integrando ambo i membri l’equazione rispetto alla variabile $y$ , si ottiene

(2) $\begin{equation*} \boxed{U(y)=mg y+\text{costante}.} \end{equation*}$

Nella figura di seguito cambiamo l’orientazione del sistema di riferimento $Oy$ .

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Figura 3: diagramma del moto di un punto materiale sotto l’azione di una forza lungo una traiettoria curva, con l’asse delle $y$ verso il basso.

Diagramma della traiettoria e del sistema di riferimento modificato Oxy, con correlazione tra il lavoro e l'energia

Dalla definizione di forza conservativa, si ha

(3) $\begin{equation*} mg=-\dfrac{dU}{dy}, \end{equation*}$

conseguentemente integrando ambo i membri l’equazione rispetto alla variabile $y$ , si ha

(4) $\begin{equation*} \boxed{ U(y)=-mgy+\text{costante}.} \end{equation*}$

Dunque, dalle equazioni (2) e (4) deduciamo che la scrittura analitica del potenziale della forza peso cambia a seconda dell’orientazione del sistema di riferimento $Oy$ . Nel problema è stato usato per la conservazione dell’energia l’equazione (4). Rappresentazione del sistema di riferimento modificato Oxy e analisi della traiettoria di un punto materiale con calcolo dell'energia.

Curiosità. la curva lungo la quale un grave scivola descrivendo altezze di caduta uguali in tempi uguali è quindi una parabola semicubica; essa è anche chiamata isocrona o curva descensus aequabilis ed è stata studiata per la prima volta da Jacques Bernoulli nel 1690.

Svolgimento punto 1.

Definiamo $x$ , $y$ , $\hat{x}$ e $\hat{y}$ rispettivamente la componente lungo l’asse delle $x$ della massa $m$ , la componente lungo l’asse delle $y$ della massa $m$ , il versore dell’asse delle $x$ e il versore dell’asse delle $y$ . Denotiamo il vettore posizione di $m$ come

(5) $\begin{equation*} \vec{r}=x\,\hat{x}+y\,\hat{y}, \end{equation*}$

da ciò il vettore velocità $\vec{v}$ è definito come

(6) $\begin{equation*} \vec{v}=\dfrac{d\vec{r}}{dt}=\dot{x}\,\hat{x}+\dot{y}\,\hat{y}, \end{equation*}$

conseguentemente per l’accelerazione si ha

(7) $\begin{equation*} \vec{a}=\dfrac{d^2\vec{r}}{dt^2}=\ddot{x}\,\hat{x}+\ddot{y}\,\hat{y}. \end{equation*}$

Per ipotesi il moto lungo l’asse $y$ della massa $m$ è rettilineo uniforme con velocità di modulo $v_0$ , pertanto lungo l’asse delle $y$ la legge oraria di $m$ per $t\geq 0$ è

(8) $\begin{equation*} y(t)=v_0 t. \end{equation*}$

Sulla massa $m$ oltre alla forza peso $m\vec{g}$ è presente la reazione vincolare $\vec{R}$ per via del contatto con la guida. Osserviamo che, siccome la guida è liscia, la reazione vincolare è perpendicolare allo spostamento e pertanto compie lavoro nullo. Inoltre, la forza peso è una forza conservativa, dunque si ha la conservazione dell’energia meccanica in ogni istante $t>0$ . L’energia totale all’istante $t=0$ è

(9) $\begin{equation*} E_i=-mgy(0)+\frac{1}{2}mv^2(0), \end{equation*}$

dove $y(0)$ e $v(0)$ sono rispettivamente la posizione iniziale di $m$ lungo l’asse delle $y$ e il modulo della velocità di $m$ all’istante iniziale. L’energia totale nel generico istante $t>0$ è

(10) $\begin{equation*} E_f=-mgy+\frac{1}{2}mv^2, \end{equation*}$

dove $y$ e $v$ sono rispettivamente la posizione di $m$ lungo l’asse delle $y$ nel generico istante $t>0$ e $v$ è il modulo della velocità di $m$ nel generico istante $t>0$ . Per la conservazione dell’energia, si ha

(11) $\begin{equation*} E_i=E_f, \end{equation*}$

da cui sfruttando le equazioni (9) e (10), otteniamo

(12) $\begin{equation*} -mgy(0)+\frac{1}{2}mv^2(0)=-mgy(t)+\frac{1}{2}mv^2. \end{equation*}$

Dalla configurazione iniziale del sistema si evince che $y(0)=0$ , mentre $v^2(0)=v_0^2$ . Inoltre, $v^2=v_0^2+\dot{x}^2$ , di conseguenza la precedente equazione risulta essere

(13) $\begin{equation*} \frac{1}{2}mv_0^2=\frac{1}{2}m(\dot{x}^2+v_0^2)-mgy, \end{equation*}$

infine ricordando che $y(t)= v_0 t$ , si ottiene

(14) $\begin{equation*} \dot{x}=t^{1/2}\sqrt{2gv_0}. \end{equation*}$

Integrando rispetto al tempo ambo i membri la precedente equazione, si ottiene

(15) $\begin{equation*} x(t)=\dfrac{2}{3}t^{3/2}\sqrt{2gv_0} +C, \end{equation*}$

dove $C$ è una costante. Per poter ricavare la costante $C$ , osserviamo che la posizione iniziale lungo l’asse delle $x$ all’istante $t=0$ del punto materiale è $x(0)=0.$ Imponendo $x(0)=0$ dalla precedente equazione si trova $C=0$ . Sostituendo $C=0$ nella precedente equazione, otteniamo

(16) $\begin{equation*} x(t)=\dfrac{2}{3} \sqrt{2 g v_0}, \end{equation*}$

dove $t \geq 0$ . Dall’equazione (8), si ha

(17) $\begin{equation*} t=\dfrac{y}{v_0} \end{equation*}$

che messa a sistema con l’equazione (16) dà

(18) $\begin{equation*} x=\dfrac{2}{3} \sqrt{2\, g\, v_0}\, \left(\dfrac{y}{v_0}\right)^{\frac{3}{2}}. \end{equation*}$

Elevando ambo i membri alla $2/3$ la precedente equazione diventa

(19) $\begin{equation*} x^{\frac{2}{3}}=\left(\frac{2}{3}\left(2\, g\, v_0\right)^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{2}{3}} \frac{y}{v_0}, \end{equation*}$

da cui

$\boxcolorato{fisica}{ y=f(x)=\left(\frac{9\,v_0^2}{8\,g}\right)^{1/3}x^{2/3}. \nonumber}$

Punto 2. Siano $R_x$ e $R_y$ le componenti rispettivamente lungo l’asse delle $x$ e lungo l’asse delle $y$ della reazione vincolare $\vec{R}$ . Per la seconda legge della dinamica abbiamo

(20) $\begin{equation*} \vec{R}+m\vec{g}=m\vec{a}. \end{equation*}$

Lungo l’asse delle $y$ il moto è rettilineo uniforme, pertanto $\dot{y}=v_0$ , da cui il vettore accelerazione è

(21) $\begin{equation*} \vec{a}=\ddot{x}\,\hat{x}; \end{equation*}$

in altri termini abbiamo sostituito $\ddot{y}=0$ nell’equazione (7). Sfruttando la precedente equazione e scomponendo le forze lungo l’asse delle $x$ e delle $y$ l’equazione 20 diventa

(22) $\begin{equation*} R_x\,\hat{x}+R_y\,\hat{y}+mg\,\hat{y}=\ddot{x}(t)\,\hat{x}, \end{equation*}$

da cui

(23) $\begin{equation*} \begin{cases} R_x=m \ddot{x} \\[10pt] mg+R_y=m\ddot{y} . \end{cases} \end{equation*}$

Il moto, per ipotesi, deve essere rettilineo uniformemente lungo l’asse delle $y$ , pertanto per la seconda legge della dinamica nella direzione dell’asse delle $y$ si ha $R_y=-mg$ . Sostituendo $x(t)$ (calcolata nell’equazione (15)) nella prima equazione del precedente sistema, si ha

(24) $\begin{equation*} \begin{aligned} R_x&=m \ddot{x}=m\frac{d^2}{d t^2}\left(\frac{2}{3} \sqrt{2 g v_0} t^{\frac{3}{2}}\right)=\\[5pt] &=m \frac{d}{dt}\left( \sqrt{2 g v_0} t^{\frac{1}{2}}\right) =\\[5pt] &=\dfrac{m}{2}\sqrt{2 g v_0} t^{-\frac{1}{2}}=\\[5pt] &=\sqrt{\frac{gvo}{2t}}. \end{aligned} \end{equation*}$

Si conclude che le componenti della reazione vincolare sono

$\boxcolorato{fisica}{ R_x=m\sqrt{\dfrac{gvo}{2t}} }$

$\boxcolorato{fisica}{ R_y=-mg .}$

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Ulteriori risorse didattiche per la fisica

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Lavoro ed energia nelle energie rinnovabili: fondamenti per un futuro sostenibile

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L’energia è un concetto fondamentale che pervade tutti gli aspetti della vita moderna, dall’alimentazione delle abitazioni e delle industrie, alla mobilità e alla comunicazione globale. Con l’emergere delle preoccupazioni legate al cambiamento climatico e all’esaurimento delle risorse fossili, le energie rinnovabili sono diventate un tema centrale nella ricerca di soluzioni sostenibili per il futuro energetico del pianeta. Questo articolo esplora i concetti di lavoro ed energia nell’ambito delle energie rinnovabili, evidenziando il loro ruolo cruciale nella transizione verso una produzione energetica più pulita e sostenibile.

Il concetto di lavoro in fisica si riferisce al trasferimento di energia attraverso l’applicazione di una forza su un corpo che si muove nella direzione della forza stessa. In termini di energia rinnovabile, il lavoro viene svolto ogni volta che una fonte naturale di energia, come il vento, il sole, o l’acqua, viene convertita in una forma di energia utilizzabile, come l’elettricità. Ad esempio, nelle turbine eoliche, il lavoro è compiuto dal vento che esercita una forza sulle pale, facendole ruotare. Questa rotazione viene convertita in energia elettrica attraverso un generatore. Il vento compie lavoro sulle pale, trasferendo loro l’energia cinetica necessaria per generare elettricità. Nei pannelli fotovoltaici, i fotoni provenienti dal sole “spingono” gli elettroni attraverso un semiconduttore, generando corrente elettrica. Anche se il concetto di lavoro qui è meno intuitivo rispetto all’eolico, l’energia solare svolge un lavoro fondamentale nel liberare gli elettroni necessari per produrre energia. Nelle centrali idroelettriche, l’acqua che cade da un’altezza compie lavoro sulle turbine situate alla base delle dighe. Questo lavoro, dovuto all’energia potenziale dell’acqua, viene trasformato in energia cinetica e infine in energia elettrica.

L’energia è la capacità di un sistema di compiere lavoro. Nelle energie rinnovabili, la sfida principale è catturare e convertire l’energia disponibile nell’ambiente in una forma utilizzabile. Le principali forme di energia coinvolte nelle tecnologie rinnovabili includono l’energia cinetica, come quella del vento e dell’acqua in movimento, che può essere convertita direttamente in energia elettrica, l’energia solare, che può essere convertita in energia elettrica attraverso pannelli fotovoltaici o utilizzata per riscaldare fluidi in impianti solari termici, e l’energia potenziale, come l’energia immagazzinata nell’acqua dietro una diga, che può essere rilasciata per generare energia elettrica.

Uno degli obiettivi principali nello sviluppo delle tecnologie rinnovabili è migliorare l’efficienza con cui queste tecnologie convertono l’energia disponibile in energia utilizzabile. L’efficienza è spesso definita come il rapporto tra l’energia prodotta e l’energia disponibile, e può essere limitata da vari fattori, tra cui le perdite energetiche sotto forma di calore e l’inefficienza dei componenti meccanici ed elettrici. La sostenibilità delle energie rinnovabili non dipende solo dall’efficienza, ma anche dalla capacità di queste tecnologie di ridurre l’impatto ambientale rispetto alle fonti fossili. A differenza del carbone, del petrolio e del gas naturale, le fonti rinnovabili non emettono direttamente gas serra durante la produzione di energia e possono essere sfruttate in modo continuo senza esaurirsi nel tempo.

Mentre il mondo si sposta verso un futuro più sostenibile, l’importanza delle energie rinnovabili continuerà a crescere. Gli sviluppi tecnologici stanno rendendo queste fonti di energia sempre più competitive rispetto alle fonti tradizionali, riducendo i costi e migliorando l’affidabilità. Con il continuo progresso nella scienza dei materiali e nelle tecnologie di stoccaggio dell’energia, le energie rinnovabili sono destinate a svolgere un ruolo centrale nel soddisfare le esigenze energetiche globali, contribuendo al contempo a mitigare il cambiamento climatico. In conclusione, il concetto di lavoro ed energia è intrinsecamente legato alle energie rinnovabili, fornendo una base per comprendere come queste tecnologie catturano e trasformano le risorse naturali in energia utilizzabile. Con l’aumento della consapevolezza ambientale e la pressione per ridurre le emissioni di carbonio, le energie rinnovabili rappresentano non solo una soluzione necessaria, ma anche una strada percorribile verso un futuro energetico sostenibile.

Lavoro ed energia: l’evoluzione storica e scientifica di due concetti fondamentali della fisica

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Il concetto di lavoro ed energia ha radici profonde nella storia della fisica e della filosofia naturale, evolvendosi attraverso secoli di osservazioni e teorie che hanno cercato di spiegare il funzionamento del mondo naturale. Il concetto di lavoro in fisica, come misura del trasferimento di energia attraverso l’applicazione di una forza, è relativamente recente nella storia della scienza, risalente al XVIII secolo. Prima di questo periodo, i filosofi naturali, come Aristotele, avevano concetti più rudimentali di movimento e forza, senza una chiara distinzione tra energia e lavoro. Il termine “lavoro” in senso fisico fu formalmente introdotto dal matematico francese Gaspard-Gustave Coriolis nel 1829. Coriolis definì il lavoro come il prodotto della forza applicata su un corpo e dello spostamento del corpo nella direzione della forza. Questa definizione permise di quantificare il lavoro meccanico e divenne un concetto fondamentale nella meccanica classica.

Il concetto di energia ha una storia più lunga e complessa. L’idea che il movimento e le forze potessero essere legate a una sorta di “capacità di compiere lavoro” risale all’antichità, ma il concetto moderno di energia iniziò a prendere forma solo nel XVII secolo. Un passo importante fu fatto con i lavori di Gottfried Wilhelm Leibniz e Émilie du Châtelet nel XVII e XVIII secolo. Leibniz sviluppò il concetto di vis viva (forza viva), che corrisponde all’energia cinetica moderna, come il prodotto della massa di un corpo e del quadrato della sua velocità. Questo concetto fu ulteriormente sviluppato da Émilie du Châtelet, che chiarì il ruolo dell’energia potenziale, contribuendo a formare la base del principio di conservazione dell’energia.

Nel XIX secolo, scienziati come Joule, Helmholtz, e Thomson (Lord Kelvin) consolidarono il concetto di energia come quantità fisica conservata. Joule, in particolare, dimostrò l’equivalenza tra lavoro meccanico e calore, stabilendo il principio di conservazione dell’energia, noto come la prima legge della termodinamica.

La formalizzazione del lavoro e dell’energia come concetti interconnessi permise agli scienziati di sviluppare una comprensione più profonda dei processi fisici. In meccanica classica, il lavoro svolto su un sistema è strettamente legato alle variazioni di energia del sistema, e questa comprensione è alla base di molte applicazioni in ingegneria e fisica. Nel tempo, questi concetti sono diventati fondamentali non solo nella meccanica, ma anche in altre branche della fisica, come la termodinamica e l’elettromagnetismo, fornendo un linguaggio comune per descrivere e analizzare un’ampia gamma di fenomeni naturali.

Document

Alessio Fulvi

2024-07-17

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2024-07-09

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2024-06-20

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2024-06-13

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