Esercizio lavoro ed energia 52

Dinamica del punto materiale: Lavoro ed energia in Meccanica classica

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Esercizio 52 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Un punto materiale di massa $m$ giace in quiete nel punto $A$ sul fondo di una guida liscia fissa con profilo semicircolare nel piano verticale di raggio $R$ . A partire da un certo istante al corpo $m$ è applicata una forza orizzontale di modulo $F$ costante. Calcolare:

il modulo $v_B$ della velocità $\vec{v}_B$ di $m$ quando raggiunge il punto $B$ più alto della guida;
la reazione vincolare della guida nello stesso istante.

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Svolgimento. Punto 1. Sul corpo di massa $m$ agiscono la forza peso $m\vec{g}$ , la reazione vincolare in seguito al contatto con la guida $\vec{N}$ e la forza $\vec{F}$ . Tutte le forze sono rappresentate in figura 2.

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Per calcolare la velocità del corpo $m$ nel punto $B$ possiamo avvalerci del teorema delle forze vive. La variazione dell’energia cinetica $\Delta K$ del corpo di massa $m$ per andare dal punto $A$ della guida al punto $B$ della guida è data dal lavoro $L_{\text{tot}}$ compiuto dalla forza risultante sulla massa $m$ durante tale spostamento, ossia

(1) $\begin{equation*} \Delta K=L_{\text{tot}}. \end{equation*}$

La forza risultate è $\vec{N}+\vec{F}+m\vec{g}$ .
Essendo il corpo inizialmente in quiete nel punto $A$ ( $v_A=0$ ), segue che

(2) $\begin{equation*} \Delta K=\dfrac{1}{2}mv_B^{2}-\dfrac{1}{2}mv_A^2=\dfrac{1}{2}mv_B^2, \end{equation*}$

dove $v_B$ è il modulo del vettore velocità del corpo nel punto $B$ , ovvero ciò che si vuol determinare.
La reazione vincolare $\vec{N}$ non compie lavoro essendo ortogonale allo spostamento del corpo $m$ in ogni istante. Dunque, il lavoro $L_{\text{tot}}$ svolto dalla risultante delle forze agenti su $m$ è dato dal contributo della forza peso $L_{\text{peso}}$ e da quello della forza orizzontale $L_{F}$ , ossia

(3) $\begin{equation*} L_{\text{tot}}=L_{\text{peso}}+L_{F}. \end{equation*}$

Definiamo un sistema di riferimento inerziale $Oxy$ con l’origine $O$ coincidente con il punto $A$ orientato come in figura 3 (dove la reazione vincolare $\vec{N}$ non è stata raffigurata perché ininfluente ai fini dei calcoli successivi).

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Il lavoro svolto dalla forza peso nel portare il corpo $m$ dal punto $A$ al punto $B$ è dato da

(4) $\begin{equation*} L_\text{peso}=-(mgy_B-mgy_A)=-mgR, \end{equation*}$

dove abbiamo posto $y_B=R$ e $y_A=0$ per come abbiamo definito il sistema di riferimento $Oxy$ .
Così come la forza peso, anche la forza $\vec{F}$ è conservativa in quanto costante in modulo, direzione e verso. Pertanto esiste una funzione scalare (detto potenziale) $U_F(x)$ tale per cui

(5) $\begin{equation*} -\dfrac{d}{dx}U_F(x)=-F, \end{equation*}$

dove il segno meno è dovuto al verso del vettore $\vec{F}$ rispetto al riferimento $Oxy$ .
Integrando ambo i membri dell’equazione (5) rispetto alla variabile $x$ , si ha che

(6) $\begin{equation*} U_F(x)=Fx+c, \end{equation*}$

dove $c$ è una generica costante di integrazione.
Quindi il lavoro svolto dalla forza $\vec{F}$ nel portare il corpo $m$ dal punto $A$ al punto $B$ vale

(7) $\begin{equation*} L_\text{F}=-\Delta U_F=-\left(U_F(x_B)-U_F(x_A)\right)=FR, \end{equation*}$

dove abbiamo posto $x_B=-R$ e $x_A=0$ per come abbiamo definito il sistema di riferimento $Oxy$ .
Mettendo a sistema le equazioni (4), (7) e (3), si ha

(8) $\begin{equation*} L_{\text{tot}}=FR-mgR. \end{equation*}$

Dall’equazione (1) utilizzando le equazioni (2) e (8), otteniamo che

(9) $\begin{equation*} \dfrac{1}{2}mv_B^2=FR-mgR\quad\Leftrightarrow\quad v_B^2=2\left(\dfrac{FR}{m}-gR\right), \end{equation*}$

da cui il modulo della velocità del corpo di massa $m$ nel punto $B$ è

$\boxcolorato{fisica}{ v_{B}=\sqrt{2R\left(\dfrac{F}{m}-g\right)}.}$

Osserviamo che il risultato appena ottenuto è matematicamente ben definito e ha senso fisico se e soltanto se

(10) $\begin{equation*} \dfrac{F}{m}-g\geq 0\quad\Leftrightarrow\quad F\geq mg. \end{equation*}$

Punto 2. Per ottenere il modulo della reazione vincolare $\vec{N}$ nel punto $B$ , costruiamo il diagramma di corpo libero in questo istante come illustrato in figura 4. Si osservi che abbiamo cambiato sistema di riferimento: abbiamo scelto un sistema di riferimento inerziale $Oxy$ tale per cui $O\equiv B$ .

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Dal secondo principio della dinamica, proiettando le forze lungo l’asse orizzontale $x$ (ossia nella direzione radiale del moto), si ha

(11) $\begin{equation*} ma_c=N-F, \end{equation*}$

dove $a_c$ è il modulo dell’accelerazione centripeta del corpo $m$ nel punto $B$ e vale

(12) $\begin{equation*} a_c=\dfrac{v_B^2}{R}. \end{equation*}$

Sostituendo l’espressione dell’accelerazione centripeta (12) nell’equazione (11), si trova

(13) $\begin{equation*} m\dfrac{v_B^2}{R}=N-F\quad\Leftrightarrow\quad \dfrac{m}{R}(2R)\left(\dfrac{F}{m}-g\right)=N-F\quad\Leftrightarrow\quad 2m\left(\dfrac{F}{m}-g\right)=N-F, \end{equation*}$