Esercizio 52 . Un punto materiale di massa
giace in quiete nel punto
sul fondo di una guida liscia fissa con profilo semicircolare nel piano verticale di raggio
. A partire da un certo istante al corpo
è applicata una forza orizzontale di modulo
costante. Calcolare:
- il modulo
della velocità
di
quando raggiunge il punto
più alto della guida;
- la reazione vincolare della guida nello stesso istante.
Svolgimento. Punto 1. Sul corpo di massa agiscono la forza peso
, la reazione vincolare in seguito al contatto con la guida
e la forza
. Tutte le forze sono rappresentate in figura 2.
Per calcolare la velocità del corpo nel punto
possiamo avvalerci del teorema delle forze vive. La variazione dell’energia cinetica
del corpo di massa
per andare dal punto
della guida al punto
della guida è data dal lavoro
compiuto dalla forza risultante sulla massa
durante tale spostamento, ossia
(1)
La forza risultate è .
Essendo il corpo inizialmente in quiete nel punto (
), segue che
(2)
dove è il modulo del vettore velocità del corpo nel punto
, ovvero ciò che si vuol determinare.
La reazione vincolare non compie lavoro essendo ortogonale allo spostamento del corpo
in ogni istante. Dunque, il lavoro
svolto dalla risultante delle forze agenti su
è dato dal contributo della forza peso
e da quello della forza orizzontale
, ossia
(3)
Definiamo un sistema di riferimento inerziale con l’origine
coincidente con il punto
orientato come in figura 3 (dove la reazione vincolare
non è stata raffigurata perché ininfluente ai fini dei calcoli successivi).
Il lavoro svolto dalla forza peso nel portare il corpo dal punto
al punto
è dato da
(4)
dove abbiamo posto e
per come abbiamo definito il sistema di riferimento
.
Così come la forza peso, anche la forza è conservativa in quanto costante in modulo, direzione e verso. Pertanto esiste una funzione scalare (detto potenziale)
tale per cui
(5)
dove il segno meno è dovuto al verso del vettore rispetto al riferimento
.
Integrando ambo i membri dell’equazione (5) rispetto alla variabile , si ha che
(6)
dove è una generica costante di integrazione.
Quindi il lavoro svolto dalla forza nel portare il corpo
dal punto
al punto
vale
(7)
dove abbiamo posto e
per come abbiamo definito il sistema di riferimento
.
Mettendo a sistema le equazioni (4), (7) e (3), si ha
(8)
Dall’equazione (1) utilizzando le equazioni (2) e (8), otteniamo che
(9)
da cui il modulo della velocità del corpo di massa nel punto
è
Osserviamo che il risultato appena ottenuto è matematicamente ben definito e ha senso fisico se e soltanto se
(10)
Punto 2. Per ottenere il modulo della reazione vincolare nel punto
, costruiamo il diagramma di corpo libero in questo istante come illustrato in figura 4. Si osservi che abbiamo cambiato sistema di riferimento: abbiamo scelto un sistema di riferimento inerziale
tale per cui
.
Dal secondo principio della dinamica, proiettando le forze lungo l’asse orizzontale (ossia nella direzione radiale del moto), si ha
(11)
dove è il modulo dell’accelerazione centripeta del corpo
nel punto
e vale
(12)
Sostituendo l’espressione dell’accelerazione centripeta (12) nell’equazione (11), si trova
(13)
dove abbiamo utilizzato l’espressione di ottenuta nel punto precedente.
Nell’equazione (13) esplicitando , si ottiene
(14)
ossia
Osserviamo che la condizione trovata all’equazione (10) garantisce che l’espressione di appena ottenuta sia fisicamente coerente (i.e.
).