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Esercizio 52  (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Un punto materiale di massa m giace in quiete nel punto A sul fondo di una guida liscia fissa con profilo semicircolare nel piano verticale di raggio R. A partire da un certo istante al corpo m è applicata una forza orizzontale di modulo F costante. Calcolare:

  1. il modulo v_B della velocità \vec{v}_B di m quando raggiunge il punto B più alto della guida;
  2. la reazione vincolare della guida nello stesso istante.

 

 

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Svolgimento. Punto 1. Sul corpo di massa m agiscono la forza peso m\vec{g}, la reazione vincolare in seguito al contatto con la guida \vec{N} e la forza \vec{F}. Tutte le forze sono rappresentate in figura 2.

 

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Per calcolare la velocità del corpo m nel punto B possiamo avvalerci del teorema delle forze vive. La variazione dell’energia cinetica \Delta K del corpo di massa m per andare dal punto A della guida al punto B della guida è data dal lavoro L_{\text{tot}} compiuto dalla forza risultante sulla massa m durante tale spostamento, ossia

(1)   \begin{equation*} \Delta K=L_{\text{tot}}. \end{equation*}

La forza risultate è \vec{N}+\vec{F}+m\vec{g}.
Essendo il corpo inizialmente in quiete nel punto A (v_A=0), segue che

(2)   \begin{equation*} \Delta K=\dfrac{1}{2}mv_B^{2}-\dfrac{1}{2}mv_A^2=\dfrac{1}{2}mv_B^2, \end{equation*}

dove v_B è il modulo del vettore velocità del corpo nel punto B, ovvero ciò che si vuol determinare.
La reazione vincolare \vec{N} non compie lavoro essendo ortogonale allo spostamento del corpo m in ogni istante. Dunque, il lavoro L_{\text{tot}} svolto dalla risultante delle forze agenti su m è dato dal contributo della forza peso L_{\text{peso}} e da quello della forza orizzontale L_{F}, ossia

(3)   \begin{equation*} L_{\text{tot}}=L_{\text{peso}}+L_{F}. \end{equation*}

Definiamo un sistema di riferimento inerziale Oxy con l’origine O coincidente con il punto A orientato come in figura 3 (dove la reazione vincolare \vec{N} non è stata raffigurata perché ininfluente ai fini dei calcoli successivi).

 

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Il lavoro svolto dalla forza peso nel portare il corpo m dal punto A al punto B è dato da

(4)   \begin{equation*} L_\text{peso}=-(mgy_B-mgy_A)=-mgR, \end{equation*}

dove abbiamo posto y_B=R e y_A=0 per come abbiamo definito il sistema di riferimento Oxy.
Così come la forza peso, anche la forza \vec{F} è conservativa in quanto costante in modulo, direzione e verso. Pertanto esiste una funzione scalare (detto potenziale) U_F(x) tale per cui

(5)   \begin{equation*} -\dfrac{d}{dx}U_F(x)=-F, \end{equation*}

dove il segno meno è dovuto al verso del vettore \vec{F} rispetto al riferimento Oxy.
Integrando ambo i membri dell’equazione (5) rispetto alla variabile x, si ha che

(6)   \begin{equation*} U_F(x)=Fx+c, \end{equation*}

dove c è una generica costante di integrazione.
Quindi il lavoro svolto dalla forza \vec{F} nel portare il corpo m dal punto A al punto B vale

(7)   \begin{equation*} L_\text{F}=-\Delta U_F=-\left(U_F(x_B)-U_F(x_A)\right)=FR, \end{equation*}

dove abbiamo posto x_B=-R e x_A=0 per come abbiamo definito il sistema di riferimento Oxy.
Mettendo a sistema le equazioni (4), (7) e (3), si ha

(8)   \begin{equation*} L_{\text{tot}}=FR-mgR. \end{equation*}

Dall’equazione (1) utilizzando le equazioni (2) e (8), otteniamo che

(9)   \begin{equation*} \dfrac{1}{2}mv_B^2=FR-mgR\quad\Leftrightarrow\quad v_B^2=2\left(\dfrac{FR}{m}-gR\right), \end{equation*}

da cui il modulo della velocità del corpo di massa m nel punto B è

    \[\boxcolorato{fisica}{ v_{B}=\sqrt{2R\left(\dfrac{F}{m}-g\right)}.}\]

Osserviamo che il risultato appena ottenuto è matematicamente ben definito e ha senso fisico se e soltanto se

(10)   \begin{equation*} \dfrac{F}{m}-g\geq 0\quad\Leftrightarrow\quad F\geq mg. \end{equation*}

 

Punto 2. Per ottenere il modulo della reazione vincolare \vec{N} nel punto B, costruiamo il diagramma di corpo libero in questo istante come illustrato in figura 4. Si osservi che abbiamo cambiato sistema di riferimento: abbiamo scelto un sistema di riferimento inerziale Oxy tale per cui O\equiv B.

 

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Dal secondo principio della dinamica, proiettando le forze lungo l’asse orizzontale x (ossia nella direzione radiale del moto), si ha

(11)   \begin{equation*} ma_c=N-F, \end{equation*}

dove a_c è il modulo dell’accelerazione centripeta del corpo m nel punto B e vale

(12)   \begin{equation*} a_c=\dfrac{v_B^2}{R}. \end{equation*}

Sostituendo l’espressione dell’accelerazione centripeta (12) nell’equazione (11), si trova

(13)   \begin{equation*} m\dfrac{v_B^2}{R}=N-F\quad\Leftrightarrow\quad \dfrac{m}{R}(2R)\left(\dfrac{F}{m}-g\right)=N-F\quad\Leftrightarrow\quad 2m\left(\dfrac{F}{m}-g\right)=N-F, \end{equation*}

dove abbiamo utilizzato l’espressione di v_B ottenuta nel punto precedente.
Nell’equazione (13) esplicitando N, si ottiene

(14)   \begin{equation*} N=F+2m\left(\dfrac{F}{m}-g\right)=F+2F-2mg, \end{equation*}

ossia

    \[\boxcolorato{fisica}{ N=3F-2mg.}\]

Osserviamo che la condizione trovata all’equazione (10) garantisce che l’espressione di N appena ottenuta sia fisicamente coerente (i.e. N>0).