Esercizio lavoro ed energia 53

Dinamica del punto materiale: Lavoro ed energia in Meccanica classica

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Esercizio 53 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). In un sistema di riferimento inerziale Ox un punto materiale di massa m=6 kg è vincolato a muoversi lungo l’asse x. Esso è soggetto ad una forza conservativa la cui energia potenziale è U(x)=kx^2, dove x è espresso in metri e k=3 \text{ J}\cdot \text{m}^{-2}. L’energia totale (cinetica + potenziale) del punto materiale è E=30 J per ogni istante t>0. È possibile che il punto materiale si trovi nella posizione di ascissa x=2 m? In caso affermativo, in questa posizione, calcolare il modulo della velocità.

 

 

Svolgimento. Il punto materiale di massa m è conservativo, pertanto per ogni istante t>0 vale

(1)   \begin{equation*} E = \dfrac{1}{2}m\dot{x}^2 + kx^2, \end{equation*}

da cui

(2)   \begin{equation*} \dot{x}^2 = \dfrac{2E}{m}-\dfrac{2kx^2}{m} \geq 0. \end{equation*}

Siccome il membro di destra deve essere non negativo, si ha che il punto materiale è vincolato a rimanere nell’intervallo x \in [-\sqrt{E/k}, \sqrt{E/k}], dove gli estremi sono individuati dalle posizioni dove il contributo all’energia totale è puramente dovuto all’energia potenziale, in altre parole dove l’energia cinetica è nulla. Nel caso considerato questo corrisponde alla condizione x \in [-\text{3,16}\,,\, \text{3,16]} m, dunque la posizione x=2 m appartiene all’intervallo. Possiamo quindi concludere che il punto materiale può trovarsi in questa posizione senza violare il principio di conservazione dell’energia.

Dall’equazione (2), il modulo della velocità del punto materiale v(x) in funzione della sua posizione è

    \[\boxcolorato{fisica}{v(x) = \sqrt{\dfrac{2(E-kx^2)}{M}}}\]

con la condizione x \in [-\sqrt{E/k}, \sqrt{E/k}] per preservare la conservazione dell’energia. Quindi v( x=2 \text{m} ) = \text{2,45}\, \text{ m} \cdot \text{s}^{-1}.