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Esercizio 54  (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Dato un sistema di riferimento inerziale Ox, un punto materiale di massa m=1 kg vincolato all’asse x si muove lungo quest’ultima. Nella posizione x_A = 2 m, la sua velocità è v_A = 4\, \text{m}\cdot\text{s}^{-1}; nella posizione x_B = 7 m, la sua velocità è v_B. Il lavoro dissipato per attrito nel tratto che va da x_A ad x_B è L_{\text{attr}}=-6 J. Calcolare la velocità v_B del punto materiale.

Svolgimento.

Per il teorema delle forze vive, la variazione di energia cinetica di un corpo è pari al lavoro totale compiuto dalle forze applicate su di esso. In questo caso, l’unica forza che compie lavoro sul punto materiale è l’attrito in quanto la forza peso agisce perpendicolarmente alla direzione del moto. L’attrito compie un lavoro negativo sul punto materiale, dissipando quindi energia cinetica. In altri termini

(1)   \begin{equation*} \Delta E_k = \dfrac{1}{2}mv_B^2 - \dfrac{1}{2}mv_A^2 = L_{\text{attr}} < 0, \end{equation*}

da cui

(2)   \begin{equation*} v_B = \sqrt{\dfrac{2L_{\text{attr}}}{m} + v_A^2}. \end{equation*}

La precedente equazione è valida se e solo se

(3)   \begin{equation*} \dfrac{2L_{\text{attr}}}{m} + v_A^2\geq 0. \end{equation*}

Inserendo nell’equazione \eqref{due} i valori forniti dal problema otteniamo v_B = 2 \,\text{m}\cdot\text{s}^{-1}.