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Esercizio 55  (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Dato un sistema di riferimento inerziale Oy, si consideri un punto materiale di massa m=5 kg. All’istante t=0 s il punto materiale si trova fermo ad un’altezza y_i = 100 m rispetto all’origine del sistema di riferimento, ovvero il suolo. Durante gli istanti successivi, quindi per t>0, esso cade liberamente. Giunto ad un’altezza y_f = 30 m dal suolo, la sua velocità è di v_f = 31 \text{ m} \cdot \text{s}^{-1}. Calcolare l’energia dissipata per attrito con l’aria.

Svolgimento.

Per il teorema delle forze vive, la variazione di energia cinetica di un corpo è pari al lavoro totale compiuto dalle forze applicate su di esso. Le forze agenti sul punto materiale sono la forza peso, che compie un lavoro positivo in quanto diretta lungo la direzione del moto, e la forza di attrito con l’aria, che invece compie un lavoro negativo in quanto ha verso opposto alla direzione del moto. Siano \Delta E_k, L_{\text{peso}} e L_{\text{attr}} rispettivamente la variazione di energia cinetica tra la quota y_i e y_f, il lavoro della forza peso tra la quota y_i e y_f e il lavoro della forza di attrito tra la quota y_i e y_f. Per il teorema delle forze vive abbiamo

(1)   \begin{equation*}  \Delta E_k = \dfrac{1}{2}mv_f^2 = L_{\text{peso}} + L_{\text{attr}}>0. \end{equation*}

Si osservi che abbiamo tenuto conto che il corpo parte da fermo, pertanto la sua energia cinetica iniziale (cioè alla quota y_i) è nulla. Il lavoro esercitato dalla forza peso da y_i a y_f è

(2)   \begin{equation*} L_{\text{peso}} = mg\Delta{y} = mg(y_i-y_f)>0. \end{equation*}

Mettendo a sistema la precedente equazione con l’equazione (1), si ha

    \[\boxcolorato{fisica}{ L_{\text{attr} }= \dfrac{1}{2}mv_f^2 - mg(y_i-y_f).}\]

Sostituendo i valori numerici dati dal testo dell’esercizio, il lavoro esercitato dall’attrito con l’aria è pari a

    \[\boxcolorato{fisica}{ L_{\text{attr}} = -1031\,\text{J}.}\]