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Esercizio 56  (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Dato un sistema di riferimento inerziale Ox, un punto materiale di massa m=3\,\text{kg} vincolato a muoversi lungo l’asse delle x si muove di moto armonico semplice con ampiezza A = 15\,\text{cm} e frequenza angolare \omega = 3 \text{ rad}\cdot \text{s}^{-1}. Assumendo che il sistema sia conservativo, calcolare l’energia meccanica E del sistema.

Svolgimento.

Svolgimento. Il sistema si muove di moto armonico, quindi dal secondo principio della dinamica, per ogni istante t\geq0, il sistema ubbidisce alla seguente equazione differenziale

(1)   \begin{equation*}  \ddot{x}(t) +\omega^2 x(t) =0, \end{equation*}

la cui soluzione è

(2)   \begin{equation*} x(t) = A\text{cos}(\omega t + \phi), \end{equation*}

dove A e \omega sono rispettivamente l’ampiezza e la pulsazione del moto armonico, mentre \phi è la fase iniziale. Dall’equazione (1), si deduce che la forza a cui è soggetto il corpo per ogni istante t\geq 0 è \vec{F} = -m\omega^2x\, \hat{x}. Dato che il sistema è conservativo, gli si può associare un’energia potenziale U(x) tale che

(3)   \begin{equation*} F(x) = -\dfrac{d}{dx}U(x), \end{equation*}

per ogni x \in [-A,A]. Integrando l’ultima equazione in x, ovvero

(4)   \begin{equation*} U(x) = -\int_{x_0}^{x}F(x)dx = m\omega^2\int_{x_0}^{x}x\,dx, \end{equation*}

dove x_0 è la coordinata x che definisce la costante additiva arbitraria U(x_0) del potenziale, si ottiene

(5)   \begin{equation*} U(x) = \dfrac{1}{2}m\omega^2x^2-\dfrac{1}{2}m\omega^2x_0^2. \end{equation*}

La scelta più ovvia per definire U(x_0) è porre x_0 = 0, ottenendo quindi

(6)   \begin{equation*} U(x) = \dfrac{1}{2}m\omega^2x^2. \end{equation*}

L’energia meccanica totale del sistema per ogni istante t\geq0, essendo conservativo, vale quindi

(7)   \begin{equation*} E = \dfrac{1}{2}m\dot{x}^2(t) + \dfrac{1}{2}m\omega^2x^2(t), \end{equation*}

ovvero

(8)   \begin{equation*}  E = \dfrac{1}{2}A^2m\omega^2(\text{sin}^2(\omega t + \phi)+\text{cos}^2(\omega t + \phi)). \end{equation*}

Dato che \text{cos}^2(x) + \text{sin}^2(x) = 1 \forall x \in \mathbb{R}, possiamo concludere che:

    \[\boxcolorato{fisica}{E = \dfrac{1}{2}A^2m\omega^2.}\]

Sostituendo quindi i valori A=\text{0,15} m, m=3\,\text{kg} e \omega = 3 \text{ rad}\cdot \text{s}^{-1} nell’equazione sopra riportata, l’energia meccanica vale E=\text{0,304}\,\text{J} .