Esercizio 39 . Siano un sistema di riferimento fisso
e un punto materiale di massa
tale per cui
giaccia nel piano
. Il piano
coincide con un piano orizzontale privo di attrito. Tale punto materiale è attaccato ad un filo, a sua volta fissato ad un palo di raggio
, intorno al quale può avvolgersi. All’istante
la posizione del punto è
dove
è la lunghezza del filo. Il filo è fissato al palo nel punto
. La velocità del punto, sempre a
è
. Si determini la posizione del punto in funzione del tempo e la sua velocità. Inoltre, determinare dopo quanto tempo il punto urta il palo. Supporre
.
Svolgimento.
![Rendered by QuickLaTeX.com t>0](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-d4ba21034690a9849ce3fd18648dfcae_l3.png)
Dalla figura 1 si nota che quando il filo si è avvolto per un angolo intorno al palo, il filo non avvolto avrà lunghezza
, per cui la posizione parametrica del punto materiale è
(1)
(2)
dove è una funzione incognita che dipende dal tempo.
Derivando rispetto al tempo, ambo i membri delle equazioni (2)
e (2)
, ottenendo
(3)
(4)
(5)
dove abbiamo sfruttato i risultati pervenuti nel sistema (4).
Sia la tensione che esercita il filo sulla massa
. Osserviamo che, ad esempio quando il corpo
si trova nel secondo quadrante, si ha 7
(6)
pertanto il prodotto scalare tra la velocità e la tensione è in ogni istante zero, da cui deduciamo che il lavoro complessivo della tensione è zero. Per il teorema dell’energia lavoro concludiamo che il modulo della velocità si conserva, poiché la variazione dell’energia cinetica è nulla. Abbiamo dunque
(7)
ed imponendo la condizione iniziale si ottiene
, pertanto
(8)
In definitiva, applicando la formula risolutiva delle equazioni di secondo grado possiamo determinare in funzione della variabile
(Abbiamo scartato la soluzione positiva perché non é accettabile, perché l’unica che verifica la condizione imponendo la condizione
è la soluzione negativa)
(9)
(10)
La posizione del punto materiale si trova inserendo (9) in (2) e la sua velocità (10) in (4).
Per sapere dopo quanto tempo il punto urta il palo, basta porre la condizione che la lunghezza del filo diventerà nulla, ovvero che vale
(11)
Quindi il tempo per toccare il palo è