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Esercizio 39  (\bigstar\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar). Siano un sistema di riferimento fisso Oxy e un punto materiale di massa m tale per cui m giaccia nel piano xy. Il piano xy coincide con un piano orizzontale privo di attrito. Tale punto materiale è attaccato ad un filo, a sua volta fissato ad un palo di raggio R, intorno al quale può avvolgersi. All’istante t=0 la posizione del punto è (R,L) dove L è la lunghezza del filo. Il filo è fissato al palo nel punto (R,0). La velocità del punto, sempre a t=0 è (-v_0,0). Si determini la posizione del punto in funzione del tempo e la sua velocità. Inoltre, determinare dopo quanto tempo il punto urta il palo. Supporre L>R\pi.

 

 

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Svolgimento.  Consideriamo in figura 1 il moto del punto materiale in un generico istante t>0, cioè quando il filo si avvolge attorno al palo.

 

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Dalla figura 1 si nota che quando il filo si è avvolto per un angolo \theta intorno al palo, il filo non avvolto avrà lunghezza L-R\theta, per cui la posizione parametrica del punto materiale è

(1)   \begin{equation*} \begin{cases} x(t)=R\cos\theta -(L-R\theta)\cos\left(\dfrac{\pi}{2}-\theta \right)\\[10pt] y(t)=R\sin\theta+(L-R\theta )\sin\left( \dfrac{\pi}{2}-\theta\right), \end{cases} \end{equation*}

oppure

(2)   \begin{equation*} \begin{cases} x(t)=R\cos\theta-(L-R\theta)\sin\theta\\ y(t)=R\sin\theta+(L-R\theta )\cos\theta, \end{cases} \end{equation*}

dove \theta=\theta(t) è una funzione incognita che dipende dal tempo.
Derivando rispetto al tempo, ambo i membri delle equazioni (2)_1 e (2)_2, ottenendo

(3)   \begin{equation*} \begin{cases}\dot{x}(t)=-R\dot{\theta} \sin\theta +R\dot{\theta} \; \sin\theta- \dot{\theta}\cos\theta(L-R\theta) \\\\ \dot{y}(t)=R \dot{\theta}\cos \theta -R \dot{\theta} \cos\theta- \dot{\theta}\sin\theta (L-R\theta) \end{cases} \end{equation*}

o anche

(4)   \begin{equation*} \begin{cases} \dot{x}(t)=-\dot{\theta} \cos\theta(L-R\theta)\\\\ \dot{y}(t)=-\dot{\theta} \sin\theta(L-R\theta). \end{cases} \end{equation*}

Il modulo della velocità vale

(5)   \begin{equation*} v = \sqrt{\dot{x}^2(t)+\dot{y}^2(t)}=\sqrt{(L-R\theta)^2 \; \dot{\theta}^2 \; \cos^2\theta+(L-R\theta)^2\dot{\theta}^2 \; \sin^2\theta}\\ = \sqrt{ \dot{\theta}^2(L-R\theta)^2 } = \dot{\theta}\left(L-R\theta\right), \end{equation*}

dove abbiamo sfruttato i risultati pervenuti nel sistema (4).

Sia \vec{\tau} la tensione che esercita il filo sulla massa m. Osserviamo che, ad esempio quando il corpo m si trova nel secondo quadrante, si ha 7

(6)   \begin{align*} &\vec{\tau}\cdot\left(\dot{x}(t)\,\hat{x}+\dot{y}(t)\,\hat{y}\right)=\\ &=\left(\tau\cos \theta \,\hat{y}-\tau\sin \theta \,\hat{x}\right)\cdot\left(\dot{x}(t)\,\hat{x}+\dot{y}(t)\,\hat{y}\right)=\\ &=\left(\tau\cos \theta \,\hat{y}-\tau\sin \theta \,\hat{x}\right)\cdot\left(-\dot{\theta} \cos\theta(L-R\theta)\hat{x}-\dot{\theta} \sin\theta(L-R\theta)\hat{y}\right)=\\ &=-\tau\dot{\theta}\cos\theta\sin\theta(L-R\theta)+\tau\dot{\theta}\cos\theta\sin\theta(L-R\theta)=0, \end{align*}

pertanto il prodotto scalare tra la velocità e la tensione è in ogni istante zero, da cui deduciamo che il lavoro complessivo della tensione è zero. Per il teorema dell’energia lavoro concludiamo che il modulo della velocità si conserva, poiché la variazione dell’energia cinetica è nulla.
Abbiamo dunque

(7)   \begin{equation*} \left(L-R\theta\right) \dot{\theta}=v=v_0 \quad \Rightarrow \quad L\theta-\dfrac{R\theta^2}{2}=v_0t+c, \end{equation*}

ed imponendo la condizione iniziale \theta(0)=0 si ottiene c=0, pertanto

(8)   \begin{equation*} R\theta^2-2L\theta +2v_0t=0. \end{equation*}

In definitiva, applicando la formula risolutiva delle equazioni di secondo grado possiamo determinare \theta in funzione della variabile t (Abbiamo scartato la soluzione positiva perché non é accettabile, perché l’unica che verifica la condizione imponendo la condizione \theta(0)=0 è la soluzione negativa)

(9)   \begin{equation*} \theta(t)=\dfrac{L-\sqrt{L^2-2Rv_0t}}{R}, \end{equation*}

da cui

(10)   \begin{equation*} \dot{\theta}(t)=\dfrac{v}{\sqrt{L^2-2Rvt}}. \end{equation*}

La posizione del punto materiale m si trova inserendo (9) in (2) e la sua velocità (10) in (4).
Per sapere dopo quanto tempo il punto urta il palo, basta porre la condizione che la lunghezza del filo diventerà nulla, ovvero che vale

(11)   \begin{equation*} L-R\theta(t)=0 \quad \Leftrightarrow \quad {L}-{L}-\sqrt{L^2-2Rv_0t}=0\\ \quad \Leftrightarrow \quad t=\dfrac{L^2}{2Rv_0}. \end{equation*}

Quindi il tempo per toccare il palo è

    \[\boxcolorato{fisica}{ t=\dfrac{L^2}{2Rv_0}.}\]